Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Выгпе м>л уже отметили, что при наличии лишь одноместных предикатов проблему разрешимости можно полностью репсить. Так как метод исключения является единственным методом более общего значения нз применяющихся к проблеме разрешимости, то естественно сделать попытку отыскать способ исключения, применимый и при допущении даун многоместных предикатов.

Для некоторых формул специальной структуры действительно удается осуществить такое исключение. Многочисленные частные резулыаты такого рода мы находим в Ш томе «Лекций по алгебре логики> Шредера (Егия Ес(ггобег. «Чог(евппбеп бЬег б(е А(йеЬга бег Сод(й>). Но, к сожалению, оказалось, что можно указать формулы, для которых уже не существует результата исключения в определенном выше смысле; таким образом, проблема исключения вообще должна получить более общую формулировку'. Отношения к проблеме разрешимости становятся тогда более запутанными. б г. Воеденне ооеднкотоо от преднкотод.

Логнееснон трактовка понятен ко>кое>ток Длч содержательной установки, которую мы до снх пор клали в основу логичесного исчисления предика'ср. Асс>стон, ис. Ео1ег>осьосвео еьег бее епкин>11ооергощет бег кневет>1)>свен 3,>в1Ь. М>1Ь. Аоп. Еб. 119 11934!. лот Е1и>1>>11ооеагощет бег т>едет>11>сдео Ьоа>К. Мещ.

Аоо. Еб. 11169351. тов, было существенным, что мы строго отделяли высказывания и предикаты от предметов, рассматри- ваемых как значения аргументов для предикатов. Однако ничто нам теперь не препятствует рассматри- вать сами лредикаты и высказывания как предметы, которые служат аргументами лредикатов. Рассмотрим, например, логическое выражение вида (х)(А — ор(х)). Его можно понимать как преднкат Р (А, Р), первое пустое место которого занято высказы- ванием А, а второе пустое место — одно>!сотным пре- дикатом Р.

Ложное высказывание А находится к каэкдому Р в отношении Р(А, Р); истинное высказывание только к таким Р, для которых (х) Р(х) имеет место. Другими примерами служат свойства рефлвксивио- сти, симметричиоппи и траиэитивности двуместных предикатов. Этим свойствам соответствуют три преди- ката: йе((ес), Яуш(д>) н Тг(ес), аргументом к которых является предикат с двумя пустыми местами, Сим- волииески зтн три свойства выражаются следуккцим образом: йе! [й):(х) к (х, х), Буш (Е) 1(х) (у) (й (х, у) — й (у„х)), Тг (й): (х) (у) (с) (И (х, у) бе й (у, с) — о й (х, е)). Предикат==(х, у) (х тождественно с у) обладает всеми тремя свойствами; предикат же < (х, у) облада- ет только свойство>1 транзитивности.

Таким образом, формулы йе(( ям ), Зуеп ( = †), тг(=--), тг(<) представ- ляют истинные высказывания, а формулы йе(( < ) н буш(<) — ложные высказывания. Двуместным предикатом предикатов являеття «эквивалентность> Асс)(Р, 6), которая определяется выражением (х)(Р(х) 6(х)); она состоит в том, что предикаты Р н 6 истинны (соответственно ложны) длн одних н тех же значений аргументов. Другими двуместными преднкатами предикатов являются: кеса- в,еестимость Опт (Р, 6) н имлликобид 1тр (Р, 6), 7«г!мсша«!едины«к«лиллмал к ла«с«~на! !75 ! 7.1 Нжашдсакы ю'Ю лм ае ар«дага«~«л которые символически определяются через; (х)(Р (х)«у 6 (х)), (х)(Р(х) — 0 (х)).

Прн таком понимании мы, правда, еще не полу'чаем расширения симвслики, так как приведенные предиш ты предикатов метут бып. выршкены средствами предшествующего исчисления, и такие формулы, как йе1(й), Буш(77) и т. д.. следует понимать лишь как сокращения, Расширение наступает лишь тогда, когда вводятся переменные для предикатов от предикзт! в, частными значениями которых являются приведенные индивидуальные преднкаты.

В дальнейшем подобные псреченныс мы будем применять сначала талы«о в отдельных случаях, так как систематическое построение вновь расширенного исчисления будет осуществлено несколько дальше. Однако уже в этом и в следующем параграфе мы увидим, какие преимущества связаны с введением предикатов от преднкатон. Первое важное арииененис получается при лоп!- ческом исследовании понятия количества. Количество не есть предаст в собственном смысле слова; оно является свойстноз!. Индивидуумами, которым неко- торсе количественное число присуще как их свойство, не могут быть сами пересчитывземыс вещи, так как каждая пещь только одна, тзк что число, отличное ат единицы, вообще не и! гло бы встретиться.

Наоборот, число м! жно понимать кзк свойство того понятия, под которое !кдпадают выбранные индивидуумы. Например, тст факт, ч~о число частей света пять, ныражается ведь не тш: каждой части света присуще число пять; но свойством предиката сбыть частью света«является то, что он выполняется точно для пяти индивидуумов. Согласно этому, числа выступают в качестве свойств преднкатов, н для нашего исчисления алребелс«снае число лрсасшааллет собой шшнгщю!лльный лребп- каш осл лреаикашае. Значение этого способа выраже- ния чисел основано на том, что прсднкьты от преди- катов, кшорые образунп числа, могут быть полностью выражены нря помсщи логической символики. Вслед- ствие этого становится возможныи учение о числах вкл!очиэь в логику.

Длн чисел 0,1,2 н т, д., т.е. для предикатов от преднкатов О(Р), 1 (Р), 2(Р), приведем здесь их вьражения: О(Р):(Ех) Р(х). («Не существует х, для которого выполнялась бы Рн.) 1 (Р) ! (Ех) [Р(х) й (у) (Р(у) = (х, у)) [. («Существует х, для которога выполняется Г(х), н «аждае у, которое удовлетворяет Р(у), тождест- венно с этны х«.) 2 (Р): (Ех) ( Еу) ( == (х, у) й Р (х) й Г (у) й (г) [ Р (г) —. = — (. г) «с ==(у г)[). («Существунп два различных х н у, для которых выполняется Г, и каждое ., которое удовлетворяет Р(г), тождественно с или с у«.) Е(авночисленность двух преднкатов Р н 0 можно понимать как индивидуальный предикат от вреди!га- тов 61г(Р, О). Так как равночнсленнссть Р и 0 озна- чает, что предметы, подпадающие нод Р, и предмета, подпадающие нод 6, могут быль нзанино-однозначно отнесены друг к другу, то 01г(Р', 6) можно опреде- лить следующим выражением: (Е77) ((х) [Р(х) — (Еу) (77(х, у) й0(у))[й (у) [6(у) « ( Гх) (77 (х, у) й Р (х)) [ й (х) (у) (г) [Я (х, у) й Е (х, г)— .== (у, г) й (О (х, г) й77 (у, г) —.

=.=: (х, у)) [), Сложение чнсед можно свести к дизъюнкции прс- дикатов. Нмет«о, если Р н 6 несовместные прсди- кзты и преди!апу Р' принадлежит число т, а предн- юшту 0 — число и, то преднкнту Р «У 0 соответствует число и ф л. Выражение ссяссяых псняюий юесрии,ияожесма 777 17О Ресюирсиясс исяисясиис прсдияиюса При таком понимзнии сложения числовые равенства, вроде 1+1=2, 2-1-3=5, становятся чисто логическими, доказуемыми предлшке- ниями, Например, равенство 1 -~- 1 = 2 выражается чисто логической Формулой: (Р)(6)([Опи(Р, О) де 1(Р)д)(ОД 2(Р ху 6))1 ее тождественный характер становится очевидным, если вместо предиката от предикатов 1)пр и вместо предикатов от предикатов 1, 2 подставить определяю- щие их выражения.

С помощью логических вспомогательных средств можно установить и общее понятие числа. Если некоторый преднкат от предикатов Ф(Р) должен представлять число, то Ф должно удовлетворять следующим условиям. Для двух равночисленных предикатов Р и О пре- дикат Ф должен одновременно для обоих выполняться или не выполняться. Далее, если два предиката Р и О не равночисленны, то Ф может выполняться, самое большее, для одного из этих двух предикатон. Формально зто условие для Ф выражается следую- щим образом: (Р) (6) ((Ф (Р) й Ф (6) -и 612 (Р, 6)) й [Ф (Р) й 612 (Р, 6) — и Ф (6) ] ) 9то вырюкение в целом представляет некоторое свойство предиката от предикатов Ф.

Если мы обозначим его со- кращенно через 2) (Ф), та можем, таким образом, сказать: Число есть предикат от лрвдикаглов Ф, обладаю- щий свойством Я (Ф). Тут возникает все же трудность, когда мы ставим вопрос об условии, при котором два предиката от предикатов Ф и 'К, со свойствами 3 (Ф) и Я(бг), определяют одно и то же число. Это условие состоит в толп что Ф(Р) и 'Г(Р) для одних и тех же преди- кзтов Р истинны и для одних и тех же предикатов ложны, т. е. что ииеет место соотношение: (Р)(Ф(Р) '1'(Р)). Долусгич теперь, что положенная в основу облает~ индивидуумов состоит из коночного числа предметов, Тогда нозникает затруднение: зсе числа, которые болыне количества предметов в области индивидуумов, оказываются равными, Например, если это количество меньше 10" и мы возьмем для Ф н Ч предикаты, которые определяют числа 1О" и 10" + 1, то как %', так и Ф не выполняются ин для одного преднката Р.

Талии образом, соотношение (Р) (Ф (Р) - ж (Р)) выполнялась бы для Ф и бс, т. е. Ф н '1' ныражалн бы одно и то же число. Чтобы устранить это затруднение, необходимо лредполомсить, что область индивидуумов бесконечна. От логического доказательства существования бесконечной совокупности при этояь конечно, отказываемся. Особенно интересно также, что если положить в основу логическое введение понятия количественного числа, то -- при существенном, правда, исполь,юнании отмеченной аксиомы бесконечности — теоретико-числовые аксиомы превращаются в логические, показ)'емыс предложения. Однако мы не можем ближе касаться здесь этого вопроса".

Сделанные замечания должны были только правильно осветить нам возможности применения расширенного исчисления. б 3. Вырпхиипе оеиовиых паипгиа теории множеств о ресширеином исчислении Что между теорией множеств и математической логикой существует тесная связь, уже было обнару' Похробпое и озп епонягпое пело,кепие этих нопросов си. з книге: Вимсп и., щптазгппо Ш д1е тхщещецхспе рпиохорще мапсьеп, ! 922.

!2 оспе ы ре ч я яжы: Раешнренное неенееелле Лреднкояоа Ве>ралесле>е ыел п>ик лаллюлд ею арон лликепна 1>е> жено во второй главе. Одни н те >ке логические формула по произволу можно было истолковать как отношения между классами или как отношения между однщ>естпыми предикатами, причем в обоих истолкованиях речь шла об одних и тех же лош>ческих связях. И теперь можно будет понимать выразимые в июнем исчислении лоп>ческие спязн как щоретико-множественные отношения, Нтобы лучше ныяснить эту связь, мы прежде все>о рассмотрим ближе отношение множеств к предикщам в узкса> смысле, т.

е. к прсдикатам с одним пустым местом. Мнщкество либо задается путем перечисления его элементов, либо определяется как слсеема вещей, для которых выполняется определенный предикат. Первый способ определения множества, который возмо>кеп только рчя конечных мно>кеств, пе требуст, собственно, особого рассмотрения. Действительно, каждое иножество, которое получается путем перечисления его элементов, можно определить и с номощью некоторого предиката. , Например, множество, состоящее из трех индивидуумов а, Ь, с, можно задать как множество тех вещей х, для которых выполняется предикат: = (х, а) >у ==(х, Ь) >/ =. (х, с).

Характеристики

Список файлов книги