Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 49
Текст из файла (страница 49)
ленную точку, а именно диаметрально противоположную точ' ке Р. Геодезические линии, проходящие через точку округления эллипсоида, ведут себя аналогично. В то же время можно дока. зать, что геодезические линии, проходящие через какую-нибудь другую точку эллипсоида, не все имеют еше одну общую точку. Теперь напрашивается вопрос: является ли шар единственной поверхностью, у которой все геодезические линии, проходящие через произвольную точку, снова пересекаются в другой определенной точке. Ответ на этот вопрос до сих пор еше не получен. 7. Среди всех тел равного объем а шар имеет наименьшую поверхность, а среди всех тел одинаковой поверхности ан имеет наибольший о б ъ ем.
Шар однозначно определяется обоими этими свой. ствами„из которых каждое есть следствие другого. Доказательство этого приводит к задаче вариационного исчисления и исключительно утомительно. Простейшее экспериментальное') доказательство представляет всякий летящий мыльный пузырь. Как мы уже упоминали, когда говорили о минимальных поверхно. стях, мыльная пленка вследствие поверхностного натяжения стремится стянуться в поверхность, имеющую наименьшую плот щадь. Так как, с другой стороны, в мыльном пузыре содержится вполне определенный и неизменный объем воздуха, то пузырь должен прн заданном объеме принять наименьшую поверхность. Наблюдение показывает нам, что подобные мыльные пузыри всегда имеют форму шара, если только ани ие подвер' жены значительному влиянию силы тяжести при наличии пад. вешенных к иим капель. 8.
Среди всех выпуклых тел одина ковой по ° верхности шар имеет -наименьшую полную среднюю кривизну. Средней кривизной Н в точке по. верхности называют арифметическоесреднееиз главных кривизн в этой точке: Н=(й +йт)Р. При этом обе главные кривизны следует брать с одинаковыми или противоположными знаками в зависимости от того, является ли поверхность во взятой точке выпуклой нли седлаобразнай. В противоположность гауссовой кривизне средняя кривизна обычно не сохраняется при изгибании. Таким образом,она ') Для окружности геометрическое доказательство дано, например, в кнл Радем ахер Г.
и Теплиц О. Числа н фигуры.-М.; Наука, 1966.— Прим. ред. З д. Гвльоерт, С. Ков-Фосеев гл. цс диефээанциальная гаомвтгия характеризует в первую очередь положение поверхности в пространстве. Пример, показывающий значение этого понятия кривизны, мы уже имели в минимальных поверхностях. Они определялись тем, что нх главные кривизны во всякой точке равны н противоположны по знаку. Но отсюда вытекает, что средняя кривизна у них всюду равна нулю. Чтобы теперь определить полную среднюю кривизну, представим себе, что рассматриваемая поверхность имеет определенную массу, распределенную так, что плотность в каждой точке равна средней кривизне. Полная масса, которую приобретает таким образом вся поверхность, называется полной средней кривизной этой поверхности. Определение замкнутых поверхностей, полная средняя кривизна которых прн заданной площади поверхности имеет-минимум, приводит, так же нак и предыдущее свойство шара, к вариационной задаче, причем здесь также выясняется, что шар представляет единственную поверхность, обладающую этим свойством, Оба последних свойства шара можно получить в общей теории выпуклых тел из определенных неравенств, сущность кото.
рых здесь постараемся наметить. Шар радиуса г имеет поверхность О = 4пгэ и объем г' = - пг'. Для того чтобы получить 4 =з одинаковую размерность, мы должны сравнить куб поверхности с квадратом объема. Это дает нам соотношение Оз = 36пРэ, не зависящее от радиуса и имеющее место для всякого шара. Так как шар имеет наибольший объем нэ всех поверхностей с той же самой площадью, то при сравнении шара со всеми остальными поверхностями мы должны иметь: Оз ~) 36пУэ. Если обозначить через М полную среднюю кривизну поверхности, то для всех выпуклых тел можно доказать следующие два важных соотношения: 02 ЗУМ) О, Мэ — 4пО)~ О. Во второй формуле знак равенства имеет место только для шара; но это как раз и свидетельствует о том, что среди всех выпуклых тел с данной поверхностью шар и только шар дает наименьшее значение М.
Если исключить М из обеих формул, то получается только что выведенное соотношение между поверхностью и объемом, причем ясно, что знак равенства имеет место Ф 32. одиннадцать сВОйстВ ШАРА только для шара. При этом для сравнения допускаются только выпуклые тела, между тем как в действительности неравенство между объемом и поверхностью осуществляется также и для тел, не всюду выпуклых. 9.
Поверхность шара им ест постоянную с р едн юю кривизну. То, что поверхность шара имеет постоянную среднюю кривизну, следует из того, что все ее нормальные сечения имеют одинаковый радиус кривизны, а именно радиус шара. Однако поверхность шара отнюдь не единственная по. верхность такого рода.
В самом деле, у всех минимальных по* верхиостей средняя кривизна равна нулю и, значит, также постоянна. Так же как поверхность шара и как минимальные по. верхности, все остальные поверхности с постоянной средней крн. визной можно осуществить при помощи мыльных пузырей. Про* ведем через произвольную замкнутую пространственную кривую определенную поверхность и кроме того натянем мыльную пленку на втой пространственной хрнвой. Для того чтобы получить это, мы можем, например, придать отверстию трубки форму заданной пространственной кривой, затем выдуть прй помощи этой трубки мыльный пузырь и заткнуть герметически отверстие трубки. Тогда внутри пространства, ограниченного мыльной пленкой и внутренностью трубки, будет заключено определенное количество воздуха, н мыльная пленка под влиянием поверхностного натяжения примет такую форму, при которой поверхность при заданных условиях будет минимальной.
Вариацион. нос исчисление показывает, что всякая подобная поверхность должна обладать постоянной средней кривизной. Постоянное значение средней кривизны зависит от того, какой объем воздуха мы заключим внутри нашего пузыря, увеличив или уменьшив давление путем вдувания воздуха. Если внутреннее давле. ние вообще не превышает внешнего давления воздуха, то в таком случае мы снова приходим к минимальным поверхностям. Следовательно, в наших мыльных пленках мы имеем большое количество искомых поверхностей. Однако все зти поверхности обладают тем свойством, что они обрываются непосредственно пространственной кривой, т. е.
пространственная кривая служит для них границей. Поэтому возникает вопрос, не существуют ли кроме поверхности шара еще другие поверхности постоянной средней кривизны, которые, однако, не имеют границы, а также и других особенностей. И вот оказывается, что на этот вопрос следует ответить отрицательно, так что поверхность шара однозначно определяется нашимн дополнительными тре бованиями.
Это обстоятельство легко уяснить себе на мыльных пузырях. Мы уже знаем, что свободно летящий в воздухе мыль. ный пузырь всегда имеет форму шара. Если теперь мы будем выдувать мыльные пузыри одинаковой величины, но со все мень. 228 гл. гч. диооннвнпилльнля гзомвтпия шей граничной кривой, то следует ожидать (и это подтверждается опытом), что вид граничной кривой будет оказывать все меньше влияния на форму мыльного пузыря, так что в пределе этот пузырь всегда будет принимать форму не имеюшего гра. ницы мыльного пузыря, т. е.
шара'). 10. Поверхность шара облададает постоянной положительной гауссавой кривизной. В отношении этой характеристики шара имеет место то же самое, что и в случае средней кривизны. Одно только постоянсгвз гауссовой кривизны наверно не определяет поверхности шара. В самом деле, все поверхности, которые можно получить из куска шаровой поверхности путем изгибания, также обладают постоянной гауссовой кривизной, так как последняя не меняется при изгибании. Потребуем теперь опять в качестве дополнительного условия, чтобы поверхность не имела границ и других особенностей, и спросим, имеются ли кроме поверхности шара другие поверхности подобного рода.
Оказывается, что на этот во. прос следует ответить отрицательно; отсюда; между прочим,следует, что шар как целое не допускает изгибания, Прежде всего можно доказать, что не имеюшая особенностей неограниченная поверхность постоянной положительной гауссовой кривизны не может иметь бесконечного протяжения как плоскость, но необ. ходимо должна быть замкнутой поверхностью подобно поверх.
ности шара. Простые вычисления показывают далее,'что кроме шаров, круговых цилиндров и плоскостей нет других поверхностей, для которых обе главные кривизны имеют всюду постоян. нос значение. Поэтому мы можем ограничиться тем случаем, когда на замкнутой поверхности обе главные кривизны меняют значение, причем, конечно, произведение их всегда имеет задан.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
