Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 35
Текст из файла (страница 35)
При подстановке нужно следить за >ем, чтобы вместо переменных для высказываний н функций подставля.ншь только такие выражения для высказьэ в,>ний и функций, ко~орые принадлежат к той же нли меньшей ступени, При этом индекс выражения определяется следующим образом: если п — наивысший, встречающийся в выражении индекс, то индекс всего выражения равен л+ ! и том случае, еш>и имеется квантор, принадлежащий переменнон с индексом л; в противном случае индекс выражения равен л. В функциональных выраженаях определение индекса зависит еще от того, чтб считается аргументом соответствующего выражения.
Применяясь к случаю, здесь приходится увеличивать индекс до тех пор, пока он не станет оольше индекса всех аргументов. Например, функциональное выражение Р, (х) Г>, (х) является предметным предикатом первой ступени, но функцией функций второй ступени. При установлении индекса некоторого выра>кения к числ» встреча>ещихся индексов нужно причислить также все те, ноторые, может быть, имеются в определении знака, используемого для сокращения. Таким образом обосновывается новая форме исчисления — ступснчатсе исчисление, представляющее ссбой расширение первоначального функционального исчисления, так как последнее заключено в нем в качестве теории первой ступеяи; по в сравнении с нашим предшествующим расширением функционального нс- числения, настоящее раси>прение существенно ограничнвае> формальные способы оперирования.
Пре кде всего убедимся, что с помои)ью стулсн. чатого исчисления устраняются еыступоюа)ие о парадоксах лроа>иеоргчня. Если мь> рассмотрим с этой точки зрения три приведенш,>х нами парадокса, то оковы. вается следу>ощее: В герном парадоксе о>падает возможность определя>ь нримениму>о ко всем предшсатам Р функцшо Рсг(Р). Если мы возьмем вместо нее функцию Рсг(Р„) с каким-нибудь определенным числовым значением л, то' она уже не принадлежит больше к теории л-й ступени; то же нерио для Ро(Р„).
Поэтому Ра не может рассматриваться в качестве значения аргумента 1'„для Рог. Таким образом, вырансение Р>((Р>Ь вообще пе может быть образовано. Во нтором парадоксе вырюкение (Х) (В)> (Х) — > Х) содержит кваптор всеобщности, относящийся к совокуп. пасти всех ныскззываний. Если мы теперь, в соответствии с требование>> ступенчатого исчисления, ограничим область изменения Х какой-нибудь определеяной наивысшей ступенью, приппсывая знаку Х индекс и, то благодаря:попу осе высказывание будет определено как выражение(п+ !) ступени.
В силу этого, в формуле (Х„) (й — >(Вй(Х„) Х„]) выражение б( не может быть взято в качестве частного значения Х„, >ак что мы не мюкем притти к формуле о! . т!. Еыражаясь содержательно: если мы, чтобы не говорить о совокупности всех высказываний, придавим словам лица Ч> измененный смысл: >Всяксс утверждение первой ступени, которое $ произносит в промежуток времени г, ложно>, го это предложение может быть принято без противоречия за истинное, так как оно уже образует утвер>кдение второй ступени. Аналогично обстоит дело, 2>О 2>4 Пдилвжеиие ! Оедвгмвм и гтулвичам>гв лгчисчгллл если в формулировке изречения лица >Е вместо <> тверждепия первой отупение сказать: «утверждение самое бояьшее второй ступени> или вутверждение самое большее третьей ступени> и т.
д. В третьем парадоксе в понятии символически определяемого числа фигурирует отношение к савокупности всех предвкатов, что в выражении для прсдиката Ввс(х) обнаруживается прн появлении знака существования (ЕР). Если мы уточним здесь образование понятий в смысле ступенчатого исчисления и, нместо >ого чтобы говорить просто о символически определяемом числе, укажем точно, какой наивысшей ступени дол;но быть определяющее выра>кение, то не получигся никакого противоречия; ибо самое меньшее из чисел, которое в ХХ столетии не определено выражением салюс большее л ступени, определяется, правда, этим своим свойстволн но при этом определяющее выражение принадлежит уже (и+ 1)-й ступени, й а. Недостатки ступенчатого исчисления Мы видим, что с помощью ограничения ступеней паше расширенное исчисление освобождается от противоречий, с котор>вми оно была сопряжено прн неограниченно>> способе оперирования.
Теперь спрашивается, однако, не слишком ли сужнваекя таким образо>> исчисление. Мы дол ны, например, требовать от исчисления, чтобы оно давало нал> все те способы заключения, которые играл>т существенную роль для обоснования математики. В этом отношении нзм может покззаться подозрительным уже то обстоятельс,во, что мы наталкиваел>ся па трудное гь при люнен елрееелеяии швжбесшво, Действительно, тзк как в определяющем выражении (Г)(Г(х) и (у)) к знаку функции Г должен оыгь присоединен индекс, то вместо одно> о отношения тождества мы получаем, в зависимости от выбора индекса, различные предикаты: ==,(х,,), ж,(х, у) ит.д.
Это, правда, не пызываст особых сомнений, потому что все ли различные предикаты для одних и тех же г>зр;п~аченнй х, у одноврел>енно выполняются, соотв. не выполняются. Это мшшю уяснить себе следующим образом: Прежде всего ясно, что для каждого л из от- ношения с>ед>ст отношение (Г„)(Еи(х) Е (у)), тбк как область значений Р„за>слючена в области значений Г„„. Можно, следовательно, доказать: =„„(х, у)->==„(х, у). Спрашивается, справедлива ли и обратное; ==„(х, у) = — „., (х, у).
Нс внося существенной специализации, мы можем огра. ничиться случаем л= 1. Мы можем тогда усмотреть л ведлнвость предло>кения содержательным путем тзк: предикат, огносящирюя к предметам, может за>ься выражением второй ступени лишь благодаря тому, что в нем встречаются кванторы, принадлежащие переменным для высказываний нли функций, Для такого предиката мо кно вы>рать форм> представле- н ия так, чтобы зти квенторы, равно как н те, ко>,, Л торые принадлежат предметным переменным, стоя> и вначале, а за ними следовало выражение, ко>орое, кроме аргумента, подлежащего выра>кению предиката, содер>кало бы в качестве зр>ументов только при- надлежащие к стоящим спереди кванторам знаки вы- сказываний и функций и предмегные переменные.
е, Вы- разим, например, этот предпкат в форме: (Ел) (Р,) (ЕВ>>) гй (Г„В>, л, х). Согласно. нашему допущению относительно Ф, преди- кат Ф(Г„О„в, х) первой ступени, ибо он образован 217 210 приложение 1 Недостатки сткиеичатоео исчисленИя из подобных прсдвкатов с помощью операций бс, ~/, , -и. Из ==,(х, у) следовало бы в таком случае: Ф(Є„г, х) Ф(Г„О„я,у). Так как это справедливо для всякого предиката Р, и О, первой ступени и для всякого о, томы получаем: (Ее) (Р,) (ЕО,) Ф(Рп б„я, х) =(Ел) (Р,) (ЕО,) Ф(Р„Оп к, у). То лсе рассуждение можно провести для всякого част. ного преднката второй ступени, Таким образом по- лучаем; (Р,) (Ре (х) - Р, (у)), т.
еи ==,(х, у)и= —,(х, у) доказано. В этом рассуждении есть нечто неудонлетнори- тельное, посколы<у оно не ведет к формальному вы- воду формулы = —,(х, у) — о=-,. (х, у) из аксиом. Но во всяком случае сно все же показывает, что в разли- чении отношений ==-.,(х, у) еще нет принципиальных затруднений, Существенные трудности возникают, однако, при попьпке выразить в нашем исчислении доказательства теории множеств и анализа. укке при попытке изло- жить на языке на<песо исчисления канторовское дока- загельсово существования несчетных множеств мы наталкиваемся на подобную трудность. Вместо множе- ства всех множеств целых чисел, составляющего про- стейший пример несчетного к<ножества, здесь ну>кис рассматривать мнох<ество всех предикатов, относя- щихся к целым числам, как к гсредметам.
При этом совокупность этих предикатов нужно ограничить, по- скольку по смыслу ступенчатого исчисления нельзя говорить просто о множестве всех числовых преди- катов. Напротив, для яредикатов, которые должны быть злементамн рассматриваемого множества, нужно установить наивысшую ступень. Если и-выбранное число, указывающее ступень, то мы должны иметь дедо с множеством всех число.
вых предикатов, не выше л-и ступени, и речь идет о тол<, чтобы доказать несчетность этого множества, т. е. показать, что если каким-ннбудь обрзаом всякому лепому числу однозначно соотнес~и предикат из этого множества, то среди соотнесенных предикатов во всяком случае окажутся пе все предннаты множества. )Келая поступить по образцу канторовского доказательства, мы исходим из допущения, что дано какое.нибудь соответствие требуемого рода, т.
е. высказывание )7(х, Р„), которое при постоянном числе х ньн1олнлется в точности одним предикатом Ри. Рассмотрим тот предикат Ре(х), который тогда и только то~да выполняется для числа х, когда соотнесенный этому числу грсднкат нс выполнлется для него. Та. кюм образом, Рс(х) определен формулой: (Р,) (17 (х, Р„) — э Р„(х)) .
Относительно этого предиката мы можем доказать па основе его определесшя, что он не совпадает ни с одним из соотнесенных числам предикатов. Действительно, если бы Рс соответствовал числу и, то, с одной стороны, должно было бы выполняться Р (т, Рс); с другой стороны, вследствие определения Рс(х) и в силу однозначности соответствия тогда должно быть: Рс (ш', ()<к (ш, Рс) — е Рс (ш)). Из этих двух соотношений получилось бы противоре.
чие: Рс (ле) . Рс (ш). После этого, по аналогии с канторовским доказательством, мы должны были бы быть уже у цели. Однако на самом деле мы обнаружили только существование числового предиката, отличного от всех предикатов, отнесенных предикатом )7 к цепки числам, по не доказали, что этот предикат Рс принадлежит нашему множеству; и это требование на самок< деле невы. ше Прием скспис ! Алсисиа сссдипссми полнимо, ибо множество содержит тол~ко предикаты и-й ступени, между тем как определяющее выражение для Рс (х) (Р„) (Р(х, Р„) — Р„(х)) (и + !)-й ступени. Вследствие различия ступеней желаемое доказательство, гакил| образол! не получается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
