Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Здесь мы ограничимся еще только приьтсром, демонстрирующим недостаточность начисле- ния высказываний для доказательства даже самых простых математических предложений. Теорема о равенстве оертикчл.ных углов в и Т (см. чер- теж) доказывается обы «но тлк« Ток как «5=2д (двум прнмьм уг юм) н р+ 1 тоже =2Ш и так нак па сумме (2Е) и одному иэ слагаемых (э) второе определлетсн ад»оэгачно, то =Т. Другими словами, мЫ исходим иэ посылак: 1. + Р=-зи, 2..3 ьт=зи 3.
Если х1-у=а и у+ =е, то х=:, из кото(ых иалучаеч заключение «=Т. Чтобы эллис,«ть наши посылки и заключение нл «языке» исчисления ныскээыв»««ня, ьш долж~ ы раныпе всего выбрать Хоммеишарпб д Р 1 пеРвой вдовы ные) щедлажепия. Таковыми, очевидно, ° Ваключение же гласит: 43 И'». И ~тары заключение было лоп«ческим следствн«м иэ пасычак в смысле исчисле«ия вьскаэывагия, гужно, чтобы фарнула (ХФУШ((зшп) - У)) -И была всегда-истин«оз. Достаточно, однако, и олажить высказы- вания Х, У, 2, (l, У истиникмв, а И' — ложным, чтобы полуь, л- аять «ложь» Р к в а естес значения жая фп1 мулы. Ит:к, зак ми ч пения е а ет бытьполучено из посылокс(едствами с ис высказываний. Между тем, если бы мы, вос«юльэ овавшись общ- ностью посылки 3.— иными словами, обнару«див, что, кроме пере- хенимх выскаэыв гн', аэ вагиз, бывают и пете««е~ ные, обозна ~аюпщне «э ем случае углы), -сделали подстаговку угла ° на эжто х, О « а место у, Т на кесто л, 24 на к .есто а, то посылка 3.
пгиобрела бы вид: 3'. Если ° Ф:=24 и р+Т=зд, та -Т. При формалиэаяин иам понадобились бы тепе) ь толь«га оы. скалывания ° , » и х, у и и", н наши посылки приобрели бы внд: и. х, 25 У, зд (Х ШУ ) И' ° Заключение И' является деяствнтелыю лпгнческинслед- ствнем из них (в смысле исчисления выскаэывани я, так нак (ХФУШ ВХОДУ) И')) И' всегда-истинна. (Чтобы и этом убелиться, достатсмно вспом- нить, шо нз нстинносгл двух формул П и П П в силу на- шего оаредглепия связки следует иетипвасть формулы П. Поэтачу, если посылки Х, у и (Х«ду) И«истинны, то И' ул<е не мо кет быть ложным.) При.ммгмюг П К«ем!макрид к р 1 кгрмл гкген Мы видим, таким образом, что иэ недостаточности исчисления высказываний не следует, что нужно вообще признать негодность последнего и отказаться от него, а следует талька, что на нем нельзя остановиться.
Его необходимо развить, подойдя блн)ке ° к содержанию высказываний н различив даже в элемевтарных высказываниях входлш)ге в ннх предметы. Первые шаги такого расширения предпринимаются уже во второй главе. Комментарий к б т первой главы ' В предыдущем комментарии мы выяснили, что нспользонанное ангарами «содержателыюее определение основных связей исчисления высказываний: —, й, — . лучше всего может быть выражено с помощью таблиц, относящих к каждому возможному распределению «значений истинногтие элементарных высказываний одна определенное «значение нстиннастие сложного высказывания, Так, связь Х- У определялась таблицей: ~хг ~(х к таблнна !.
Такая таблица распадается на дне части, левую и правую, разделенные нами двумя вертикальными чертами. В левай часпе выписаны все возмсжные распределении значений элементарных высказываний Х и У, в правой — соответствующие значения сложного высказывания Х вЂ” еу. Ясна, что ничего па сущесеву не изменится, если переставить четыре строки этой таблицы. Выбранный нами порядок является словарным (илн лексикографическнм). Сочетания букв и и л, стоящие по строчкам, расположены у нас так, как располагают слова в словарях: прежде всего, по алфавиту начальных букв; в случае санпадения начальных букв — по алфавиту вторых букв и т. д.
Мы примем словарный порядок н качестве канонического и будем в дальнейшем выписывать все таблицы талька н таком порядке. Обратим внимание читателя на то, что для описанного упорядочивания строк таблицы достаточно было бы рассматривать только ее левую часть, Будем теперь рассматривать другие сложные высказывания, образованные из тех же элементарных выскззывавий Х, У, напркмер Хй У, Х'~у, Х у. Таблнпы, соответствугощве этим высказываниям, будут при нашем условии отличаться только последними столбцами, Поэтому мы можем прпнять в качестве сокращенной характеристики каждого нз наших высказываний, отличающей его от другях высказываний, один только этот последний столбец. Высказываниям Х вЂ” гу н Х 'аг У отвечает адин и тот же столбец (н, следовательно, одна и та же таблица).
Такие два высказывашгя мы будем называть вквпвалвнаяымл. Приведенный пример показывает, что один и тот же столбец мажет соответствовать различным формулам (чнсло таких формул можно было бы, конечно, неограниченно умножать, добавляя, например, формулы Ха!у, Х тг(ХВгу)н т. п.). Однако сразу отнгодь не ясна, для каждого ли столбца можно подобрать хотя бы одну формулу подобнога вида. Для того чтобы выяснить этот вопрос, мы сгставим полную таблицу, з которой выпишем все вообще столбцы, которые можно состааить из букв л и л (см.
таблицу 2). Общее число такихстолбцсв равно )б. Над каждым нз них мы надписали по формуле. Читатель легко проверит, что этим формулам действительно отвечают напксанные под ними столбцы. Таблица 2 показывает, что в случае двух элементарных >Урн<аж<мне П 25> Ксмнснтарий з У 2 Лсрззй глззн высказываний Х. У знаков †,б<,</, во всяком случае достаточно, чтобы с нх помощью представить формуламн все возмсжные столбцы, сбразованные из букв и и л. Однако, если бы в нашем распоряжении не было, например, знака отрицания, мы уже не смогли бы эта сделать.
Действительно, все формулы, полученные только с помощью свяаок 6<.<у, †>ч -, ис>инны, когда Х и У оба истинны' в нашей же таблице ровно половина всех столбцов <'начиная с 8-гс) относит значение «люкьз к случаю, когда Х и У оба истинны. Аналогично, если бы в нашем распоряжении были только знаки и , то, как эта выяснено в тексте (см.
стр. 98 отнюдь не всякий столбец нашей таблицы 2 можно было бы представить формулой; не существовало бы, например, формулы, соответствующей 8-му столбцу. До снх пор мы рассматривали только сложные высказывания,сбразсванные из двух элементарных высказываний. Теперь мы переходим к общему случаю сложных выска- зываииЙ, зависящих ат л элементарных высказываний Х„Х„..., Хн. Каждсе таксе высказывание <пределяется таблицей, палсбнсй таблице К Единственнсе отличие отстоит я том, что теперь в левой части будет стоять уже не 2, а и столбцов, по числу элементарных высказываний, и состветственно этому увеличится число строк. Мы си<аз будем упорядочивать эти строки в словарном порядке и таким сбразсм отнесем каждому <ложному высказынннню <пределенный столбец из буна пи л.
Си<на встает в< пр< с о том, можно ли для каждсго так<го столбца под< брать ф<.рмулу, составленную из букв Хн Хз ..., Хз, связанных знаками —, б<, „, —, . Однако пряшй путь, которым мы шли в случае двух элеиентарных высказываний, становится теперь невозмгжным, Уже для трех элементарных высказываний Х, У, 2 написать п< лк< стью всю таблицу, аналогичную таблице 2, было бы давольно трудно. Псскольну истннн<сть илн л<>кн<сть каждого из трех элементарных высказываний Х, У, 8 может сочетаться как с нстиннсстыо, твк и с ложностью каждсго из остальных, то всех возможных распределений ззначеннй истнннссти> между элементарными высказываниями, т.
е. строк в нашей таблице, будет уже 2*=8. Следовательно, в каждом столбце правой части нашей таблицы будет 8 мест, на каждое из кот<,рых нужно поставить одну из букв и или л. Это можно сделать 2' = 2<с'>= 256 си<- с<бами и, след вательно, чгсло столбцсв в прав<.й части должно быть равно 266'. Ке имея в" зм>жности ныписа>ь все этн стблбны, мы приводим часть из ннх в таблице 3, заменив остальные мн< г г< чисч. Оообщая проведенные нами рассуждения, нетрудно се< бразить, что если бы элементарных высказываний была не три, а л, то в со< тветствующей таблице оказалось бы всего р=2" строк и 2"=2«> столбцов. ' В дзнснсннс к этому лздсчсгу унзжсм, что сслн еззбшс л из<чем рзслсрнжсннн имеются бунзы,слух ролан <нзлрнчср, и и з>, гз сбшсс чнсчз оссх т.букзсннмх счзз, нзгзрмс можно сасглннгь з чгнх букв, рзннз 2 .
Лсйстзнтсльно, сс <н мм сзсгззнлн уже лес 4-бухзсннмс сгюнз . гз злч полу <сннч всех Ыбунзсззых «слон длсгзг шз лрнлнсзгь н нзждзчу нз 4-бумс<нных «слал» каждую нз двух нмсю<днхсн н нзшсч рзснзрнл<сннн букв. С<зло быть, 5-буннсйных сззз су<нссгнуст вдвое бззьшс, чем 4-букс<нных, н зззб<нс <-буннсннмх с юз здззс бсл шк «с «< — 1- бунзснньг<, Гюснз ы<у олнобунн«нных слав ма.знз збрзззззгь, очевидно, дзз, то число 2-букзснммх равно 2х 2=26 чнсзз 3-буквенных 2*х2=2» н г л.
Ш гмю м гюрчгмч мзн л*гмзл 1)рил»де«миг Колмеиторий и В у лерввй »лозы 2ао Иными словами, из л элементарных высказываний можно составить ровно 2ы") различных (попарно неэквивалентных) слонщых высказываний. Мы хотин каждое нз этих высказываний выразить через элементарные высказывания посредством формулы, содержащей знаки бг, Ъ'. — ь„.. Ясно, что это можно сделать, только указав некоторый общий метод построения таких формул. Н изложению такого метода мы теперь и переходим. Заметим раньше всего, что (а) два высказывания: 1) «Х» и 2) «Х истинн໠— с точки зрения исчисления высказываний зкпивалентны. Точна так же (б) эквивалентны оба высказывания: 1) «Х» и 2) «Х ложно»'. Обрагимся теперь для примера к сложному высказыванию Р»ы (таблица 3).
с , с с с сс с м ссссссмс ссссссмю сссссюс пмссммсс ююсссс В мвтечвтичегиов пагиие, кроме классического случая, где рисом»триваюгси только выси»»ыоаиив либо истиииые, вибо ло>иные, и притом голы<о одио и»'двух, изучвюгси и Случаи Мы уже знаем,что оно эквивалентна высказыванию: «Р»ы истинно». Но высказывание Р»м истинно талька в двух случаях, саответс»зующих б-й и 8-й строкам нашей таблицы, где для Р»„стоят буквы и. Прн этом б-я строка (см. таблицу 3) соответствует случаи», когда: (!) Х ложно, и У истинно, и 2 ложно, в 8-я строка-случа»о, когда» (Н) Х ложно, и У ложно, и 2 ложно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
