Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Под действительным числом мы понимаем в таком случае множество рациональных чисел, для которых существует определяющий предикат Р, удовлетворяю- щий следу>ощип трем условиям: 1. (Ех)Р(х)й(Ех) Р(х). (аОпределюшые через Р(х) и Р(х) классы оба не пус- ты>,) 2. (х) (Р (х) — (Еу) (< х, у) й Р (у>)) . (вДля всякого рационам,по>о числа, обладающего снойствол> Р, существует большее, также обладаю- щее свойством Рв.) 3.
(х) (Р (х) — (у) ( < (у, х) Р (у))). (вйсли х имеет свойство Р, то и все меньшие рацио- нальные числа у имеют свойство Р»,) Эти >рн условия, взятые вместе (мы можем их мыслить себе соелнйенными знаком й), составляю> «свойство сечения> предиката. Это своде>во преди- ката мы будем обозначать Ьс (Р). Два преднкатз Р и С) со свойствами Бс(Р) и БсЯ) тогда и только тогда выража>от одно и то же действительное число, когда прина;>лежащие Р и О множества совпадают, г.
е. если выполняется Асц (Р, (>). цтобы уд> влетворигь требованию ступенчатого исчисления, мы должны еще установить для определяющих действительные числа преднкатоа наивысшую ступень. В целях наиболь- шей просто>ы мы будем допускать толы<о лреоикааы первой ступени для определения действительных чисел. Теперь мы установим между действительнымн числами отношение величины.
Для >вух преднкатов Р„>г„обладающих свойством зс, выра>кение =(Р„(),) равнозначно с 1шр(Рн Я,), т. е. с (х) (Р, (х) Я, (х)) или, в виде формулы: б (Р,) йб ((),) (1шр(Р„(),)-а(Р„С>,)). Высказывание < (Р„Ц>) тогда будет определяться выражением: бс(Р,)йбс(Е,)-ѫЄ(),)-(1 р(Р„В,)й А — ц(Р„(),))).
В таком случае можно доказать в исчислении, что оба отношения гы(Р„>2,) и < (Р„(),) транзитивны. Точно так же можно вывести все остальные свойства, характерные для упорядочнвающего отношения. Сложение и умножение действительных чисел можно свести к сложени>о и умножению рациональных чисел. Предикат (Еу) (Ев) (Р, (у) й Я, (в) й (х=у+ г)) выражает сумму, а предикат (Еу) (Ез) (Р, (у) й (), (г) й (х = у ° г)) произведение действительных чисел, определенных через Р и 1) (к=у+в и х=> ° а здесь трехчленные основные предикзты в области рациональных чисел). Мы имеем теперь возможность ввести обычным образом понятия ограниченности и верхней граница множества лействительных чисел.
Множество действительных чисел выражается предикатои предикатов А (Р), удовлетворяющим условию; (Р,) (А (Р,) — о йс (Р,)) й (Р,) (С>,) ((А (Р,) й Аец(Р„(),)) А (1),)). >б Оош Р ивовое ооечоо Приложение 1 Пркмококко аксиома ыодкмостк 227 Утверждение, что множество А(Р) действительных чисел ограничено сверху, означает, что существует действительное число, большее или равное каждому числу множества; в виде формулы: (ЕР,)(8 (Р,)й(О.идами- (Е„Р,)И.
вместо чего мы пишем также кратко (ЕР,) 8сй(Р„А), или, словесно: существует число Р„представляющее верхний предел множества А. Мы допускаем также, что А(Р,) содержит по меньшей мере один элемент, т. е., что верна формула: (ЕР,) А (Р,). Значениями аргумента А являются только предикаты первой ступени. Что касается определения наивыссвей ступени самой функции А, то эта ступень должна быть выбрана по меньшей мере равной 2, ибо А (Р), как функция от предлката, не может быть первой ступени.
Но в остальном она остается совершенно произвольной, и мы выберем за индекс А какое- нибудь определенное л. Предложение о верхней границе можно теперь формулировать так; если мнажестеа дсбстеительосыл чисел имеет серлний предел, та ана имсесл лсакже наименьший верхний продел, Математическое доказательства существования верхней границы, приведенное к простейшей форме, состоит в том, что для рассматриваемого множесова действиэельных чисел, представлякщего собой множество множеств первой ступени, абразушся множество, являющееся их суммой. Согласно замечаниям б 3 этой главы, соответствующая А„(Р,) сумма множеств выражается предикатом: (Ерс) (Р (х) й Ао (Р.)). Обозначим этот предикат для краткости через Чй (х, А.). Для предиката Чй(х, А,) нужно, следовательно, показать, что он выражает действительное число, представляющее верхнюю границу множества А„. Прежде всего мы должны показать, что множество, определенное через Чб(х, А,), вообще является дей.
ствительным числом. Легко показать, что три свойства„ соединеиныа в бс, верны длн Уа. Выведем первое свойство. Из (ЕР,) А, (Р,) (Ро) (Аа (Р,) — 8с (Р,)) мы ааключаемо (ЕР„) (бс (Р,) й А. (Р,)). оак как верно 8с (Р,) -ь (Ех) Р, (х) то иы имеем: (ЕР,) ((Ех) Р, (х) й А„(Р,)). Последнюю формулу можно преобразовать к виду: (Ех) ( ЕР,) (Р, (х) й А, (Р,)), т. е. получаем. (Ех) Чй (х, А ).
Наряду с этни можно показзть (Ех) Чй(х, А„), т. е, (Ех) (ЕР,) (Р,(х) й А„(Р,)). Эту формулу можно преобразовать сначала к виду: (Ех) (Ро)(А„(Р,) о Ро (х)). Согласна предположениоо об ограниченности мнооке- ства Ао, мы имеем: (ЕР,) (8С (Р,) й (С),) (А„(О,) ~ (Оа Р,))), Далее, верно: 8с (Р,) -о (Ех) Р,(х), таким образом; (ЕРо) ((Ех) Р, (х) б 8с (Р,) дс Я,) (А„(О,) -ь тй (О„Р,))).
сз* Прилохеемое Г Из определения =((д„ Р,) легко получаем: ~ Яь Р,) й бс ((),) й Яс(Р,) (х) (Р, (х) С], (х)). Выражение Я,) (А, (е),) - (е)„Р,)) может быть в предпоследней формуле заменено выра- жением: ((],) [А„ (се,) -» (х) (Р, (х) †. с],(х))], или же (х) (Р, (х) ((],) (А„(9,) — » (], (х))), Из формулы (ЕР,) ((Ех) Р„(х) й бс (Р,) й (х)[Р, (х) — » (С],) (Ао (Ч,) — » ()» (х)) ] ) мы получим тогда: (Ех) ((],) (А„(Е,) е], (х)), т. е (Ех) Чй(х, А„). Таким образом, для Чй(х, А,) доказано первое свойство сечения. Аналогично доказываем для Чй(х, А,] свойства 2.
и 3. (см. стр. 224), так что, следовательно, верно бс (Уб). Но этим еще не установлено, что Чи(х, А») предстанляет собой действительное число. Для этого нужно было бы знать, что принадлем<ащее предикату Чд(х, А,) множество может быть определено предикатом первой ступени. Но само Чй(х, А„) заведомо не первой ступени, так как в нем встречается квантор (ЕР,). Здесь как раз то место, где используется аксиома своди- мости. По этой аксиоме имеем: (ЕР ) (х) (Р, (х) --Уи(х, А„)). Таким образом, Чи(х, А„) определяет Оействшнельное числа.
Лрименеиие отиомы свОди ооети ббы покажем теперь: (Р,) (А (Р,) — ~,=(Р„Чб(х, А.))), еи. е., чта действительнее число. саатсетствуюи(ее Чб (», А„), являетсл верхним пределам множества, алределенлаго выражением А„(Р,). Если мы подставим теперь влоесто Чб и ~ опре- деляющие выражения, то эта формула превращается в выражение: Р (А„(Р,) — » (х) [Р (х) — » (ЕС],) ((] (х) й Л (С] ))]) а после преобразования — в выражение: (Р,) (х) (А„(Р,) й Р, (х) (есе,) (А, (се,) й Я, (х))).
Последняя форма позволяет увидеть в нашей формуле результат применения аксиомы Г). Остлется еще показать, что Чб(х, А,) является ееиимеееьиеим всрхнич пределом или в виде формулы что; '(Р ) [[б (Р.) й(() ) (А. (а) == (с]„Р,)Н = (Чб, Р,)). Если мы здесь снова заменим все сокращения их определениями, то получим: (Р,) ([Бс (Р,) й Я,) (А, ((],) — » (х) ((), (х) — » Р, (х)))] — » (у) [(ЕР;) (Р, '(у) й А„(Р,')) — » Р, (у)]]. Знак общности (х) можно сдвинуть здесь вперед; таким образом, получим; (Р,)([бс(Р,) й( ) М,)(А.(Е,) й (],( ) Р,( )И- (у) (ЕР;) (Р; (у) б А. (Р;) Р* ()'))) Эту формулу мы можем вывести с помощью фор. мулы (22), Приведенных примеров достаточно, чтобы показать, что введение аксиомы сводимости является подходяшнм средством преобразования ступенчатого исчисления в систему, с помощью которой могут быть отображены методы доказательств высшей математики.
Полное по- Приложение 1 Злмлчлллл л лтулататлл ллаислллии 231 строение основ математики с помощью ступенчатого исчисления было выполнено Уайахе>>лм и Расселом'. $ Е. Злллмчлтельлые алмечанлл л етулелчатои лсчлеланил В этой своей окончательной форме рэсселовская ступенчатая логика представляет собой логический инструмент. пригодный даже прн выражении сложнь!х логических связей, какие встречаются в теории действитель. ных чисел Однако рассмотрим еще раз принципиальную сторону этой логики. Трудность, нриведшач к установлению ступенчатой логики, состояла в том, что понятия <все свойстваю, !все высказынаниял, если они употребляются неограниченным образом, содержат порочный круг.
Основная мысль с>упенчатой логики состояла при этом в следу>ощем> мы положили в основу определенную область индивидуумов и представляли себе данными определенные, относящиеся к предметам этой области, основные свойства и основные отношения. Дальнейшие предикаты получались из них с помощью логических операций. В зависимости от способа их определения, функциям приписывалась определенная ступень. Так как при этом исчисление оказалось недостаточным длл приложений, мы помогли себе посредством введения аксиомы сводимосги. Но в чем состоит содержательный смысл этой аксиоаыг Она отнюдь нс очевидна, как другие правила вынода, которые мы перевели на язык формул исчисления функций. Мы можем сказать еще кое.что не в пользу аксиомы своднмости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
