Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 38
Текст из файла (страница 38)
При лроиллальнем выборе основных свойс >в и основных соотношений аксиома сводимости, вообще говоря, заведомо не выполняется. Следовательно, речь должна итти о том, чтобы в каждом данном случае дополнить систему основных функций так, чтобы удовлетворим, требовани!о этой аксиомы. ! И>ьдльеал, А. х, ало >>аме1, и., Рг!лс!р>а л>а1ьетайса. Конструктивным приемом нельзя достичь подобного дополнения, >ак как первая ступень, по определению, замкнута относительно операций й,,', — л,, 1х),1Ех). Таким образом, остается только возможность пре поло>киль систему основных преднкатов первой ступени в виде некоторой само по себе существующей совокупности, так что их многообразие не зависит ни от фактически данных определений, ни вообще ат наших возможностей определения.
Зта область функций первой ступени должна быть настолько обширной, чтобы выполнялась аксиома сводимости. Если иы будем считать предикаты различными лишь постольку, поскольку различны принадлежащие ии мно>кес>ва, принимая, следовательно, теоретико-множественное истолкование исчисления, то требование аксиомы сводимости означает> совокупность функций первой ступени должна быть настолько обширна, чтобы закл>очать уже все функции. Но в таком случае идея ступенчатого исчисления была бы бесполеэ>>ым усложнением, н можно с самого начала предположить систему всех функций одного и того же типа как существующую саму по себе совокупность. Поэтому из рэсселовских идей сохранилась бы только первая,— что нужно строго различать между индивидуальными функциями, функциями индивидуальных функций и т. д.
Собственное же различение ступеней отпало бы. Если мы заранее кладем в основу систел>у всех индивидуальных предикатов как неизменную совокупность и лишь определяел! затем какой-нибудь индивидуальный предикат через отношение ко всем индивидуальным предикатам, то логического круга не получается. Не вводится ведь никакой новый индивидуальный предикат, но лишь более точно обозначается некоторый определенный индивидуальный предикат через отношение ко всем индивидуальным предикатам. По меныпей мере иы имеем здесь дело со случаем, несущественно отличающимся от рэсселовской ступенчатой логики с присоединением аксиомы сводимости. И здесь можно определить предикаты При««вгекие т первой ступени и, определяя сначала некоторый предикат второй ступени, брать затем эквивалентный предикаг первой ступени. Спрап,инается однако, как при таком понимании обстгит дело с пора<««псами.
Возникновение перв<го парадокса основано на том, что пр едикат употребляется в качестве своего собственного аргумента. Подобнап подстан<вка на пустое место функции теперь невозм<жпп, так как функция всегда имеет более высокий тин, чем каждый из ее аргументов. Оба других парадокса нд«е<ст существенно отличный ат перв<го характер. В то время как первый парадокс обнаруживал противгречие в самом функциональном исчислении н той общей форме, в которой оно тогда была сформулировано, оба другие указывают лишь нз нссовместичость с исчислением некоторых утверждений.
В первом случае это были Вй[(Х) (Вй (Х) -.«Х)] и (Х) [Вй (Х) — =, (Х, (У) (Вй (У),У))], а ва втором случае (Е..) В«с (х), бег (Мбз) и (Р) ((Е ) Р(х) . (Ех)[Р(х)б<(у)(((у, х)оР<у ]]. Ни одно нз этих предложений не выражает логического тождества.
Таким образом, эти парадоксы вообще не затрогишпот нашего исчисления. Поэтому мы не будем нмн больше заниматься. Все >ке, з самом общем понимании, исчисление, к<герое мы таким образом получаем, без деталыюга наследования остается еще проблематичным. Твердр обрисованную и замкнутую в себе область формул и<« получаем, допуская только переменные, сответствующие нпднвндуалы<ым предикзтам, и соответствупицне кваптары.
Для этой области может быть поставленп ««проблема разреп<имостя. ПРИЛОЖЕНИЕ П' КомментариЯ к б 1 первой гвввм Настоящий комментарий имеет целью облегчить чтение книги для читателя, не привыкшего к стилю с<временной математической литературы. В нем намеюются самые общие контуры исчисления высказываний и содержится подробный разбор с<держания первых страниц книги. Естественно, что этот разбср не маг пе отразить точки зрения его затора.
Каждому нз нас случалссь, вероятно, не раз употребить в споре выражевне: «Да этаже логически следует нз ваших собственных слсв«. Что значит здесь «логически с«<«дует«г В каком случае мы можем сказать про адно утверждение, что оно является «логическим следствиемв из другого (или других) г — Попытке дать ответ на щот вопрос, уточнению запаса средств, с ппмашью которых в так называемых точных пауках, осабеннов ма~сивчике, из одних предложеннйвыводятся другие, «логически следующие«зз них, посвящена, в основном, настоящая книга, Простейшая из задач этого рода рассматривается уже в первой ее главе.
Тут речь идет о наиболее бедном лсгическом аппарате, достаточном для вывода логических следсшнй толь«о в самых простых случаях (с которыми, впрочем, иам приходится встречаться и во всех более сложных случаях подсбно тому, как в самых слюкных областях математики прихгдится польз<ваться арифметическими операциями с натуральными числами О, П 2, 3 н т. д.). Простота этого аппарата сон<вана на том, что мы ,абстрагируемся от всех логических тонксстей мысли, ,щ«рнжаемых в обычнсм ранг<варнам и, ос<бенно, литературном языке, н различаем высказывания по одному 1 Комментарии редактора перевод« вЂ” С. л.
яновской Лрил»эгп»ие г! Н»миекмвриа к б г лер»»а гаа»и ззз единственному признаку: с точки зрения их истинностп или ложнгсти. Рассматриваечые с такой точки зрения любые два истинных высказывания, врсде»Дважды двз — четыре» или »Наполеон умер 5 мая !52! годъ, равно как и любые два ложных высказывания, вроде»Дважды два — пять» нли»Снег чере»л, тршггуются как эквивалентные друг другу. Различия между ппми выступают лишь в процессе развития логики, связанного всякий раз с выяснением недостаточности уже построенного аппарата, несоответствия использ> емых нм форм выражения мысли и способов выв» да следствий с годер»калием научных дисциплин, к которым он должен применяться.
Итак, в исхгдном пункте логики высказываний лежит подразделение высказываний на истинные и ложные. Авторы ссвсем не астанавлившотся при этан на яопрссе о том, как именно происходит выяснение истинности нли ложности высказываний. С нашей точки зрения, этого нельзя сделать, ге опираясь в конечном счете на критерий практики. Ибо истина для нас ес»ь соответствие с реальнгй (материальной) дсйс»вительнссгью, прсверяемге на практике.
При подразделении высказываний яа истинные и лс>кные в исчислении высказываний, как вообще в классической формаль. пой логике, предполагается еше, что одно и то же высказывание не может быть однсвременно как истинным, так и ложным, но должно быть обязательно одним нз двух: либо истинным, либо ложным. Метафизики, о которых Энгельс остроумно говорил, что они «мыслят закозченными, непосредственны»ги противоположениячк» и речь их »состоит из»да — да, нет — иет; что свеэх гого, то от лукавого», полагали, что все наши высказывания автоматически удсвлетворя»от этому тре. бсванию. Мы хорошо знаем теперь, что на самом деле это не так.
»Я вспоминаю,— писал И. В, Сталин еще в ! 004 г.,— русских метафизиков 50-х годен прошлого столетия, которые назойливо спрашивали тогдашних диалектиков. полезен или вреден дождь для урожая, и требовали от них»решительного» ответа. Диалектикам нетрудно было доказать, что такая постановка вспрсса севе>шенно не научна, что в рвзнсе время различно следует отвечать иа такие вгпрссы, что во время засухи даждь — полезен, а в дождливсе время— бесполезен и даже вреден, что, следовательно, требование ерешительнсгс» ответа на такой вопрос является явной глупостью».
Чтобы правильно поставить вспрос, уточнить его настолько, чтобы он допускал только один из двух ответов: да или лгш, приходится иногда очень основательно поработать. В исмислении высказываний исходят из предположения, что имеется уже некоторый запас высказываний, удовлетворяющих этому требсванию.
Принадлежащие этому запасу высказывания называются основными или элем»ил>арнымп. Задача, с которой начинаетсн псстрсение исчисления, состоит в устаи»в. ленни некоторых средств, позволяющих, имея какой- нибудь запас элементарных высказываний, построить с его помощью новые высказывания, удовлетворяющие тому >ке требованию. т. е.
либо истинные, либо ложные, и притом только одно из двух. Соответствующие правила исчисления назывшот иногда поэтому правилами образо»линя. Самое исчисление высказываний можно при этом с~роить двумя различными способами: 1) «формально-дедуктивным», или»аксиоматическим», и 2) »содержательно-алгоритмическим», или ггабличным» (иногда говорят «матричным»> Оба они изложены в первой главе, где дано также доказательство эквивалентности сбоих построений, на смысле которой мы остановимся в особом приме шнии. Сейчас охарактеризуем вкратце оба спсссба. Предварительно заметим еще, что так как мы совсем не входим пока в содержание высказываний, не отличаем даже друг от друга любых двух истинных (соответственно ложных> высказываний, то всякое элементарное высказывание нам приходится рассматривать как одно нерасчлеияемое целое †обозначаем, Прав»»квакв П соответственно, одной буквой, †которо предполагается отнесенным одно и только одно из двух «значений истнннастиы лешина или лаомь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
