Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Но и двукратные и четырехкратные центры поворотов всей группы мы должны искать также исключительно среди этих точек, так как эти точки должны были попасть в подгруппу в качестве двукратных цент. ров. Если мы теперь рассмотрим поворот (1() АВ-+ АС и перенос (1) А-~В, то, очевидно, движение с(' = Ж переводит АВ в Во, а потому с(' представляет поворот вокруг точки М на угол —, 2 'и в соответствии с этим центры квадратов всегда являются чеТырехкратными, а не только двукратными центрами поворотов.

Точно так же, как и в предыдущем случае, мы можем заключить, что других четырехкратных центров поворотов быть не мо. жет. В самом деле, д-11(' представляет кратчайший, содержа. щийся в группе перенос 1, и следовательно, расстояние между двумя четырехкратными центрами поворотов не может быть ко. роче, чем АМ, а потому к решеткам, соответствующим точкам А и М, нельзя добавить никаких четырехкратных центров поворотов. Так как обе эти решетки переводятся каждым из рассмотренных движений в самих себя, а не друг в друга, то точки А н М не эквивалентны; но, с другои стороны, можно убедиться, что все двукратные центры поворотов эквивалентны.

Таким образом, мы имеем единственный класс двукратных центров поворотов, состоящий из двух вдвинутых одна в другую квадратных решеток, и два класса четырехкратных центров поворотов, состоящих каждый из одной решетки. В качестве фундаментальной области можно использовать треугольник АМВ. Рис. 83. Рис.

84. Система стрелок, соответствующая какой-нибудь произволь. ной точке (рис. 88), состоит из четырех квадратных решеток, каждая из которых характеризуется определенным направле. пнем стрелок. Двукратный центр поворотов образует две ре. шетки с различно направленными стрелками (рис. 84), а четы. рехкратный центр поворотов образует лишь одну единственную з и. Фндоновскив ггэппы движвнии нх плоскости ву решетку (рис. 88). Если при этом, как на приведенном рисунке, стрелки попарно направлены друг к другу, то образуемую ими фигуру можно рассматривать как правильное плоское расположение одинаковых четырехвалентных атомов. П,2,6. В этом случае мы получаем наибольшее многообразие поворотов.

В самом деле, так как здесь возможны шестикратные центры поворотов, то могут существовать также н двукратные и трехкратные центры. Напротив, четырехкратные центры поворотов исключаются, так:как прн наличии поворота на угол г' и на угол и. группа непременно содержала бы и поворот на угол —, а такой угол поворота не может иметь места ни в од- б ' ной федоровской плоской группе движений. Рис. 86. Рис.

85. Пусть точка А представляет шестикратный центр поворотов группы (рис. 86). Рассмотрим сначала подгруппу, состоящую из 2я переносов и поворотов на угол †. Структура этой подгруппы известна нам по типу 11,2,(1. В этой группе центр поворотов А является трехкратным центром.

Решетка переносов этой подгруппы представляет решетку, состоящую нз равностороннпх греугольников, причем наряду с вершинами, например точками А, В, С, центры треугольников, например точка М, также являются трехкратными центрами поворотов. Но отсюда можно иаключить, что и в полной группе переносы образуют такую же решетку, так как все эти переносы входят в подгруппу.

Таким эбразом в полной группе точка А представляет уже не трехкратный, а шестикратный центр поворотов, а потому и все точки релетки, образованной точкой А, должны быть шестикратными иентрами. Если в группе имеются и другие шестикратные центиы поворотов, то это могут быть только центры треугольников, 88 гл. и. пгхвильныв точвчные системы так как все шестикратные центры поворотов уже были рассмот. рены в подгруппе в качестве трехкратных центров.

Два поворота вокруг точки А и вокруг точки С на угол + †" и угол — з дают в совокупности перенос А -~-В. Так как в группе не существует более коротких переносов, чем этот, то расстояние между шестикратными центрами поворотов не может быть меньше, чем АС; следовательно, не существует других шестикратных центров поворотов, кроме входящих в решетку, образованную точкой А; центры же треугольников образуют трехкратные центры поворотов. Других трехкратных центров не может существовать, так как все они уже были рассмотрены в подгруппе.

В противопо. ложность случаю П, 2, 8 трехкратные центры поворотов всегда эквивалентны, так как, например, точка М может быть переведена в точку У путем поворота вокруг точки В. Теперь, чтобы отыскать двукратные центры поворотов, если они существуют, поступаем аналогичным образом: рассмотрим подгруппу, состоящую из переносов и поворотов на угол и. Из рассуждения по поводу случая П,2, а следует, что вершины элементарного параллелограмма решетки точно так же, как и центры параллелограммов и середины их сторон, т.

е. середины сторон всех равносторонних треугольников, представляют центры поворотов на угол и. Вершины треугольников мы- уже рас. смотрели в качестве шестикратных центров поворотов. Таким образом остаются только середины сторон треугольников как совокупность двукратных центров поворотов. Можно убедиться, что все они эквивалентны. Следовательно, в этом случае имеются три класса — по одному классу двукоатных, трехкратных и шестикратных центров поворотов.

Треугольник АМВ представляет фундаментальную область группы. Система стрелок произвольно взятой точки состоит из шести вдвинутых одна в другую решеток, каждая из которых характеризуется определенным направлением стрелки. На рис. 87 каждая из этих решеток представлена тройками стрелок, образую щих равносторонний треугольник, причем стрелки каждой тройки соответственно параллельны стрелкам других троек.

Если исходить от двукратного центра поворотов (рис. 88), то решетки распадаются на две, причем каждая решетка состоит из трех совпадающих решеток. Эта фигура представляет возможное пра. вильное плоское расположение комплекса из двух родов атомов, причем один род атомов шестивалентен, а другой двухвалентен. Если повернуть все стрелки на угол — ", то мы придем к распо. ложению, при котором связываются двухвалентные и трехвалентные атомы. Система стрелок трехкратных центров поворотов (рис.

89) состоит из двух решеток. При расположении стре- $!2. ФедОРовские ГРуппы движянии ИА плоскости 89 лок, указанном на рисунке, получается расположение трехвалентных и шестивалентных атомов. Система стрелок шестикратных центров поворотов (рис. 90) образует одну единственную решетку, которую при начерченном распределении стрелок Рис.

88. Рис. 8?. можно представить как правильное плоское расположение одно. родных шестивалентных атомов, Теперь мы полностью разрешили задачу, поставленную в$9. Мы установили все вообще возможные федоровские группы движений на плоскости и при этом обнаружили, что таких групп Рис. 89. Рис. 90. существует только пять', Наиболее общие системы точек и стрелок мы получаем, если исходим в каждой группе от произвольно взятой точки, не являющейся центром поворотов, В самом деле, точечные системы, состоящие из центров поворотов, в случае более сложных групп сводятся к точечным системам общего расположения, если положить в оснону более простые группы. Напротив„ системы стрелок в случае центров поворотов образуют фигуры нового вида.

гл. и. пглвильныа точечные снстамы Вместе с тем мы нашли решение задачи, родственной с рассмотренной выше, именно: сколькими различными способами можно построить плоскость из конгруэнтных конечных областей таким образом, чтобы все построение можно было совместить само с собой, причем каждый элемент можно привести к совпадению с любым другим. Группа таких совмещений должна быть дискретной и именно федоровской, так как число звеньев внутри некоторого круга возрастает до бесконечности пропорционально квадрату радиуса. Поэтому могут быть только две возможности: либо ни одно из отличных от тождества совмещений не оставляет неизменным ни одного звена,— и тогда это звено должно представлять фундаментальную область, либо имеются такие звенья, которые при совмещении переводятся сами в себя, — и тогда совокупность совмещений подобного рода образует дискретную подгруппу, которая, очевидно, не содержит переносов и состоит, следовательно, из поворотов вокруг определенной точки ,'(1, 2,а).

В этом случае основное звено обладает центральной симметрией и должно составляться из фундаментальных областей. Пример такого случая представляют построения плоскости из правильных конгруэнтных шчстиугольников или квадратов, которые часто применяются при устройстве паркетов. Другую и более трудную задачу представляет общая задача о паркете: требуется построить плоскость из конечных конгруэнтных элементов, но при этом не требуется, чтобы построение допускало совмещения.

$ 13. Кристаллографические классы и группы пространственных движений. Группы и точечные системы с зеркальной симметрией В пространстве имеется также лишь конечное число федоровских групп движений. Однако это число значительно больше, чем на плоскости. Для того чтобы суметьопределить эти группы, необходимо так же, как и в случае плоскости, прежде всего охарактеризовать геометрически отдельные движения. В пространстве также можно заменить произвольное движение определенными движениями более простого типа. Если сначала рассмотрйть движения, оставляющие неподвижной некоторую точку, то можно доказать, что в этом случае должны остаться неподвижными все точки некоторой прямой, проходящей через данную точку, и что движение может быть заменено поворотом на определенный угол вокруг этой прямой, как вокруг оси. Пространственными движениями, не оставляющими неподвижной ни одной точки, являются, например, параллельные переносы.

Характеристики

Список файлов книги