Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Чтобы задать правила, позволяющие образовывать из элементарных высказываний сложные, мы можем поступить теперь двояким способом. При формально-дедуктивном способе забывают вообще, что буквы у нас обозначали высказывания, и исходят из определения фервузы.

С целью получить последнее поступим так. Псречнслим сначала знаки, из которых будут состоять формулы исчисления и которые образ>ют его «алфавит». Такими знаками служат, во-первых, большие латинские буквы Х, >; Я..., играющие роль переменных в формулах (в «содержательном» пастрсении им соответствуют переменные длч высказываний).

Кроме переменных и вспомогательных знаков, которыми служат скобки, в формулах будут встречаться еще знаки, играющие роль логических постоянных (констант), Авторы вводят следующие знаки этого Р ода (для внесения некоторой яспссти мы сопоставляем каждому его значение при «содержательном э пастрсенни): !. « †-» — знак отрицания, 2. «йэ — знак, соответствующий союзу «и», 3. «\Г» — соответствует союзу «или», 4. «- » — соответствует выражению «если...

то», 5. « « †означа: «равнозначно», При освещении «солар>кательногоэ построения исчисления высказываний мы остановимся на каждом из них в отдельности, пака же сделаем еще одно замечание. Кроме знаков: Х, У, Е..., †,й,",, †>, , в. книге употребляются ешс готические буквы »й, 6, Ю„,, знак «зквэ и т. и. Этого рода знаки не принадлежат исчислению высказываний.

О таких знаках говорят, чта ови принадлежат не «логикеэ, а «металогнке», Квмм«нтврка к б 7 кгрв»з вка«ы эзт т. е. служат для формулировки правил обращения со знаками «логики», вообще для построения аварии логики. «Логикаэ и «металогикаэ отличаются друг от друга, как наука 1, изучающая некоторый предмет, от науки 11, изучающей методы науки 1. Теперь мы мажем сформулировать определение формулы исчисления высказываний> 1. Вуквы Х, У, Е,... с>ть формулы.

2. Если »д формула, то и и формула. 3. Если И, 6 формулы, то н Ийб, 6'>>6, 2( †»6, й 6 тонге формульь С помощью этого определения мы можем написать сколь угодно много разных формул. Так, поскольку Х есть формула, то и Х формула. Поскольку Х и У— формулы, тои Х- у тоже формула. Так какХи Х- у формулы,таи Хй (Х У)тоже формула. НоХй(Х-» не формула и Х й — »(Х- У>тоже не есть формула. Мы не будем останавливаться здесь на правилах, упрощаюшях внешний вид формулы, например, относящихся к употреблению скобок. Онн достаточно ясно изложены в тексте. Кроме правил образования, исчисление содержит еще правила преобразования, назначением которых и является как раз получение логических следствий.

Как и понятие формулы, их мшкно сформулнрсвать, не говоря нн слова о высказываниях. В б 10, где речь идет аб аксиоматическом построении исчисления высказываний, это так и делается. В дальнейшем выяснится также, какой это имеет смысл н для каких целей может понадобиться. Пока заметим только, что зто можно сделать, выбрав несмелы<о формул (ваксиомэ) нз запаса формул исчисления и задав правила вывода, позволяющие нз выбранных форм>л получать («доказыватьэ) новые, танке играююие роль выделяемых в исчислении.

Такой именно способ построения научной теории и называется «аксноматическимэ, или «формально-дсдуктившдч». Авторы могли, конечно, Приложение П ц и г. 3, л и ~~ ! л и л х/х л ' и начать с него. Однако при этом было бы ссвсем неясно, чем сбъясняется выбор тех или иных аьсисм и правил вывода и как охарактеризсвать в целом весь получаемый с их помощью запас алоказуемых» формул, выделяемых ~аким сбразом из общего запаса всех вообще формул исчисления. Авторы поступили поэтому правильно.

начав с «содержательногсо построения логики высказываний, в котором буквы Х, У, 2... употребляются именно как высказывания, а лсгнческие постоянные , йг, я,г, — +, определяются содержательно, т. е. как ияяеющие вполне определенный и притом именно лсгическнй смысл. Используемое авторами «алгоритмическоео определение их лучше всего сформулировать с помощью следующих таблиц, Пусть имеем высказывание Х, про которое знаем, что оно либо истинно, либо ложна, но и только одно из двух.

Обозначим истиинссть высказывания буквой и, ложность его буквой л. Тогда высказывание Х (не Х) определяется так: т. е. если Хистннно, то Х ложно,если Х ложно, то Х истинне. Мы видная, что если Х удовлетворяет требованию подчиняться законам классической формальнг й логики, то н Х удовлетворяет этому и,е требованию: в каждом возможном случае оно либо истинно, либо ложно, и ни в одном из них не имеет сразу сбэих этих значений. Если в нашем распоряжении имеются два высказывания Х и У, каждое из которых удовлетворяет оснсвному требованию иметь одно и только одно из двух значений и.

л, то различных всзмсжных случаев уже четыре: когда Х истинно, У может быть как истинным, так и ложным; когда Х ложно, для к опять-таки Комментарий к й 1 игроой главы остаются две возможности. Мы пслучггем, таким обра- зом, следующие 4 случая: Чтобы гпределнть знаки йг, яу, — г,, т. е. 'выражения ХйгКХяуу,Х вЂ” ~у,Х у, наинужнозкзждсйтаблице, определяющей какое-нибудь из этих выражений (и обозначает один из знаков: аг, яу, — , ): поставитьв каждой из четырех, пока еще пустых,клеточек одну и только одну из букв и н л.

Очеиидно, мы псстараемся это сделать так, чтсбы вводимые логические связки, позвсляющие из элементарных высказываний сбраз<вать сггсжлые, максимально соответстасвали сбычным ссюзам разгсвсрнсй речи. Я говорю ггяиксияяальпо соответствсвало.о, пстсму что в разгсвсрпсй речи ггажд< е слгво, в том чксле и ссюзы, имеет множество разных оттенков, зависящих от контекста, в котором оно употреблено. Все это богатство оттенков здесь мы не можем выразить. Кроме того, мы связаны требсваннем псставнть в наждой клеточке одну и только одну из букв и и л. для союза «и» это удается сделать все же довольно Кениентарнй л б 7 переел гллеы 240 ПРНЛОЛЕЕННЕ Ы естественно. Соответствующий ему знак и определяется следующей таблицей: х х~ у!Кйу л т.

е. высказывание ХЬУ считается истинным в том н только в том случае, когда истинны оба высказывания: и Х и )'. Именно так и употребляется обычно этот союз в рааговарной речи. Так, когда мы читаем; «Онн пошли в сарай и легли на сенеэ, то понимаем зто именно а том смысле, что верны оба высказывания: 1) еОнн пошли в сарай», 2) «Они легли на сене». С союзом «нлнэ дело обстоит несколько хуже. Прежде всего, бывают разные «нлиэ.

Когда мы читаем: «Веля кто из товарищей опаздывал на молебен, пди дохаднлн слухи о какой-нибудь проказе гимназистов, плп видели классную даму поздно вечером с офицером, то он очень волновался, и все говорил, как оы чего не вышлоэ (Чехов), — то не понимаем этого в том сиысле, что какие-нибудь два или даже все три соединенных здесь союзом «или» высказывания не могли быть верны одновременно. Наоборот, во фразе: «Он молчит, а Варенька поет ему «Виют витрыэ, нлп глядит на него задумчиво своиии темныии глазами. плп вдруг зальется: «Ха-ха-ха», и еще отчетливее в «А он только да плп нет — и б льше ни звука», или в «Я заиетил, что хохлу'шки только плачут плп хохочут.

среднего же настроения у них не бьюаетэ(там же), «или» уже разделительнсе. Соединенные здесь зтии союзом прелложення не могут быть верны одновременно. Не говоря уже о том, что например, в выражениях «Или, быть может, иена сбманывает зрение?» (Чехов), «Он потерял всякую чувствительность, пдп, другими словами, перестал житьэ, «илиэ имеет отличный от обоих и н л л ) л ложно, слелсвательно, в одном единственном случае: когда оба составляю высказывания Х и У о вляюшне его ння и У ложны.

Так как высказыванн р , нно только в том случае, когда наобо от, исти е о а: Х и у истинны, то связки ту и Ое оказываются цнп обста н двойственнымн друг другу, Связанный с зг ии «принст, н дв е насти», о которои читатель прочт т чтет в теки об е, з ачительно упрощает исчислени . И ъясняется выбор в нем в качестве основной связки я«разделительного «нлн»'.

Высказывание Х1у у Особ ' ' у р д тес'нпгп «нлн' нгеютен некоторые ' В~ речен, н аз елн нн длн п еннпсш, делаююне ныба р»га н качество Оеноннпй еннзлн определен ых целей пепбен~ О по х н . у пчх' а ниах бухну»н» (»нетннгп») на»1», нну»л» («лпнп О» на»О», рш улет соптытепюнать елпже»нзделнтельнпн нли б няз . н н зннпны чзпн нрп (нетнхн вязке унноженне. Тн н« у , тпгьнп грхтнн, нп н п1 нн ес»гы, чп ппл чается ье г«Е тЕх» ннл нычнсл ннй, В с. нтье «О теюнене реет пютпыу н качеетне Оенпннпй снлзнн рззделнтельное или. Оннп снлзнн, га(яду е и, нненно ОЕН» Ы ЫЧО»ЕНЧЫ»»ОЛ НОЫП Н ак в псследнеи припрежних смысл: употребляясь, как в мере, в смысле ето-есть», связывающего два п ер юе слсжнсе предложение как раз а предложев "ч случае, когдт оба связывае е им предложенн одновременно истинны, ения В исчислении высказываний в качестве основной связки или операции, пороэкдающей и зываний Х, У высказывание Х )у У, выб з двух выска, вы ирается не разделительное «нли», определяемое еле ю й б ще та лицей: х) у х тур Прплвжвипв и Квыхвяшерпб к з > пврввп главы 243 ~ Р<Х, У) Х, Но этой же таблицей определяются и зысказыоацпп (ХУУ) М Хш У чзп (ХУУ) М (ХН 1').

Характеристики

Список файлов книги