Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ротко илпли««виго. Поиытки такой формализации Эыли предп!иняты Льюисом и его послезователяии в так называечоя исчислении «строгой нмплинации«', Несло»рана ояа интересных Гезультатов. свя- занных с исследованием рэзаичных предлюкенных систем «строгай ичпликчцюы, ни одна нз ннх не кажет претендовать, однэио, на полную йюгмализацию наиболее обычного вида условного предложения, не гово,' я уме о подлинной формализа- ции «чогического следования», Впрочем, в обычной речи встречаются и формы, очень напоминающие связь «-о» исчисления высказы- ваний. Так, предложение «Если крупные предприни- матели не оказывают британским фашистам финансовой поддержки, то дважды два пять» верно именна потому, что мы не мо»кем сомневаться в ложности его посылки.
Итак, в самом исчислении высказываний иа языке его терминов нельзя формализовать полностью условное предложение и тем более не следует трактовать формулу Х вЂ” «У как «Х логически влечет Уэ или «у л оги- чески следует иэ Х», как это иногда делают. Тем не менее, с помощью связи «о», хотя и не в самой логике высказываний, а в ее мсталогике, изучающей структуру формул исчисления высказываний, можно определить достаточное для простейших случаев поня- тие елогического следствия».
Чтобы пояснить, как это делается, заметим, что среди формул исчисления. высказываний некоторые оказываются истинными при любых значениях входящих в них переменных. Таковы, например, формулы: Х«Х,Х«уХ, ХйХ, Действительно, из того обстоятельства, что Х мажет иметь одно и только одно из двух «значений истинности», и из определения связок , у, й», получаем, как это видно на следую- щих таблицах: Прог«лсгппг Н Копи«апории к з г перв»п гоп«и 249 что формулы Х вЂ” Х, Х',~Х, ХЙХ соответствуют всегда истинным высказываниям.
Каждая из ннх истинна при люб.й подстановке вместо Х какого-нибудь высказывания, отвечающего треб»ванини классическьй формальнсй лсгкки, т. е. либо иста»шага, либо лажи»го, и притом только одного из двух. Такого рода формулы (про которые, ссылаясь на их всегда-истнннсстеь говорят иногда, что онн истинны талька в силу евсей формы, незав»:симо от содержания входящих в них основных высказываний) называются логическими предложениями, логическими тождгстсами, или законами логики. Заметим асс же, что написав, наприиер, ХУХ. мы пе высказали еще в действительности никаксго утверждения, тем бглее как»И-нкбудь истины.
Только подстав~ в в эту фар»лулу какое-нибудь высказывание, мы действительно получим предл эх»ение. >) чтпбы ана было истинным, нужно на самом деле убедиться еще в талл, что мы имеем дело с высказыванием, предэзрительно достаточно обработанным, чтобы о нем можно было рассуждать по законам классической формальной логики. Убеждение же этсго рода создается лишь, опираясь на содержание. Таким образом, при применении даже простейшей части логического исчисления, наивозможно белее абстрагирующейся от содерукания рассиатриваемых в ней высказыааний, последнее нельзя все же полностью сбросить со счета.
Отметим еще, что фориула Х вЂ” »Х соответствует обычному «закону тождестаав, формула ХУХ вЂ” «закону исключенного третьего» и формула ХИХ вЂ” «закону противоречия» Этими формулами не исчерпывается, конечно, запас всегда-истинных формул, или «законов логиккл исчисления высказываний. Их существует бесчисленное множество. Составив соответствующие таблицы, мы убедимся, например, во всегда-истиннссти формул: Х-»Х, Х вЂ” »Х, Хь(У вЂ” »Х), Х-+(Х вЂ” «У), (ХЬУ) — >Х вЂ” »У (ХИ (Х -.У)) -~У, (Х -» У ) — » (У -» Х), (Хб)У) — »Х, Х вЂ” >(Х»»>У), и многих других, нз характеристике запаса которых пе будем сейчас останавливаться. Читатель прочтет об этом в тексте книги.
Дэп уира пнеппп эыпоанплг только проверку Эпп фариулы (ХИ УР) Х У ° Х(У)(У Х- У ~ (Хрй) -Х-У и (; г и ~ л (1 и л л Л л и л л Такуго проверку пампа аыпплнпть н беэ паэр«бнаго оыпнсивэппп всей таб«нпн. Нов~о формула н.ет внл И э, г»« перю и об«апач«на хгсу, через и — л у.
на вирек«оке и З ип.кет быть эсмно тоська. если И истинно, а Ф вЂ” полно. Длп того и е, чтобы И было нстпппьь>ь купно,' «тобо нстнпными б»лп оба, Х н У, т. е, Х было истинным, а У по,кньн. Но о такам случае Х У будет помним, а Х Унстноньи, Мьа спе>о«псе»ьно, пе иом"и устроить так, чтобы пао истинности И побпться покпостн 9. Знпч»ппсм пстннностн пирам«пня (ХЭ Р) Х У, таким абрагом, мо,кот быть точько «истина .
С помощью таких всегда-истинных выражений, или «законсв лагикнь, мы и можем спределить теперь понятие «логического следстнняь для лсчисления высказываний. Именно, мы будем у»варить, что формула ю есть логическое следствие из посылок И„ И„..., 6», збо 1Солооояшарий к б 1 яервой глоом Пдчлошгние ! 1 если выражение (й(, й 6, й...
й шь)- 5 есть всегда- истинная формула исчисления высказываний («закон логикиэ). Так как мч лроа«рялл у,кв, что ХЩУ -Х-У всегда-ясглялая формула, то моя ем сказать, что форьгула Х У есть ологяческое следсгвле» яа лосылок Х л У. Но определение «логического следствияэ приобретает настоящий интерес пе в пределах самого исчисления высказываикй, а когда мы переходим к его прниепенням, Поясним соответствующее определение на примере. Пусть имеем следуоошую систему посылок: !. На основной вопрос философии об отношении между ьгышлепием и бытием существуют только два ответа: материалистический или идеалистический.
2. Материалистический ответ несовместим с идеалистическим. '3. Если махисты говорят правду, то их ответ на основной вопрос философии пе материалистический и не идеалпспгческнй. Непосредственно очевидно, что логическим Следствием отсюда является предложение: 4.
Махисты не говорят правды. Мы увидим сейчас, что предложение 4. логически следует из предложений 1.— 3, ив сиысле исчисления высказываний, С этой целью запишем сначала предложения 1.— 4. на «языкеэ, близком к «языкуэ этого исчисления (такую запись называют иногда логической вфориализациейэ).
В качестве элементарных выберем высказывания (чтобы показать, что буквы служат здесь не перемен. ными, а обозначают вполне определенные высказывания, мы нх будем снабжать звездочками): Х„: «На основной вопрос философии дается материалистический ответе. )оо; <На основной вопрос философии дается идеалистический ответь. Яо: «Махисты говорят правду». (Ложность этого утверждения мы и будем сейчас доказывать.> Тогда ваши посылки приобретают вид: 1 Хо ЬУУо з.х„ау, 3.
3, (х„ау„), Заклоочение же гласит; Я. Е*. Для нашего примера формулировка определения лсгического следствия будет иметь прп этом вид: Доказать, шло заключение 4. есть логическое следствие аз посылок 7,-3., зто значит показать, шпо, сслп мы уничтожим звездочки во всех четырех выска. зьманилх (т. е, будем рассматривать соответствуюп)ие им буквы не как постоянные, а как переменньн), соединим затем все посылки друг с другом союзами «й» и свяжем полученное такам образом сложное висказывание 1.
й 2. й 3. союзом в — э с заключением Л., то получим всегда-ислшнную формулу дсчисления высказываний, илн >закон логнкно. Иными словами, нан нужно показать. что формула ((Хго'У) й ХйУ й (2~(ХйУ)] — ь 2 (Ф) при любых «значениях истнннотъоэ входящих в нее букв дает ссегда значение внстннаэ.
В лрядцяле это яв грудка л«ковать с ламошью таблицы. Однако табляяа должка быть теперь довольно громоздкой, Про яде всего, е яей булег уже а раэяячяых строк, сватает. ствеляо числу элемеягарчмх оыскааняаяяй Х, У, Д. Ведь в каждом яэ четырех за«можаях для яарм Х я У случаен выскаэмввляе Х мож«г бягь кяк исгяляым, так в лшдяыч. По я столбцов, предшествую цах посл«ля«му, в катодом мм ожлдяем увлдег. только «лшвяяя оя», будет достаточна много, я соогвогсгвяя с члглом ястоочаоадшхоя л лдшай бо«омуле свату, й,,- 253 Приложение 11 основные (элемента) здесь лвлшотся« х»: *+)=зи, у: р+Т=зи 2„: х +) =а, и»: УФ е=о, У»:х =е И»'" Т пр«ннь«ают вил: П. Х, 2'.
1', 3'. (Л еб(/») )'» (ф Черт. Теперь посылки Во псегдэ-исти"ности фа(чуты (Ф) можно, отнако, убедиться гора»да праще. Формула это имеет вид; (%«ФП»8'П«) В. Поэтому она может быть ложнод тал ко, если все посылки Ян Пю П, истинны, а заключение 6 - .Тоэкно, Тан как П оэгачает э,;есь 2, та для ложности 6 необходимо лоэтачу, чтобы 2 было истиньо. В таком случае П«, оэ ачоюнее 2 (Хйу), ьожет быт истинна только, естн Хир истинно, т. е. если кьк Х, так и У ложны, чта противоречит истинности посылки й, оэначаюшея Х ~/у, ) ни»~и словавн, невоэмажаа распределить «эначенил истинности» элемента) ньх выскаэыванид Х, У, 2 так, чтобы слоя«ноя фор«ула (Ф) оказалась ложной, В этом примере наша задача состояла только в про- ' верке тога сбстоятельствв.
чтп заключение действи- тельно является лагичеслим следствием из пссылок. Гораздо интереснее другая задача: имея некоторое число посылок, получить из них есе логические след- ствия (в смысле исчисления высказываний). Илн зада чае имея некоторый запас констатирсвзнных фактов, сбоэреть есе (гипотетнческне) пссылкн, следствиями которых опн коглн бы быть, Для исчисления выска- зываяий обе эти задачи рештются полпсстыо (н при- том исключительно простс). Читатель найдет их реше- ние в тексте книги.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
