Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Мы представляем себе поэтому каждое множество определенным с помощью предиката. При этои мы должны иметь в виду, что хотя каждый предикат однозначно определяег соответствугощее ему' множество, т. е, множество тех предметов, которым он принадле>кит, однако определенному множеству принадлежит не один только определяющий предикат; напротив, множество может быть определено различными способами при помощи преднкатов. Тзк, множество равностороннихтреугольниковявляется тем же самым, что и множество равпоугольных треугольников, 'или, беря нематематичсский пример, множество живущих в настоящее время жвачных животных совпадает с множеством живу>цих п настоящее время парнокоиь>гныл.
е оь два >(е» г Р и () опрсастяли сд н > то же множеств>, необходимо и достаточно, чтобы эти вредниоты бы.ли эквнвалентньщн, иначе говор>, чтобь> они удовлетво) яли его>ношепп>о Аее)(Р, О), т е. (х)(Р(х) О(к)). В смысле теории мпожещн предикат от предика>ов Асо >Р, О) есть, следовательяо, не что иное, ьак тождественность Р иЯ. Точно так же, как прсдикаты понимаются в качестве множеств, можно истолковать одноместный предикат от предикатов Е(Р) как свойство множеств. Итсбы это истолкование бь>ле> возможно, необходим, чтобы выполнимость нли невыполнимость Р для преднката Р однозначно определщлщь принадлежащим Р множеством; а по сделаннлл>у выше замечанию, решающее условие для это>.о заключается в том, чтобы высказывания, которые приве~дятел в соответствне эквивалентным прсдикатам при пе>ион>и предиката Р, были одновременно истинны или одновременно ложны.
Таким образом, длл лредиката Г должно выполняться символическое соотношение (Р) (О) (АеЯР, ()) — н (Р (р) > Р ((>))) которое мы обозначим сакра>ценно в виде э)) (Р). Это условие выполняется, например, для предпкатов от прсдикатов, которые представляют числа. На этом свойстве чисел основано то, что оии могут также рассматриваться как предикаты от множеств.
Представление чисел как свойств множеств, в сравнении с представлением их как свойств предикатов, имеет то преимущество, что неизменность количественного числа при замене гй>сдиката эквивалентным здесь само собой разумеется. Иэ соотношения между множествами и предика тами получается, далее, связь между множествами множеств и предикатами от преднкатов. Каждое мно>кество множеств определяется свойством, которое присуще принадлежащим ему множествал>. Возьмеа> теперь два предикзта от л>ножеств, >. е.
два предиката от преднкатгв Г>Р) и С(Р), кеторые >2* >ео Росшпрсопос о!нося!по! прод!шоты Выротвшс оспоопых поповой тсорпи ясп>оп!сто >а> удовлетворяют условиям Эп(Р) и э>1(0). Этим двум предикатам от множеств, Р и О, соответствует одно н то же л>вашество множеств, если Р и 0 для одних и тех же множеств выполняются (соответственно не выполняются). Таким образом, соотношение (Р) (Р (Р) 0>,РВ означает, что множества множеств, соответствующие Р и.0, тождественны. Тсоретвсо-множественную интерпретацию расши>.енного исчистения можно распространить также на преднкаты с несколькими пустыми мсстамн. Каждый предикат й(х, у) вьщеляет из множества всех ваемо>нных пар (х, у) определенное множество упорядоченных пар, именно, множество тех пар (х, у), для которых выполняется й (х, у).
Множества, принадлежащие дауа> предикатам й, и й„тождественны, если выполняется соотношение Аес) (ЄЄ), т. е. (х) (у) (й. (т, у) й,(х, у)). Для того чтобы предикат от преднкатов Г(й) мог бып истолкован как предикат соответствующих множеств, он должен удовлетворять саотпо>пению (1(,) (й,) >Аей (й„й„) — о (Р (Р,) — о Р (й,))). Соответствующее поло>кение имеет место для предикатав с тремя и болыяе пустыми жстами. Из этого мы видим, что расширенное исчпслеппе столь же харашо допускает теаретико-лшожественную интерпретацию, как и чисто логическую.
Учение о числах может быть полностью нэпа>кено в смысле теоретико-миожествснпога понимания. Мы уже видели, что прсднкаты от прсдикатов, определяющие числа, с таким >ке успехом можно рассматривать как предикаты от множеств. Далее, уже было указано, что двум предикатам от предикатов сй(Р) и 'у(Р), которые представляют числа, соответствует одно и то же чпсло в том случае, ести между Ф и >у существует соотношение (Р) (сб (Р) 'У (Р)). Но отсюда следует, что числа можно понимать так >ке, как множества множеств.
При логическол> опре- дечении числа быто преднкатам ат предикатов котс )л,>й выполнялся для всех равночисленных предикатов и только для пих.. Равно щсленнасти предикатав соответствует эквивалентность множеств (эквивалентность, понимаемая здесь в обычном теоретико-множественном смысле). От логического понятия количественного числа ма>хна перейти, таким образом, к теоретико-множественному; согласно этому пониманию, число есть не что пнос, как мспжвстоо всех мпо>кеств, >квиваяспслоых олрввсясппоя>у ю>ожествуп Рассмотрим теперь, как обычные понятии теории множеств выражаются симнолически в исчислении.
Если Р„(х) и Р, (х) — определяющие предикаты двух множеств, то сумов этих множеств задаетсн предикагом Р, (х) >я Р,(х). Р, (х)бсР,(х) представляет псрссгчспгсР, и Р,. >М>нажеетво Р, содсРжитсЯ в Ро, или Р, есть лодмножвсслсо множества Р„если (х) (Р,(х) Р,(х)) является истинным утверждением, Два множостваР иР эхвивопел! с о ллы, если элементы обоих множеств могут быть приве девы во взаимно-однозначное саответстпие друг с пру>-ам. Символическое выражение этого такое же, как для равночисленнасти предикатов.
Выражение (х) (у) (о) ([й (х, у) й й (х, в)— .=(у, вЦ дс [й (х, о) 4 й (у, о) — о == (», у))), нли сокращенно Е>пб (Р), означает, что отношение й (х, у), если оно имеет место, является взаимно-однп. знасгным. Тогда сил>ведическое выражение (теаретиьал>ноясественной) эквивалентности Р, и Р, таково: (Ей) >(х) [Р, (х)-о(Еу) (й(х, у) бс Р, (у))) бс (у)[Ро(у) — о(йх) (й(х, у) доР, (х))[б Е!пс) (й)). Множество всех лодмлолсвств данного множества, определенного через О, представляется индивидуаллным предикатом от предикатсв Те(Р) (или л>чше Те(Р, 0). Каждый предикат Р, для которого выпол- Расюиреииае итисаеаие ареал.ииав Лаги«еское иараджси няется Те(Р), дол»кен обладать тем свойством, что все его элементы являются также элементами О.
И обратно, для ка>кдогв нредиката Р с этим Свойством должно также выполняться Те(Р). Псэгому Те(Р) определяется вырюкением (х) (Р (х) . 0 (х)). Пусть, далее, Р (Р) представляет какое-нибудь лс»|о>к«ство. Элементы х обьеиияеяия множеств этого лег»овсе«шва млолсесшв (теоретико-множественной суммы этого множество множеств) можно охарактсриаовать тем, что они являются элементами по крайней мере одного из множеств, определяемых такими предикатами Р, для которых выполняется Р (Р).
Согласно этому, для обьединения апкокессв получаем определяющее выражение (ЕР) (Г!Р) й Р (х)). Элементы пересечения мноэкесшва лтажесша характеризуются тем, что они являются элементамн каждого множества Р, для которого выполняется Р(Р). Согласно этому, пересечение представляется в виде: (Р) (Р(Р) — Р (х)Ь Мновсество Р называется упаридичешеыи, если для элементов Р определен нредикат Е от двух переменных, не рефлексивный, но транзитпвпый, н который для произвольных отлич»и«х друг от друга х н у выполняется либо для пары (х, у), либо для пэры (у, х). «Множество Р упорядочено предикатом Я» символически выражается согласно этому так: (х) (у) (а) (] Р (х) бс Р (у) бс Р (ф ] — » (Е(х, х) б(ею(х, у)»р Й(х,у) ', Е (у, х)) гг(Е (х, у] б Р (у, .) Е (х, е))]). Мы обозначям эту формулу кратко «г(Р, й).
Множество Р называется «лилие угеирядачегисиис преднкатом Е, если . В (Р, Е) б (()) ((х) (ф (х) — Р (х)) (Еу) ]Е) (у) бс (е) (ф(е) —..=--(у, е)»,' )»»(у, г))]) есть истинное высказывание. Соответствующим оора.юм»»оже»о выразить сс«мв~ лически в исчислении все остальные понятия, употребляе»»ые в теории м»ее>кесто.
5 4. Логические парадоксы В предыдущих параграфах мы видели, какис новые возможности выражения получаются при введения предикатов от претиКатов. Каждая формула, которая содержит свободный переменный предикзт Р, может рассматриваться как индивидуальный преднкат ст кредикатов. Но в таком случае можно ввести дальше пере»»енные для предикатов от предикатов. Формула, которая «одер»кит свободную переменную такого рода, представляет индивидуальный предикэт. аргументами кот»1рое о служат предикаты от предикатов, и т. д. Такое построение можно продолжать как угодно далеко.
В таком случае, кроме предметов нашей области индивид)Т»»ов, предметами в раси»иренном смысле могу~ служить также предикаты, предикаты от предикатов и т. д. Возникает вопрос, нельзя ли попросту сбъединить эти предметы в расширенном смысле н одну единую область индивидуумов, чтобы можно было говорить не только об индивидуальных предикатах, предикатах от подобного рода предикатов и т. д., по и просто о преднкатах, а также, чтобы каждый предикат, определенный для нивой области индивидуумов, в свою очередь, сам нр»«надлежал этой же области индивидуу;мов. В этом случае должно было бы иметь смысл и приписывание предиката самому себе как аргументу. Столь же обще следовал» бы трактовать понятие предиьата от предикатов и т.
д. Тот способ, при помощи которого мы, исходя нз узкого исчисления предикатов, поднимались к более Рисширгниог ишисогиис иргдииотоо Логические ииридокси цз высоким предикатал>, ие дает нам для подобного образа действий никакого руководства, Ибо в рассуждениях гредыду1цего параграфа мы всегда имели дело с преднкатами ат индивидуумов, предикатамн ат таких предика>аз от индивидуумов и т. д. Но, псжалуй, подобное общее понятие йредиката соответствует неточному разговорному языку '. И вот, оказывается, что такая логическая система пе удовлетворяет даже постулату непротиворечивости.
Появляющимся здесь противоречиям, так называемым парадоксам, к которым приходят, впрочем, и независима от употреаления логической символики, можно, в соответствии с двойным истолкованием исчисления предикатов, придать либо более логическое в собственном смысле слова, либо же теоретико-множественное истолкование. 'Разберем здесь некоторые нз этих противоречий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
