Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Вполне аналогично с атилл примером и в некоторых других решающих ллестах обнаруживаогся, что благодаря выделению ступеней мы теряем возмоткность отобразить с помощью лотт!ясского исчисления некоторые математические заключения. В особенности это имеет песте для обосиоеания теории дсйппеительпых чисел.

В математике употреби!елены различные счю сабы введения действительных чисел; действительное число определяется с помощью канторовского фундаментального рядн, оесконечной десятичной или двоичной дроби, дедекиндова сечения. Для присоединения к логике наиболее удобен дедекиидов метод; при этом при разбвеннях рациональных чисел, образующих сечение, достаточно всегда рассматривать только класс меньших. Класс илн множество рациональных чисел за.

дастся определясощнм его предикатом. Таким образом, под действительным числом мы будем понимать преднкат, обладающий определенным свойством, так называемым лсвойством сеченнял Бс (Р), причем мыдолжны следить за тем, чтобы эквишслентные преднкаты выражали одно и то же действительное число. Далее, действительныо числа должны образовывать определенно ограниченную область предметов; ибо в анализе нам постоянно поиходисся иметь дело с предложениями о всех действителытых числах, равно как о суп ествовании действительных чисел. Мы должны поэтому ограничить предикзты, принимаелипе нами длп определения действительных чисел, некотороц определенной областью и будем допускать, например, лишь преликаты первой ступени для определения действительных чисел.

Действвтельное число является, таким образом, предикатом первой ступени Р„ удовлетворя!ощип определенному условию Яс (Р,). Сумма и произведение двух действительных чисел могут быть при этом определены соответствующим образом и фактически, в свою очередь, выражены преднкатом первой ступени. Однако другой вопрос получаются ли и более высокие способы заключений математического анализа из нашей логической теориир К числу особенно важных следует причислить предложение о еерхпей границе, утверждающее, что для всякого ограниченного мпоткестпа действительных чисел существует верхняя граница, т.

е. действительное число а, обладающее тем свойством, что всякое число множества "= а и что для всякого действительного числа, которое (а, существует по меньшей мере одно число множества, большее его. Не вдаваясь в подробную формальную трактовку (мы это сделаем в б б), нетрудно содержательно уяснить себе, что в определении предиката, представляющего верхнюю границу, должны были бы встречаться знаки обшности и существования для предикатов первой ступени; но это значит, что сам этот преднкат должен был бы быть второй ступени и, следовательно, вообше он не выражал бы какого-либо действительного число.

Таким образом, мы вообще не можем с помон1ыо нашего исчисления провести доказательство существования верхней границы, б 7. Аисаомл сеолнмосто На приведенных примерах обнаружилось, что метод ступенчатого исчисления слишйом ограничивает возможности логического вывода; мы попытаемся поэтому так видонзвенить это исчисление, чтобы оно получило бдлыонс возможности.

Рассмотрим еще раз доказательство существования верхней границы. Невозможность провести доказательство в ступенчатом исчислении проистекает из того обстоятельства, что преднкат, который должен был !пределять верхнюсо Приломсснис Г границу, был выше, чем первой ступени. Доказаоельство было бы завершено, если бы для подобного предиката существсвал эквивалентный преднкат первой ступени, таь как такой цредикат действи~ельно выражал бы действнтельнсе число.

Аналогично обстоит дело дяя канторовскога доказательства существования несчетных множеств. Исходя из этоса, У,бшхед и Росгел придумали следующий выход нз положения: онн присоединили к ступенчатому исчислению особый постулат саксиому сводимагасио (сах!ош о! гедис(Ы(((уо). В целях общей формулиронки этого посзулата мы расширим определенное до сих пор только для предикатов понятие эьннвалентнссти, называя вообще две функции с аргументами одного и то~о же рода эквивалентными, если они выполняются для одинаковых в точности ссгстем шоачений аргументов.

Далее, мы введем новый термин, назьшая фупкцнональное выражение олредикашивлычо, если оно ииеет самую низ«ую ступень, совместимую с родом его аргументов, т е. ту ступень, которая принадлежит выражению, содержащему ароумепты рассматриваемого выражения в качестве единсзвенных неопределенных знаков. Применяя эту терминологию, нашу аксиоооу можно выразить так: оДля всякого всшрсчиющггогя в ступенчатом исчислении функбссанальнгого выражекил гущестаует окви.

валена яме лредикашивное выралгеннво. Как частный случай здесь заключено допущение, что для всякого предиката Р, (х) (с произвольным индексом л), аргуооент которого относится к первоначальным предметам исчисления, существует эквивалентный предикат первой ступени; т. е., нз языке нсчисления,для всякого индекса л формула (Ро) (В~ о) (х) (~ о (о'') ' с (а)) является истинной. Можно было бы думать, что вследствие допущения аксиомы сводимостн только чта исключенные проти- Прононс Шс аксиомы сводамости наречия возникают снова; что эта не так, легко выяснить на расслютренных нами парадоксах. 'ото касается первых двух парадоксов, то к ним наш постулат вообще неприменим; к первому пото. му, что здесь функция Рд(Р,) уже предикативна согласно своему определению; ко второму потому', что наша аксиома касается только функциональных выражений, а не выражений для высказываний.

В третьем парадоксе возможно применение нашего постулата. Обусловяенное ступенчатым исчислением снятие противоречия основано здесь на там, что ступень функции Мдс (х) на единицу выше индекса функционального знака Р, неявно встречающегося в ее определеяии; зто дает нам возможность воспользоваться нацсиог новым допущением. Мы можем теперь утверждать существовзние предиь ага первой ступени, эквивалентного Мдв( ). Но этим не вызывается возвращение прежнего противоречия, нбо, утверждая существование прсдиката, эквивалентного Мдз(л), мы ведь еще не пишем символического выражения для такого предиката и пе можем поэтому предполагать, что функция Бег выполняется для этого преднката, так что отпадает существенное условие для возникновения противоречия.

й 8. Прниомсмнс аксиомы сэалнмастн После того как мы показали,что и прв допущении аксиомы сводимости приведенные парадоксы попрежнему исключаются, поясним на нескольких примерах, как благодаря введению этой аксиомы устраняются препятствия, маша!он!не нлодотворнаму применению ступенчато~о исчисления. В качестве стоящего быть отмеченным преимущества, которое мы получаем бласодаря допущению этой аксиомы, прежде всего упомянем, что она дает нам вазможность строго формально (для каждого значения и) вывести отношение: = —, (х, у), (х, у). Поило«и«ми« I При« еиоиио аиоивмы вводим«ото ззз Это удается сделать следующим сбразом.

Сначала покажем следующее: пусть Ф(Р„) — функцнснальнсс выражение, зависящее от Р„, и пус«ь для него формула А) (х) (Ро (х) Р, (х)) о (Ф(Р) — Ф(Р )) является доказуемой в исчислении. Мы утверждаем тогда, что л«о>кис доказать такм<е формулу: В) (Р,) Ф(Ри) (Р,) Ф (Р,). Докаваювяьсшво. Ставя впереди знак обп ности (Р,) н используя формулу (34), мы получаем нз А); (ЕР ) (х) (Р„(х) Р, (х)) — о (ЕР ) (Ф (Р ) Ф (Р„)). Это выражение, благодаря замене (ЕР,) (Ф (Р, ) —: Ф (Ро)) зквнвалептным выражением (Р ) Ф (Р ) — Ф (Р.) можно заменить на (ЕР,) (х) (Ри (х) Р, (х1) ((Р,) Ф(Р,) — о Ф(Ро)). Если мы з;есь поставим впереди знак общности (Р„) н используем формулу (31), то получим: (Р„) ((ЕР,) (х) (Р„(х) Р, (х1) (Р„) ((Р,) Ф (Р,) Ф(Р )).

Так как формула слева от знака и совпадает с вырзжением аксиомы своднмости, то мы получаем: (Р„) ((Р,) Ф (Р,) — о Ф (РЕВ и отсюда: С) (Р,) Ф (Р,) и (Ро) Ф (Р„). С другой стороны, имеем: (Ри) Ф(Р„)- Ф(Р,) (применение аксиомы в)). О) (Р„]Ф(Р„)- (Р,)Ф(Р,) (по правилу ('), Из С) и О) получаем В). Но Ро(х)' Ро1У) есть ныРаи«ение Ф(Р,), Лла которого доказуема формула А); ибо нз (х) (Ри (х) Р, (х)) -о (Ри (х) Р, (х)), (х)(Ри(х) Р,(х)) — >(Р,(у)- Р,(у)) оы получаем: (х) (Р„ (х) Р, (х)) [(Р, (х) Р,(у)) (Р. (х) Р„ (у))). Таким образом, и; ля итого Ф(Р) имеет место соотношение В), т., ея (Ро) (Р„(х) - Р„(о)) - (Р,) (Ро (х) - Р, (у)) или, иначе написав: =— , (х, у) =— ., (х, у), что н требовалось доказать. Роль аксиомы сводимости оказывается еще более знюштелщ«ой при обосновании творнн дейв«явно«1вяьных чновя.

Мы уи«е раньше кратко указали способ выражения дедекиндовской теории в логическом исчислении. Следуя Дедекинду, мы определяем действительное число как «сечение», т. е. как разбиение рациональных чисел на два класса со следующими «свойстваин сеченилю 1. Каждый из обоих классов содержит по меньшей мере одно рациональное число. 2, В первом классе не существует наибольшего рационального числа. 3. 1.слн какое-нибудь рациональное число принадлежит к первому классу, то и все меныане рациональные числа принадлежат к первому классу. 22б Ггриоожекие Г Примекекае окоиола еводоооето Как уже было раньше упоьшнуто, при разбиении описанного рода всегда достаточно рассматривать толь- ко первый из обоих классов; в таком случае мы имеем дело с множеством рациональных чнсел,'которое мо- жет быль пре,,ставлено с помощью одного из опре„е- ляющих его преднкатов, Мы поступаем ьозтому следующим образ>м; при- нимаем рациональные числа с их осноннымн арифме- тическими отношениями за систему предме>ов области индиан;уумов.

Характеристики

Список файлов книги