Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Пусть Р (Е) — предикат от предикатов. Так как само Р является преднкатам, то выражение Р(Р) представляет собой высказывание, котороеможет быть истинным или ложным. Пример предиката от предикатов, для которого Р(Р) выражает истинное выщ<ззывание, даст отрицание предика*а О(Е) (еЕ не выполняется ни для одного предмета»), т. е. функция 0(Е), которая определяется выражением (Ех) Е(х). 0 (0) есть сокращение для (ЕЕ) 0(Е), взамен чего, в свою очередь, можно написагь (Ерц)(Ех)Е(х). Эта формула действительно выражает истинное суждение, а именно предложение: «Существуют предикат Е и предмет х такие, что Е(х) выполняетсяю Напротив, 0 (О) есть ложное высказывание. Именно, согласно определению О, получаем: 0(0) (ЕЕ)(0(Е)) (ЕЕ)(Ех)Е(х) (Е)1Ех)Е(х).
Эта формула представляет ложное высказывание, с При теоретико.мио>иеетиеииои иста«казакии исчислении такое иоиимеиие соатзетстиует наивной теории множеств. утверждающее, что каждый предикат выполняется по крайней мере для одного предмета. Итак, мы ма>кем понимать выра>кение Р (Р) как предикат <т Р. Э>от предикат выражает свойство предиката быть присущим самому себе. Мы обозначим этот цредикат от предикатов через Рс((Р) (ппатги Р преднкабельног). Так как Рс), а, слсдова>ельно, н РЛ, само я>щястся предика>аз> от предикатав, то н выра>кения Рс) (Рс() и Рс( (Рс() имеют смысл. Но в такам случае адно из двух: либо Рс( (Рс)) истинно,иными' словами, предикат от предиьатов Рй выполняется для самого себя и, знанию, Рй(Р>() военнно; либо >ке Рй (Рй) ложно, тогда преднкат от предикатов Ране выполняется для самого себя, т.
е, Ри (Рй) истинно. Мы получаем, следовательно, чтш Рй (Рд) Рй (Рд). Но это противоречие, ибо логическое выраженно никогда не может быть эквивалентным своей противо. положности. Впервые агат парадокс был открыт Ргсселгдс Ои монсет быль выражен также на языке теории множес>в.
здесь предикату от преднкатав РЕ соответствуег множество всех тех множеств, которые нс содержа> самих себя в качесгве элемента. Это множество противоречива по своему понятию, нба, согласно его определению, оно входит в число своих собственных элементов тогда и только тогда, когда оно не входит в их число. Вгорой парадокс, который мы рассмотрим, был известен уже греческим философам. Его простейшая формулировка такова: Пусть некто говорит «я лгу» или, подробнее, «я высказываю сейчас ложное предложение»; это предложение истинно, поскольку оно ложно,и ложно, пгсколы<у оно истинно. Мы неСколько уточним формулировку этого пзрадокса, Пусть >р является названием определенного сна Рагюиреи ам исюиееиие «реди«имев Лагиюшие иарадисссе 1ьт лица, а 1 — сокращенное обозначение определенного интервала прелгенн.
В течение этого пролгежутка вре- мени 1 пусть )р высказывает предложение: «Все, по утверждает в промежуток времени Г, ложыэ и н течение времени 1 больше ничего не говорит. Это допущение во всяком случае не противоречиво, гак как его «гон«его преднамеренно осугиествить на самом деле. Чтобы выразить его в логической символике, обозначим нысказыванне, произнесенное $, букной й, н используем знак предиката Вй(Х) со следующим значением: «й утверждает Х в промежуток времени 1«, где значениями аргумента Х могут быть любые вы- сказывания. С помощью этого знака мы можем, предкде всего. высказывание й передать формулой; (х)(вл(х) — х); а наше предположение, что й в промежуток време- ни 1 высказывает предложение й и не говорнт болыос гсичесо, выражается двумя формулами: вй (й); (х) (вй (х) - == (й, х)).
Теперь мы игоиссьг получить противоречие следую- щим образом. В истинную формулу г1 — и й вместо второго члена подставляем выражение (Х) (ВЬ(Х)-+Х), которос ведь являстся символическим выражением высказывания й. Получаем: й (х)(вй(х) х). По правилам исчисления, знак всеобщности (Х) здесь «южно отбросить, й — и (В!г (Х) —. Х). Огсюда путем подстановки получаем: й -и (В17 (й) -ь й). Так как посылки можно переставить, то эту формулу можно залгенить такой: ВЬ(й) — > (й —. К).
В силУ того, чао Вй (й) — истинная ) ормула, получас, й .й. С другой стороны, можно доказать также й-и й Пбо, прежде всего, имеем; й (х)(вй(х) — х) нли же: т( — ' (Ехг (В)г (Х) бс Х) Ватам из лредположенной в качестве истинной формулы: (х)(вй(х) —.=(й, х ) выводим формулы (Х) (В17 (Х) б Х-.
= (.1, Х) б Х) и ис нес дал>ше получаем (Ех) (Вй (Х) Л Х) (ЕХ) (в — — (й, Х) б Х), так что, наконец, имеем; 71 —. (ЕХ) (с— м (й. Х) Н Х), ИЗ ЗН СЧСНИЯ гО7КДССтза СЧЕДУЕт Гта = — — (й, Х) д1Х вЂ” ей истинная формула. По правилу 7), получаем из нее: (ЕХ) (=: й, Х) бс Х) — и й. Вга формула вместе с полуегенной перед этим дает.' 'л ' й. Но из докааанных формул й-ий и й — е й' следует, что как й, так и й — исиинпые формулы, так что «гы дейсевительно пришли к противоречию.
Приведем ешс третий парадокс, встречающийся в разнообразных оформлениях. Выразим его в следующей простой форме: всякое обозначение кзхого-нибудь !ез Расшив»пизе исчисление лргди>самоа л»»ичгсчиг лори>осси !зо числа, происходит ли оно через сообщение условного знака илн указание определяющего свойства, требует известной затраты времени.
Поэтому на протяжении конечного промежугка времени конечное количество людей могут обоаначить только конечное число чисел. Но, с другой стороны, существует бесконечно много чисел. Следовательно, в ХХ столетии исивущие на Земле люди заведомо не обозначат всех чисел. Среди не обозначенных в ХХ столетии чисел и»>ее>ся наименьшее. Но ведь это число все же обозначено в ХХ сголетии, так как я определил его, указав его свойсгво быть наименьшим числом, не обозначенным в ХХ столетии. Таким образом, получается, что сущсствупг чнсло, которое оказывается как обозначенным, так и не обозначенным.
Чгобы эту аргументацию, имея в видо намерение выразить ее в нашем исчислении, несколько уточнить, мы заменим понятие обозначения более узким понятием, Мы будем рассматривать тольно такие обозначения числа, которые осуществляются в смысле пашей логической символики путем записи выражения для определяющею число прсдиката. При эшм под прсдикатом, оярсделяющкм число х, мы понимаем такой предикат, который выполняется для числа х, но ни для чего больше не подходит'.
Таким образом, мы приходим к следующей формулировке парадокса. Пусть бег(Р) означает свойство предикага Р, состоящее в том, что среди записанных в ХХ столетии выражений логической символики по крайней мере одно является выра>пением для Р. Знак < (х, у) используем, как и прежде, для предикага чх меньше, чем у>; но пустые места этого предиката пусть о>носятся к положительным,"целым числам. Затем введем для выра>кения Р (х) Ь (у) (Р (у) — = (х, у)), ' Что >псла можно истолковать как прслнкатм от препниатоа, Лля настояшев аргумеатапнн ис имеет значения.
которое означает, что х определено предикатом Р, сокращенное обозначение В) (Р, х). В качестве сокращенного обозначения для (ЕР> (П((Р, х)дс Зсг(Р)) используем символ Вес(х). Взс(х) означзет, следоватсльнх >Среди символических выражений, записанных в ХХ столетии, по крпйней мере одно представляет прсдикат, определяющий х, или, говоря кратко: чх по меньшей мере одни раз символически определено в ХХ столетии».
Наконец, для'выражения Ввс (х) б (у) ( < (у, х) — о 0 вс (у)) используем знак Мбв(х); таким образом, Ыбз(х) означает: чх имеет свойство быть наименьшим числом, символически не определенным в ХХ столетии>. В начестве аксиом мы вводим следучощие формулы; прежде всего выражения для оснсвных свойств отношения < (х, у): (х) < (х, х) (х) ()')(з) (< (х, у) >Ч < (у, з) -' < (х, з)), (х)(у) (=- (х, у) >у < (х, у) 'у < (у, х)), (Ех) Р(х) — > (Ех) (Р (х) й(у) (< (у,х) — >Р(у))). Первые три из этих четырех аксиом означают, что от- ношение < (х, у) упорябочивоеш целые числа, а послед- нее, что оно их вполне упорлдичиваеш.
Затем в качестве аксиом мы имеем символическое выражение для того факта, что не все числа могут быть определены сим- воличес>си в ХХ столетии (Ех) Ввс (х), и, наконец, формулу Ясг(ыбв), которая означает, что выра>кение для Мбч(х) записано в ХХ столетии, и ко. торая, следовательно, представляет истинное утвер- нсдение, так как прежде мы действительно записали ныражение для Мб» (х). Ри шерпы е ю ккетие аресекее ы сыс Лееаыекие аеркдекен и'1 Теперь можно провести следующее формальное .саключеиие.
В фарм«:лу (Ех) р (х) —. (Ех) [Р (х) й (у) [< (у х) — '! (У))[ влсесто Р подставляем Ввш (Ех) Вяс (х) — «(Ех) [Вес (х) 6 (у) (< (у, х) — «Ряс (у))) Так как (Ех) Ряс (х) истинно, то получаем: (Ех) [Вес (х) й (у) (< (у, х) —. Ряс (УЦ; нлн же, применяя сокращение Мдв(х), (Ех) Ыб«(х). В силу' определения Л(бв, имеет место соотношение Мд в(х) — Вш (х). Далее, используя установленные аксиомы, лсо'кно вы- вести формулу Мс$в(х) . Мйв(х)й(у) (Мс$в(у) — «=.=(х,у)), т.
е. Мс$я (х) —.- И (Мбв, х). Из взятых вместе последней формулы и третьей с конца получаем: Мдя(х) — «Ввс (х) йИ (б1бя, х). Соответствующее формуле (34) правило дает далее: (Ех) М с[ я (х) — «(Ех) (В яс (х) й И (Мб в, х)), Так как(Ех) Мс)в(х) доказана, то схема заключения дает: (Ех) (Ввс Сх) й И (Мс$в, х)). Если присоединим формулу Бег(Мдя), принятую в качестве аксиаяссе, то получим: (Ех) (Ввс (х) й В( (М 'в, х) й Бег (Мд в)). В силу аксиомы 1), имеем формулу: Р (Сс) — (ЕР) 1' (Р).
Заменяя здесь С) на Мс$в, а Р(Р) ао (Ех) [Ввс(х)й И(Р,х) й Бог(Р)), получим: (Ех) сеВвс(х) й И(Мс$Я, х) й Бег(сМБ )) — « (ЕР) (Ех) (Вяс(х) йИ(Р, х) й Бег(Р)„' а так как посылка является доказанной формулой, то имееи: (ЕР) (Ех) (Вас(х) йИ(Р, х) й Бог(Р)[. Переставляя кванторы я используя формул)' (ЕР) (А й Р(Р)) А й(ЕР) Р (Р), получаем: (Ех) (Вес (х) й (ЕР) (И С Р, х) й Бес (Р))), При применении сокращения Ввс это выражение пе- реходит в (Ех) (Ряс (х) йВ«с (х)).
С другой стороны, мон но также вывести формулу (х)(Вяс(х) су Вес(х)Б иоо эта формула получается нз (2$) подстановкой. Но, в силу принципа двойственности, две последние формулы противоположны друг другу. Мы получили, таким образом, противоречие. С этими различными противоречиями льп не можем разделаться, приняв просто как факт даказусмгсть некоторых противоречащих друг другу высказываний. Ибо, как только мы допустим какие-нибудь два противоположных друг другу выражения «Х и Чс в качестве истинных, все исчисление, как )оке раньше замечено, лишится смысля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
