Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Посмотрим теперь, какие следствия для построения нашего исчисленил п~лучаются нз этих парадоксов. Первый парадокс показывает ясно, что мы ие мажем употреблять лиасениое различий понятие предиката, описанное в начале это~о параграфа, так как щз 192 Р»гширекл»«и««и«»еии!»Реаитю»в Флулеп»ет»«и««иг»«иие его допущение привело бы к протнворечи!о в самом исчислении предикатов. Два других парадокса имеют иной характер; онн припедены здесь лишь ради полноты.
Парадоксы эги свидетельству!от только о несовместносгн некоторых утверждений. В первом случае это были: ВЬ ЦХ) (ВЬ(Х) ~Х)) и (Х) (ВЬ(Х) ==(Х, (У) (ВЬ(У) — >У))], а во втором случае: (Ех) Вес(х), Ясг(Мдф и (Р) ((Ех) Р (х) (Ех) (Р (х) д(у) (< (у, х) о Р(у)))). Никакое из этих у!нерадений не является логическим тол«дествсм. Парадоксы этого второго рода, для которых употребителыю название «гемини!ичегкихл, не затрагивают, следовательно, нашего исчисления, так как оно не в состоянии выразить их чисто логичет«ид характер. Более того, мы долм«ны были использовать для их частпчнод фармалнзании содержатель.
ные щ!особы мын!ления. Наа! не приходится поэтому для нашего исчисления предикатов извлекать какие- либо следствия нз противоречий последне~о рода, и мы не будем поэтому останавливаться на ннх подробнее'. б 5. Ступенчатое исчисление Мь! теперь приступим к снстематнческоиу построению исчисления, расширенного посредством введения более высоких прединатов. Соображения предыдущего параграфа показали нам, что л!ы не можем употреблять ли!пенного различий понятия предината, но должны различать предикаты по роду их аргументов.
В нашем ' Более новую трек«алчу сел«от»«вских плреаоКсое см., например, у» «ы, А., Оег ту«асье!!«ьеа«1!! 1и деп !оттеняет«еп зргееьеп, 3!ип1« Ры1о«орысл. 1.еороп, 1935. исчислении это находит свое выражение в том, что мы можем употреблять общую предикатную переменную только для предикатов одного и того же рода.
Мы имеем пре!кде всего индивидуальные предикаты и притон различные виды или типы таковых по числу их аргументов. Зги предикаты называ!отса предикитоми первой ступени. Псд предикитом второй ступени мы понимаем предикат, пустые места которого заняты ипднпидуумами или предикатами первой ступени, причем по крайней мере адин раз должен встречаться в качестве аргумента предикат первой ступени. Виды или типы предикатов второй ступени различаются по числу и роду их пустых мест.
Соответствующим образом приходим дальше к предикатам третьей, четвертой ступени и т, д. Для индивидуальных переменяых мы применяем снова маленькие латинские буквы, а для переменных предикатов — большие латинские буквы. Для каждою вводимого переменного предиката заранее должен быть точно указан его тип, так как правила подстановки формулируются так, что вместо переменного подставляются только такие предикаты, тип которых совпадает с типом этого переменного. Чтобы кратко обозначить тип переменного предиката, мы можем воспользоваться простоя символикой. Тип индивидуального переменного мы обозначим буквой !'.
Если мы ямеем переменный предикат с и пустыми местами, катар!»м принадлежат аргументы типов и„ и„ ..., и„ то тнп этого переменного предиката мы будем обозначать через !и„ а„ ... ..., и,). Например, (((,!),!) будет обозначать тип двуместнсго предиката второй ступени, на место первого аргумента которого ъ«ажно подставлять двуместный индивидуальвыб преднкат, а на место второго — индивидуум.
Предикаты, упомянутые в 5 2 этой глазы„имеют: Яуш-тип ((1,!)), 0(Р) — тип ((!)), З(Ф) — тнп (((!))), (тр — тип Ц!), (!)) и т. д. Зто ступенчатое построение предикатов и исчисление, основанное на неч, ввели в логику Уошпхед и !3 о о тл ш»»и >ее Ригшоренн»е»жига»Нее лр»дэнам»е !9Ь Смеаелчот»е иаммаение Рассел в своел> фундаментальном произведении ерппс)р(а Ма()>е>вайса». Наряду с описанным различием типов предикатов, так называемой лросшой аеорией тинов, авторы пользовались еще более тонким подразделениеи предикатов, разветвленной теорией тшюв, Согласно этой последней, недопустимо, например, причислять все одноьжстные индивидуальные предикаты к одному н тому же типу; индивидуальные предикаты доля»ны различаться в зависимости от способа их определения.
Напр>>мер, ппдивидуальный предикат, определяемый при помощи каких-либо знаков общности нлн существования для предикатов, имеет более высокий тип, чем индивидуальный предикат простейшего порядка, который Уойтхед и Р>ггел называют»предикативным» инднвндуальныи прсдикатом. Эта разветвленная теория типов была установлена, принимая ао внимание семантические парадоксы.
Но она не нужна, так как этот ннд противоречий, как мы видели, не затрагивает расширенного исчисления предикатов. Кроме того, эта теория приводит к большому числу затруднений, на которых и мы останавливались ближе в первом издании этой книги. У нас нет больше побудительных мотивов заниматься подробнее этой теорией, поскольку' непротиворечиво, как это совсем нетрудно установить, уже простое ступенчатое исчисление. Приступая теперь к детальному построению ступенчатого исчисления, мы встречае>шя еще с некотсрой трудностью, относящейся к способу записи. Тс обстоятельство, что предикат выполняется для определенных аргументов, мы всегда выра>калидо сих пор, помешан в скобке, следуюн>ей за знаком предиката, отделенные друг от друга запятыми аргументы. Поскольку пустыеместа переменных предикатов заполняются только переменными, этот способ записи достаточен и теперь.
Однако дело обстоит иначе, если в пустые места подставляются спепиальные предикаты. Пусть, например, Р— переменный предикат типа «()), пустое место которого предназначается, следовательно, для одноместных индивидуальных предикатов. Пусть, далее, 0 — переменная для двуместных индивидуальных предикатов. Из 6 можно образовать следующие предикаты переменного х: 6(х, х), 6(х, у), 0(у, х), причем оба последних предиката содержат параметр у. Мы не располагаем пока возможностью выразить прямо, что Р выполняется для какого-либо нз этих предикатов.
Ибо если бы мы написали, например, Р(6), то невозможно было бы установить, какой нмеппо одноместный предикат подразумевается под 6. Проще всего это сделать при помощи описания. Введем Н как' переменный преднкат типа «). Тогда л>ы ко>кем использовать форм) чы (ЕН) (Р(Н) б (х) (Н (х) 6(х, х))) (ЕН) (Р (Н) б (х) (Н (х) 6 (х, у))) (ЕН) (Р (и) а (х) (Н (х) - 6 (у, хй) или же формулы (Н) «х) (Н(х) 6(х, х)) — » Р(НВ (Н) «х) (Н (х) 0 (х, у)) — » Р (Н)) (Н) «х) (Н (х) 6 (у, х)) Р (Н)), чтобы восполнить отсутству>а'.дую возможность выразить выполнение Р для трех вышеупомянутых прели. катав. Можно, впрочем, построить фор»>ализы и не прибегая к подобным описаниям.
Преимущество этого в >ом, что сохраняется правило подстановки для переменных прсдикатов [аналогичное пранилу а 3) узкого исчисления предикатов), и аксиоматическое построение ступенчатого исчисления может протекат вполне аналогично обычному построению узкого исчисления предикатон. При этом мы должны, однако, пойти на усложнение способа записи. В вышеупомя. нутом случае мы можем поступить так: присоеди.
нить к переменноиу Р индивидуальное переменное, >3* >Рб Р еиеиреняое иевиелеяие яредииойов >от Стуяенивиеое иевиелеяие например х, в качестве индекса. Тогда мы имеем в Г,(6(х, х)); Г„(6(х, у)); Г„(6(у, х)) символические выражения для трех вышеупомянутых высказываний. Переменная х в этих трех формулах является связанной переменной и поэтому может быть заменена другой переменной того же рода.
Капример, формулы ~;(6(в, в))> ре(6(=, у)); р,(6(у,в)) равнозначны вышеприведенным формулам. Если мы хотим провести вообще этот способ записи с индексом, то каждый переменный предикат второй и более высокой ступени должен получить некоторый индекс. Пусть Р— подобного рода л-месгная переменная. Пусть 6„ 6„ ..., 6, — переменные, рассматриваемые как аргументы Р.
Если среди них встречаются индивидуальные переменные, то мы их опускаем. Пусть переменные, такие, что для всякого й(1 л /о < л) Н»„ ..., Н,ч подлежат рассмотрению в качестве аргументов в 6 . Тсгда Р получает индекс Рееве, ... н,еи леь ., явщ ...; и;„,.„я „, Аналогично поступаем в случае индивидуальных знаков предикатов. Приведем несколько примеров. Вместо Яуш (й) мы должны были бы теперь писать Буш„в (б (х,у), вместо 1шр(Р, 6) — !юров(Г(х),6(у)). Вместо формулы З(Ф), рассмотренной в б 2, нам нужно было бы теперь написать ДиФ(Е), причем г" имеет тип (>).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
