Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 18
Текст из файла (страница 18)
74). Пусть поворот вокруг точ- 7 2я л и ки А на угол 2 ° — переводит точку В (. я в точку В". Тогда группа должна содержать перенос 1", переводящий А в Рис. 74. В". Но тогда, очевидно, перенос 1"р должен перевести точку А в точку С; а так как точна С ближе к точке А, чем точка В, то в группе содержался бы перенос, более короткий, чем й что противоречит нашему предположению. Таким образом в группах вида П, 2 могут встречаться только двух-, трех-, четырех- и шестикратные центры поворотов, Если угол 1р есть наименьший, содержащийся в одной из таких групп угол поворота, то нам следует рассмотреть следующие типы групп.' 11,2, еч Ч=п, 11,2,7: ~р= —, 2' !1,2, й: а= —. в' Оказывается, что каждому из этих четырех случаев соответствует в точности одна группа. 11,2,а.
В этом случае в группе должен быть по крайней мере один двукратный центр поворотов А. Подгруппа переносов, со. держащихся в группе, дает для точки А в качестве эквивалентных точек другие двукратные центры поворотов некоторой решетки: пусть АВВС один из образующих решетку параллелограммов (рис. 75). Здесь мы можем вернуться к рассуждениям, которые мы проводили в отношении групп 1,2, Р (с. 76 — 77). В соответствии с ними середина отрезка, соединяющего две произвольные точки решетки, также должна представлять двукратный центр поворотов, н обратно, всякий двукратный центр поворотов должен делить пополам один из таких отрезков. Рассмотрим середину Я отрезка АВ, середину Р отрезка АС н середину Т отрезков ВС и А11.
Все этн точки попарно неэквнвалентны. Как ГЛ. 'П. ПРАВИЛЬНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ только что указано, все опи представляют двукратные центры поворотов и вместе с точками соответствующих им решеток исчерпывают все двукратные центры поворотов, содержащиеся в группе. Таким образом мы имеем четыре различных класса двукратных центров поворотов, С Я д Повороты вокруг этих точек и переносы решетка АВОС ис; черпывают все преобразования А группы, так как согласно па- Я шей предпосылке в группу пе входят иные центры поворотов, кроме двукратных. В качестве фундаментальной области мы, очевидно, можем использовать Рис.
75, треугольник АВС. На рис. 76 и 77 изображены фигуры, составленвые из эквивалентных стрелок, которые полу. чаются в зависимости от тога, будем ли мы исходнть от неко. торой точки, имеющей произвольное положение (рис. 76), или от центра поворотав (рис. 77). В первом случае мы получим две Рнс. 77. Рис. 76, вставленные друг в друга решетки, которые отличаются одна от другой противоположным направлением стрелок; во втором случае решетки совпадают, так как ко всякому центру поворотов принадлежат две стрелки. Если вместо стрелок рассматривать только точки, то каждая из обеих фигур образует одиу правиль. пую точечную систему. Но тогда система, изображеикая на рис. 77, ве отличается от системы, соответствующей рис.
72, т.е. от плоской решетки общего вида. Если, обратно, мы будем искать для плоской точечной решетки общего вида соответствующую группу совмещений, то мы получим ие 11, 1, во всегда П,2,а, так как мы должны на рис. 75 выбирать параллело. грамм АСС совершенно провзвольво, и соответствующая рен э ы.
эвдоновскив ггэппы движвнии нх плоскости 83 щетка при движениях„содержащихся в группе, будет перево'диться сама в себя. Таким образом введение стрелок вместо тонек приводит к более четкому различению решеток, П,2, Р. Согласно нашему допущению наименьший содержа. 2л щийся в группе угол поворота равен —. Мы утверждаем, что 2л повороты на угол ~ — являются единственными. В самом деле, з из всех других углов может возникнуть вопрос только относительно угла л; но согласно теореме о сложении поворот на угол 2л и и поворот на угол — — 'должны были бы привести к повороту з ' на угол з, а такой поворот не может содержаться в группе.
Таким образом мы убеждаемся, что в группе содержатся исключительно трехкратные центры поворотов. л' Пусть А — трехкратный центр поворотов (рис. 78) и А-+ В кратчайший из содержащихся в группе переносов. Если при повороте вокруг точки А на угол А Н 2л — точка В переходит в точку С, то со- Рис. 78. гласно лемме 2 группа должна содержать также перенос А-~С. Решетка подгруппы переиосовдолжиа получаться из параллелограмма АВ0С, так как внутри этого па* раллелограмма по построению не могут находиться никакие дру. гие точки решетки.
Диагональ А0 разбивает параллелограмм АВОС на два равносторонних треугольника. Решетка переносов группы должна поэтому представлять наиболее плотную уланов. ку кругов и не может быть выбрана произвольно, как в случае 11, 2, л (точно так же и в двух следующих случаях мы убедимся, что соответствующие решетки переносов должны иметь специальный вид). Поворот (с() А — ~-АС и перенос (1)А-эВсовместно (пг) переводят АВ в В0 (рис. 78). Следовательно, движение И должно представлять поворотФ'вокруг центра М тре- 2л угольника АВ0 с углом поворота, равным —.
Таким образом точ- 3 ка М также является трехкратным центром поворотов группы. Далее, АС при движении Ы" = Ы' переводится через В0 в 0А 2л и, следовательно, И представляет поворот на угол — — вокруг центра йГ треугольника АС0; поэтому и У представляет трехкратный центр поворотов. Как и точка А, точки М и Ж приводят к решеткам, все точки которых суть трехкратные центры поворотов. Мы утверждаем, что этим исчерпываются все повороты группы.
Для доказательства достаточно показать, что два ГЛ. Н. ПрхвйЛЬНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ трехкратных центра поворотов Е н Е не могут находиться друг от друга на расстоянии, меньшем, чем АМ. Но движение И-'д'„ очевидно, есть перенос б Точно так же н два противоположно направленных поворота вокруг точек Е н Р дают в результате перенос, длина которого должна так относиться к расстоянню ЕК как длина переноса г относятся к расстоянию АМ. Так как согласно предположению в группе не существует переносов„ более коротких, чем Г, то н ЕЕ не может быть короче, чем АМ. Таким образом в группе действктельноне может быть другях '.центров поворотов, кроме точек трех решеток, соответствующих точкам А, М, У. Так как повороты вокруг точки А переводят каждую нз этих решеток в самое себя н не перед водят одной решетки в другую, то точки А, М, 7т' не эквнвалентны.
Поэтому группа П,2,() содержит трн различных клас. Рис. 79, са центров поворотов (рнс. 79). Точки каждого класса могут быть представлены как центры системы правильных шестнугольников, непрерывно н однократно покрывающих плоскость, вер« шины которых являются попеременно центрами поворотов двух других классов. Таким образом можно получить трн снстемы правильных шестиугольников, перекрывающих определенным образом одна другую. Кроме того получающаяся фигура может быть представлена как ортогональная проекция трех расположенных один над другим слоев решетки графита (рнс.
56, с. 63). В качестве фундаментальной области на рнс. 79 выбран ромб АМОйГ '); затем на этом же чертеже изображены два переноса, нз которых получается решетка переносов группы. Если рассматривать систему эквивалентных стрелок, не нсходящнх нз центров поворотов (рнс. 80), то можно получить трн вставленных одна в другую решетки, каждая нз которых характернзуется определенным направлением стрелок. Элементарный параллелограмм решетки не изображен на чертеже, так как в таком случае чертеж потерял бы наглядность. Если исходить от центра поворота (рнс. 81), то все трн решеткн совпадают, так как нз каждой точки должны выходить трн стреляя. ') Такая же система граиичащих друг с другам ромбов наблюдается в построеиии пчелиимх сот.
$!к Фадоэовскиа ГРуппы дВижениЙ их плоскости 85 П,2,у. Наименьший угол поворота этой группы у следовательно, в группе могут быть двух- и четырехкратные центры поворотов. Другие углы поворотов встречаться не могут, так как ип поворот на угол — вместе с поворотом на угол и согласно тео- 3 реме о сложении углов должен был бы привести к повороту Рис. 80. Рис.
8К на угол —, что противоречит нашему предположению о том, что в группе нет углов поворота, меньших — . Проведем исследование этого случая аналогично предыду. щему. Пусть А какой-нибудь четырехкратный центр поворотов (рис. 82) и А -+ В кратчайший перенос этой группы. Если прн повороте вокруг' точки А на Я П угол — точка В переходит в 2 точку С, то и А -~ С представ- и ляет перенос, также содержащийся в группе. Решетка переносов группы должна, следо- Ф вательно, получаться из квадрата АВОС, так как вершинами этого квадрата служат точки решетки и квадрат не может содержать никаких других точек решетки. СледовательРис. 82.
но, так же как в предыдущем случае, решетка переносов не произвольна, а имеет особенный симметричный вид. Если теперь мы добавим к переносам н повороты на угол и, по не на угол —, то мы получим подгруппу, которая должна быть группой вида 11, 2, а. Центры квадратов, например точка М, так же как и середины сторон квадратов, например точка Ф, образуют вместе с вершинами квадратов 86 ГЛ. 1!. ПРАВИЛЬНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ полную систему центров поворотов подгруппы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
