Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 53
Текст из файла (страница 53)
11, Аксиомы порядка: 1. Из трех точеК лежащих на одной прямой, одна лежит необходимо между двумя другими. 2. Для каждых двух точек А и В можно найти по крайней мере одну точку С, так что она лежит между А и В. 3. Если прямая пересекает одну сторону некоторого треугольника (т.
е. содержит точку, расположенную между двумя верши. нами), то она либо проходит через вершину противоположного угла, либо перевекаепвще одну сторону треугольника. Аксиомы порядка позволяют определить понятие, встречающееся в следующих аксиомах, именно: понятие «отрезка», «угла», «стороны прямой по отношенню к какой-нибудь точке», «полупрямой», «стороны плоскости по отношению к полупрямой». 111. Аксиомы конгруэн т ности; 1. Всякий отрезок всегда может быть отложен на прямой ло обе стороны от некоторой точки прямой; получающиеся отрезки называются конгруэнтными с первым отрезком.
2. Если два отрезка конгруэнтны с третьим, то они также конгруэнтны друг с другом. 3. Если на двух конгруэнтных отрезках имеется по одной точке такого рода,' что одна из получающихся частей вдного отрезка конгруэнтна с одной из частей второго отрезка, то и вторая часть первого отрезка конгруэнтна со второй частью второго. ') Гильберт Д.
Основания геометрии.-МЛ Лс Гостекиадат, 1946. Ефимов Н. В. Высшая геометрия.— 5-е ивл.-жл Наука, 1971. 240 ГЛ. 1Ч. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 4. Угол может быть отложен на плоскости по обе стороны от некоторой полупрямой однозначно; получающийся угол называется конгруэнтным с первоначальным. 5, (Первая теорема конгруэнтности.) Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника совпадают с двумя сторонами и углом, заключенным между ними, другого треугольника, то треугольники конгруэнтны. 1Ч. Аксиома п ар аллельн о ст н: Ко всякой прямой а через всякую точку, не лежащую на этой прямой, можно провести одну и только одну прямую, не пересекающую прямой а.
Ч. Аксиомы непрерыв но стн: Эти аксиомы формулируются весьма различно. Во всяком случае онн означают примерна следующее: 1. (Аксиом а Архимеда, с. 136.) Всякий отрезок можно измерить при помощи любого другого. 2. (Аксиома Кантора.) Во всякой бесконечной последовательности вложенных друг в друга отрезков существует всегда общая всем этим отрезкам точка. В эллиптической геометрии аксиомы сочетания, очевидно, выполняются. Наоборот, аксиомы порядка не выполняются; так как пргцые в этом случае представляют собой замкнутые лннни подобео окружности, то нельзя сказать относительно трех точек прямой, что одпа из ннх лежит между двумя другими. Вместо отношения «между» для трех точек в эллиптической геометрнн можно ввести отношение разделения четырех точек, для которых имеют место соответствующие аксиомы порядка.
Первая из них гласит: четыре точки прямой всегда распадают- С ся одним единственным способом на две разде- ляющие друг друга парьс (напрнмер, на рнс. 232 л точки А, В, С, П распадаются на разделяющие друг друга пары АС н ВП). Подобео евклндовым аксиомам порядка эл- А лнптнчесх:е аксиомы порядка также приводят Ю к определспню отрезка н к другим понятиям, ко- торые прнменяются в аксиомах конгруэнтности. Рг«ззз Прн этом, однако, следует исходить из'того, что две точки АВ всегда определяют два отрезка, а не один, подобно тому как всякая окружность разбивается двумя свонмн точками на две дуги.' Только добавляя третью точку С прямой АВ, можно установить различие между обоими отрезками АВ; один отрезок состоит нз всех точек, отделяемых парой АВ от точкн С, а другой — нз остальных точек прямой АВ. с(Елее следует нсключить углы, ббльшне двух прямых, нз внутренннх углов треугольннка, иначе две стороны н заключенный между ннмн угол определяли бы не единственный треугольник, а '241 е 34.
эллиптическАя геометрия два неконгруэнтных треугольника (рис. 233), что противоречит первой теореме конгруэнтности'). Оказывается, что при таких ограничениях во всякой достаточно малой области эллиптической плоскости сохраняется аналогия с областью евклидовой Рис.
233. плоскости, от которой мы нсходилн, и что евклидовы аксиомы конгруэнтности выполняются на эллиптической плоскости. Тоже самое имеет место для аксиом непрерывности. Наоборот, аксиома параллельности не выполняется, а долж. на быть заменена установленной уже' на с, 123 аксиомой соче. тания проективной плоскости; две прямые всегда имеют одну единственную точку пересечения. По отношению к порядку эллиптическая плоскость ведет себя так же, как проективная. Чтобы сделать это наглядней, -возьмем в качестве модели эллиптической плоскости полную поверхность шара, на которой все пары диаметрально противоположных точек отождествлены. Если мы будем проектировать шар из его центра на плоскость, то всякая точка плоскости соответствует паре диаметрально противоположных точек шара, т.е.
одной точке эллиптической плоскости. Всякому большому кругу, т. е. всякой эллиптической прямой, соответствует прямая пересечения плоскости большого круга с плоскостью изображения. Это отношение станет взаимно однозначным, если мы примем во внимание также бесконечно удаленные прямые плоскости изображения, т. е. если мы эту плоскость будем рассматривать как проективную. В соответствии с этим мы можем рассматривать проективную плоскость непосредственно как модель эллиптической плоскости, если будем определять равенство длин и углов на этой модели не как в евклидовой геометрии, а указанным способом при помощи сферической тригонометрии вспомогательного шара.
Отсюда следует, что в эллиптической геометрии все ') Заметим, что правый треугольник рис. 233 ие разбивает Эллиптической плоскости. гл. пк диеевивицидльидя гвомвтиия теоремы о точках пересечения, имеющие место в проективной гео. мет ни, например теоремы Дезарга и Паскаля, выполняются. сли теперь принять во внимание только отображения эллиптической плоскости, сохраняющие длину, то можно поставить вопрос, так же как в случае евклидовой геометрии, о дискретных группах подобных отображений.
Всякой такой группе соответствует дискретная группа отображений шаровой поверхности, сохраняющих длину, следовательно, одна из групп правильных многогранников, рассмотренных нами в $13 н 14. Обратно, всякий правильный многогранник приводит к дискретной группе совмещений эллиптической плоскости, а центральные проекции правильных многогранников, представленные иа рнс.
160 †1 и 165 †1, дают некоторые решения связанной с этими группами задачи, которая была сформулирована на с. 90 для евклидовой плоскости. Можно определить эллиптическую геометрию не только на плоскости, но и в пространстве. В качестве моделей точек, прямых и плоскостей этого пространства можно использовать проективное пространство с его точками н прямымн. Сравнение длин и углов при этом опять. таки следует проводить не так,как в евклидовой геометрии; оно может быть описано лишь впали.
тически, например при помощи центральной проенции гипершара четырехмерного пространства. Дискретные группы наложений эллиптического пространства связаны с правильными клетками четырехмерного пространства, и рис. 173 †1 можно истолковать как «замощение» эллиптического пространства.
5 35. Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия). Ее взаимоотношения с евклидовой и эллиптической геометрией , Обратимся теперь к поверхностям с постоянной отрицатель. ной кривизной. Среди них нет поверхностей такого простого вида, кек шар. Поверхности вращения постоянной отрицательной кривизны могут иметь три различные формы, изображенные на рис. 234. Мы видим, что все эти поверхности имеют особенные границы, за пределы которых они не могут быть продол жены непрерывно').
Совокупность всех поверхностей с постоянной отрицательной кривизной ие удалось до сих пор выявить, но можно доказать, что ни одна из этих поверхностей не может быть свободна от особенностей. Таким образом нет поверхностей в пространстве, которые могли бы быть отображены в окрестности любой точки с сохра- ') На рис. 234, б только иижияя граница особеииая, вверх же поверхиость удаляется в бесконечность, прачек круги широт беаграиичио уменьшаются. % 36. ГЕОМЕТРИЯ ЛОЕХЧЕВСКОГО пением длин на поверхности с постоянной отрицательной кривизной, таких, иа которых нанесение геодезических отрезков нигде не встречало бы граничных точек. Однако можно дать на плоскости модели подобных абстрактно определенных поверхностей, точно так же как мы пользовались проективной плоскостью в качестве модели эллиптической плоскости.
Для этой Рнс. 234, цели мы должны ввести новый способ измерения длин и углов, отличный от способов, применяемых в евклидовой н эллиптической геометриях. Поверхность, модель которой мы хотим таким образом построить, называется плоскостью Лобачевского (или гиперболической плоскостью), геометрия — геометрией Лобачевского (или гиперболической геометрией). В качестве точек плоскости Лобачевского будем рассматривать точки, лежащие внутри некоторого круга обычной плоскости, а в качестве гиперболических прямых — хорды этого круга (концы которых исключаются из рассмотрения). и Для всякого куска поверхности Р по- 1 стоянной отрицательной кривизны — —,, можно задать отображениа, переводящее Р во внутреннюю область О круга таким обра- " В' зом, что геодезические линии, проходящие на поверхности Р, будут преобразовываться в отрезки прямых на б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
