Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Мы покажем теперь (Р] (Л (Р] — = (Р, ЧБ)), т. е. что действительное число, соответствующее Чщ есепь верхняя граница множества, опреоеленного фор. мулин А(Р). Если мы подставим вместо ЧБ и =. определяющие выражения, то зта формула переходит в (Р) (А (Р) . (х) [Р(х) -«(ЕО) (С] (х) й А(С]))]), а после преобразования — в (Р) (х) ((А у» й] (х) — (ЕО) (А (О) и О (х))). Последнее выражение можно рассматривать как фор- мулу, получающуюся в результате применения аксио- мы (П, 2), стр.

1РЕ Остается еще показать, что ЧБ(х, А) представляет наименьшжо верхнюю границу, или, в формулах: (Р) [[Бс(Р)й(О)(А(Г]) — «~ (С), Р))[-» = (ЧБ,Р)). Если мы заменим здесь снова все сокращения их определениями, то получим: (Р) [[ Бс (Р) и (О) (Л (О) -» (х) (О (х) — «Р (х)))] — « †: (у) [(ЕР ]( (у) й А (1 ]] — 1 (у)]).

расширсннсс итпсаснпс ссрсдинтссса Вынося здесь знак общности (х) вперед, мы получаем таким образом: (Р) ((бе (Р) й (х) (О) (А (О) й 1',! (х) — и Р (х))) — + (у) (Е Р ) (Р' (у) й А (Р ) — Р (у)) ) . Эту формулу мы можем вынести с помощью обобщения формулы (22),сср. !О!.

Приведенных примеров достаточно, чтооы показать, что ступенчатое исчисление явтяется подходящим средством для выражения способов заключения в анализе. Полное построение основ математики с помощью ступенчатого исчисления дано упйтхсдпм и Расселом '! это сюстроение, правда, усложнено без надобности благодаря употреблению разветвленной теории типов, упомянутой в б 4. Однако исключение этой теории из дедукций авторов не представляет никаких особых трудностей. ПРИЛОЖЕНИЯ ' Н'апсдсащ А. ПС., апе Лпсасн, В., Рсспссрса Массетанса, 2 ае., Сатьнеаа, 1925 — 1927, Метод смунснчотоге нсчогнснна Юа прмлажвнмц ) й 5.

Метод ступенчетоге исчисления Из противоречий, которые мы установилн, следует, что наш метод формального оперирования ошибочен. Ошибка эта могла возникнуть лишь из гого обстоятельства, что прн расширении первоначально установленной для (узкого ) функционального исчисления ' системы аксиом мы действовали недостаточно осторожно, Чтобы при необходимом исправлении метода занять правильные позиции, вспомним еще раз основное, что сделано нами при расширении исчисления.

о(ы изложим здесь соображения Уайтхеда и Рэссела. В первоначальном методе исчисления функций мы приняли систему или несколько систем индивидуумов как заранее данные, н оперирование с переьсенныьеи (в особенности с кванторами) приобрело свое логическое значение через отношение к таким совокупностям индивидуумов. Расширение же исчисления сос~ояло в тоьь по мы стали рассматривать н высказывания и предикаты как индивидуумы и, таким образом, допустили символические выражения, логический смысл которых требовал привлечения совокупности высказываний (соответственно функций).

Но в действительности такой способ обращения сомнителен, поскольку при этом именно те выражения, которые получают смысл лишь через отношение к совокупности высказываний (соответственно функцвй), в свою очередь причисляются к высказываниям или функциям, между тем как, с другой стороны, чтобы ' Ма пернага поденна агоа нинон. ' В персом под,ыпн нрсднноты назыоеонсь ногнчыннмн функпннмн н исчисление предпког о — функпнононьнык нсчос.

леннек, (Прая. рео.) иметь возможность ссылаться на совокупность высказываний.нли функций, мы должны рассматривать последнюю как заранее определенную. Здесь перед нами, таким образом, нечто вроде логического круга, и мы имеем основание предполагать, что этот круг является причиной парадоксов. Таким образам, если мы не хотим отказаться от возможности принимать высказываепся и функции за значения аргументов логических функций, возншшет задача так преобразовать формальное оперирование с переменными знаками высказываний и Функций, чтобы сомнительные образования совокупностей высказываний или функций были исключены. Преследуя эту мысль, мы приходим к так называемой шеории шилов или сглупенчаглому исчислению Уайтхеда н Рэссела.

В шой теории мы можем различить две разные точки зрения. Первая состоит в том, что все, что может быть подставлено на пустое место функции в качестве аргумента, имеет совершенно иной характер, чем сама функция. Йля характеристики фун<ции необходимо указание ее области определения. Согласно нашему принципу, ничто, зависящее от самой функции, не должно в таком случае принадлежать к области ее определения.

Таким образом, мы приходим к некоторому соотношению между понятиями, которые Рассел называет иерархией гнилое. К первому типу принадлежат индивидуумы первоначально данных систем. Ко второму типу принадлежат индивидуальпыс предикаты. Вообще, к (л-'))-му типу принадлежат такие логические функции, все аргументы которых имеют тип =сл и по меньшей мере один — тип и, Но на>клас пустое место функции можно подставлять только такие предметы, которые имегот тип соответствующего аргумента.

Соответственным образом употребление кванторсв также относится лишь к совокуппасги„имеющей тат жс тнп. Кроме этой мысли, Уайгхед и Рассел используют еще одну, идущую дальше. действительно, можно 1'Г Гск оы ееерееочонон нкк при<»имение 1 2<О 21! Метод ииупеичдл<»»л и<»и<»еииа сомневаться и в праве общего употребления выражений, вроде: «двя всех индивидуальных пре.

дикатов», »существует индивидуальный предика»», »для всех высказываний». Возможно, что в опре. деление какого-нибудь индивидуального предиката входит квантор, которому соответствует переменная для индивидуальных предикатов, т. е. ииымн слсвами, что индивидуальный предикат спределен через отношение к совокупности всех индивидуальных предикатов. Нлн рассмотрим другой случай.

Предл<,жение »Все высказывания или истинны или ложны> само есть тоже высказывание. Но, с другой стороны, это высказывание определено через отношение к соиокупнссти всех высказываниИ. Чтобы и здесь избе»кать круга, предлагается следующий путь. Мы мыслим себе, прел<де всего, что дана определенная область индивидуумов и в ней некоторые оснгвные предиьаты. Зги оснсвные функции могут иметь очень наглядную природу.

К этой первоначальной <бласти мы применяем узкое фупкциональнсе исчисление и получаем, таким образом, егорию елереой сшулелп». Предикат этой первой ступени является логической функцией одного или нескольких аргу»сентов, которая может быть образована из основных предикатов с поиощью логических операций «н», вили», ене», »если — тс», »все» и <существует».

Сама собой разумеется, что операции »все» и есушлствует» относятся здесь только к первоначалшюй области индивидуумов. Заполняя пустые места функций первой ступени или помещая перед ними кванторы, мы получаем высказывания первой ступени. Теперь мы построил< теори<о второй ступени. Мы рассматриваем функции и высказывания первой ступени как новую область индивидуумов, котору<о мы присоединяем как следующую область к области первоначальных игщивидуумсв. Если мы берем за основу расширенную таким образом систему индивидуумов, то мы можем тогда ограничиться обласгью функций и высказываний »второй ступе»им. Отличие от предыдущего состоит теперь в том, что аргументы логических функций, равно как знаки сбщнссги и существования, могут относиться не только к первоначальным индивидуумам, ио и к предикатам и высказываниям первой ступени.

Подобно переходу от первой ко второй ступени, молино совершить также переход к третьей и к более высоким ступеням. С помощью этого метода ступенчатого исчисления мы получаем воэможность, с аднсй стороны, сделать всякое встреча<ощееся высказывание, свойство или отношение предметом суждения; с другой стороны, мы оказываемся избавленными от сомнительного оперировани>< с совокупностями всех высказываний или фуню<ий, так как допустимы тольке такие выражеяия, которые получа<отся путем последовательного образования ступеней, и так как для теории авределеннсй ступени совокупн<сть предл<етов, к которым она относится, ограничена. Чтобы отобразить в нашей символике различие ступеней, мы снабдим высказывания н функции числовыми индексами.

З<о обозначение нуи<но понимать и том смысле, что область значений знака высказываний Х„или знака функции Г, ограничена такими высказываниями или функциял<и, которые содержатся в теории и-й ступени. От каждого выражения, которое должно представлять высказывание или определенную функ<ппо, л<ы теперь требуем, чтобы ко всякому встречающемуся в нем знаку высказыиания и знаку функции был присоединен индекс.

Знак функции получает всегда оольший индекс, чем каждый из его аргументов. Знак функции с индексом ! всегда имеет в качестве аргументов предметы первоначальной области индивидуумов. Наши аксиомы совпадаю~ с аксиомали< узкого функционального исчисления, Нужно толы<о при применении аксиом снаддить переменные, обозначающие высказывания и функции, индексами. Вместо акси- 14 г)2 Г)ро.ияпчие ! а>ео>од юиуоснчотесс итисзсноч 2>з омы (с)> (х) Р (х) —.. Р (у) мы имеем правило для аксиом: всякая формула вида; (х) Рч (х) — ч Ро(у), (Д„) Р„(Д,) —. Р„(В„) (Во) Р,. (В,) Р., (И„) может оыть принята за аксиому; при этом Л„и В,— переменные высказывания, а 6„и с>'„— переменпыс ч) ункции. Соо>ве>ствующее справедливо дла аксиомы !) и правила у).

Характеристики

Список файлов книги