Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Но из соображений симметрии также и первый пятиугольник должен быть вписан вовтоэу рой. На рис. 137а и б изображено соотношение между пространственной схемой и парой плоских пятиугольников. 7 Оказывается, что можно прийти к 4 пространственному пятиугольнику, соответствующему плоскому пятиугольнику, входящему в конфигурацию, при помощи у систем из пяти ребер другого рода. Пример этого мы видим на рис.

138. Но можно убедиться, что в этом случае никак нельзя расположить пять остальных ребер циклически так, чтобы два последовательных ребра всегда были инцндентны, а трн последовательных никогда не составляли бы треуголь- ника. Поэтому построение, указанное вначале, исчерпывает все возможности, А так как всякая перестановка основных точексо- ответствует автоморфизму конфигурации и так как разбиение пространственного пятиугольника иа две последовательности ребер вполне определяется последовательностью основных точек в первом расположении ребср, то мы видим, что, не считая автоморфизмов, сущсствуст только одна и возможность разбиения дезарговой кон/ фигурацин на два взаимно вписанных (О пятиугольника. В Подобным же образом решается вопрос о том, можно ли прсдсгавить дезар- У гову конфигурацию в виде десятиугольника, вписанного и описанного вокруг у самого себя,и если можно, то сколькнмн способами.

Лсгко убедиться,что соответствующая пространственная последовательность ребер в этом случае всегда должна быть расположена так, как показано иа рис. 139. Таким образом существует один и только один (исключая автомор- физмы) способ представить дсзаргову конфигурацию как деся- тиугольник, вписанный и описанный вокруг самого себя 2 7 гл, пь конеигуглцим (рис. 140). Эта фигура выявляет определенную закономерность'.

Именно, если мы хотим прийти к другой вершине, лежащей на той же стороне, то нам приходится попеременно при обходе десятиугольника пропускать одну или три вершины (вершина Ь иа стороне 23, 8 иа стороне 34, 7 па стороне 45, 10 на стороне 56 и т. д.). В простраи. ственной схеме можно об- 8 наружить еще н другое свойство этого десятиуголь- Ф у ника, а именно то, что его стороны, взятые через одну, И образуитг два вписанных друг в друга пятиугольника. Дезаргова конфигурации Рис. !40. не есть единственная кон- фигурация типа (10з).

Схе. ма подобной конфигурации допускает еще девять других возмо>кностей. Одна из этих схем, точно так же как конфигурации (?,), не может быть осуществлена ии в действительных, ии з комплексных величинах, так как ее уравнения противоречивы.

Напротив, остальные восемь, подобно конфигурациям типа (9з), всегда могут быть построены при посредстве одной линейки. Од. пако в противоположность дезаргозой конфигурации во всех остальных восьми осуществимых конфигурациях (10з) последняя иицидентнасть не выполняется сама собой, следовательно, оии не выра- у жают никакой общей геометрической теоремы и потому менее важны, чем конфигурация Дезарга. Одна из этих конфигураций изобра- У жена па рис.

141. В приведенной 0 последовательности точек эта конфигурация опять. таки представляет 8 десятиугольник, вписанный и описанный вокруг самого себя. Но в втой фигуре необходимо всякяй раз 5 пропускать только одну вершину, чтобы при обходе переходить от од- Рис. 141. ной вершины к другой, расположенной на той же стороне многоугольника. Благодаря этому все вершины являются равноправными, а все стороны могут меняться местами с вершинами, откуда можно заключить, что эта конфигурация должн» быть правиль ной и двойственно яивариантной. Ф ю.

сопостлвлянив тяогпм паскаля й двзйггх 135 5 20. Сопоставление теорем Паскаля и Дезарга Мы обнаружили далеко идущие аналогии между теоремой Дезарга н последней теоремой Паскаля. Обе эти теоремы были доказаны прн помощи проектирования в пространстве; обе теоремы приводили нас к конфигурациям, причем этн конфигурации во многих отношениях сходны: обе конфигурации были правильны, двойствеяпо инвариантны и могли быть осуществлены, при помощи линейки; в обеих конфигурациях последняя инцидентность выполнялась сама собой н мотли быть представлены ках многоугольники, вписанные н описанные вокруг самих себя.

Тем не менее между двумя этими теоремами существует принципиальная разница. Прн доказательстве теоремы Дезарга мы пользовались пространственной фигурой, которая можетбыть построена на основе только введенных нами пространственных аксиом связи без всяких других аксиом. Напротив, конфигура. ция Брианшона — Паскаля получалась прн рассмотрении поверхности второго порядка. С первого взгляда кажется, что центральным пунктом доказательства служит чистое рассмотрение инцндентиости между точкамн, прямыми и плоскостями пространственного шестиугольника; однако более детальное исследование показывает, что построение подобных пространственных шестиугольников по существу равнозначно с построением линей.

чатой поверхности второго порядка и что возможность подобного построения не может быть доказана только на основании аксиом связи. В первой главе мы ввели конические сечения и поверхности второго порядка путем метрических исследований. Можно было бы думать поэтому, что теорема Паскаля не может быть доказана без измерения отрезков н углов. Однако можно получить кривые и лннейчатые поверхности второго порядка и без метри.

ческих вспомогательных средств, если пользоваться только методом проекций. При таком методе можно отображать точки прямой на точки произвольной другой прямой таким образом, что гармоническая четверка точек всегда будет изображаться ввиде гармонической же четверки и что трн произвольно заданные точки одной прямой будут изображаться тремя произвольно заданнымн точками другой прямой. В таком случае говорят, что одяа прямая проективно отображается на другую. Построение подобного отображения основывается исключительно на аксио. мах связи на плоскости и в пространстве. Напротив, при по. мощи одних только этих аксиом нельзя заключить, что отображение, удовлетворяющее двум указанным требованиям — инвариантностн гармонического расположения точек и пронзволь.

ного выбора иэображений трех точек,— однозначно определено для всех точек прямой. Для этой цели необходима еще аксиома 136 гл. нь конеигггхцни непрерывности, которую мы ннжс и сформулируем. Но если только доказана однозначность проективного отображения в указанном смысле, то линейчатую поверхность второго порядка самого общего вида можно определить как поверхность, образуемую переменной прямой, соединяющей соответствующие точки двух прямых, приведенных в проективное соответствие н пе лежащих в одной плоскости.

Тогда из однозначности проективного отображения следует, что на такой поверхности должно лежать еше одно семейство прямых. Если проективно расположенные друг к другу прямые ннцидентны, то прямая, соединяющая соответствующие точки, служит огибающей плоской кривой второго порядка. Все существенные для проективной геометрии свойства кривых второго порядка можно вывести из этого определения.

Для полного охвата понятия непрерывности необходимы две различные аксиомы; при доказательстве однозначности проективного отображения используется только одна из них, именно архимедова аксиома. В арифметическом выражении эта аксиома гласит: пусть даны два произвольных положительных числа а н А, нз которых а может быть сколь угодно мало, а А сколь угодно велико; тогда можно число а складывать само с собой столько раз, что сумма после конечного числа сложений станет больше А: а+а+а+ ... +а>А Эта аксиома необходима, когда приходится измерять некоторое расстояние при помощи определенной длины (масштаба), и по.

этому в такой форме она представляет важнейшую основу метрики. Независимое от метрических понятий выражение этой аксиомы следующее. Пусть даны две параллельные прямые ,(рис. 142) и пусть на одной нз этих прямых лежат две различные точки О и А. Проведемте. перь из точки О прямую, сое. линяющую ее с произвольной г., с д ~ точкой В, другой прямой, и точку В, соединим снова пря. Рис. 142. мой линней с некоторой точ. кой С~ первой прямой, лежащей между точками О и А. Затем проведем через точку С~ прямую, параллельную ОВь которая пересечет другую вторую в некоторой точке Вь Из этой точки опять проведем прямую, параллельную В,С„ которая пересечет первую прямую в точке Сз.

Если мы будем таким образом проводить н дальше параллели к прямым ОВ, и В~Сь то архимедова аксиома ут» верждает, что в конце концов после конечного числа шагов мы придем к некоторой точке С„ которая уже не будет располо 5 Эс. СОПОСТАВЛЕНИЕ ТЕОРЕМ ПАСКАЛЯ И ДЕЗАРГА 1ЗТ жена между точками О и Л. В этой формулировке мы использовали,представление о том, что одна точка некоторой прямой лежит между двумя другими точками этой же прямой. Высказывания подобного рода уточняются другой группой аксиом, так называемыми аксиомами расположения или порядка, в рассмотрение которых мы здесь не будем входить. Напротив, понятие параллельности мы использовали только для того, чтобы более кратко и наглядно сформулировать аксиому; в проективной геометрии достаточно было бы потребовать возможность такого построения, какое изображено на рис. 143.

Эта фигура получается из рис.142 как его центральная проекция на другую плоскость. Аксиомы связи на плоскости и в пространстве, аксиомы расположении и архимедова аксиома достаточны для доказательства однозначности проективного отображения,но это доказательство чрезвычайно длинно и утомительно. Из однозначности проектнвного ото- Рис. 143.

Характеристики

Список файлов книги