Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Мы видим отсюда, что способ записи с индексами значительно отягощает формализм. Для дальнейшего мы положим поэтому в основу более простой способ записи и только при случае будем ссылаться на индексный способ записи. Обратимся теперь к вопросу о системе аксиом для тождественных фара>ул. Для этого прежде всего не- обходимо определить понятие формулы. Это можно осуществить таким же образом, как мы сделали рань- ше для узко~о исчисления предикатов с помощью правил 1) — 5) $4, гл.
1П. Мы должны только иметь в виду, что теперь мы имеем больше разновидностей переменных. Что касается самой системы аксиом, то во всяком случае нельзя указать такой системы, ко- торая давала бы все без исключения тождественныс формулы'. Все же следующая система аксиом и прк более сложных способах заключений, которые упо- требительны, например, в математическом анализе (ср, рассмотрения следующего параграфа), едва ли откажется служить.
Эта система по существу являет- ся только обобщением системы аксиом, введенной и)ежде для узкого исчисления предикатов. Эта система образуется слсрующим образом: 1. Прежде всего, в качестве основных мы исполь- зуем снова формулы а) †) исчисления предикатов, приведенные в гл. П1, $5.
П. Основным формулам е) и 1) узкого исчисления предикатов соответствует следующее правило образо- вания основных формул: пусть 6 и Н вЂ” переменные ка- >юго-либо типа а, Š— переменпаятипа(а). Тогда ка>к- дая формула (П, 1) (6) Е(6) Е(Н) и каждая формула (П,2) Е (Н) — >(66) Е(6) являются основными. (Случай, когда 6 имеет тип 1, т. е. является индивидуальным переменным, должен Г>ыть включен сю >а.) 1П.
Дальше идут, н качестве особой группы для взсширенного исчисления предикатов, аксиомы, соот' Зео еввлуе~ ы рвбвив Гюеы. уввс >яо ~ швооееввя в 1 > мвн, иа 1са Рсс>иирсаисс шчис:>снос ипсдисаамс Смус>сссчамас исчис.>гиии ветствующие аксиоме выбора теории множеств и являюшиеся обобщением аксиомы б), установленной нами уже раньше для исчисления второй ступени. Т!усть Š†переменн какого-либо типа а; 0 и ! †переменные какого-либо типа Ь; А и Н вЂ переменн типа (а, Ь); Т вЂ” переменная твпа (Ь). Тогда: (! (!) (ЕН) с(Р) ((Е6) А (Е 6) — >(ЕО)(Н (Г 6) бс А (Р 6))) бс (Е) (0) (Ц((Н (Е, 0) а Н (Е, Е)) — (т)(Т(0) Т(Е)))! является основной фориулой. !У.
Пусть, далее, Е„).„..., !.„— переменые тип,в Ь„Ь„., Ь„О и Н вЂ” переменные типа (Ь„Ь„..., Ь,) н Л-переменная тис>а ((Ьс, Ь,„..., Ь„)). Тогда; 1((г) «.,)...(Е„)(6(~.„..., Е„)-Н(Е„...,!.„))--. (А (6) — > Л (Н) ) является основной формулой, (Зги >аксиомы объемиостю> (Ех(епз(опа(((б!) соответствуют аксиоме определенности (Веэ((>пп>(йе((зах(ош) теория множеств.) Правила вывода новых формул аналогичны правилам исчисления предикатов. и1) и б) остаются нензнснныии. Что касается и2), Т!), Т2), то, принимая оо внимание, что теперь имеется больше типов переменных, эти правила следует соответственно изменить. За счет расширения правила и2) нельзя все же полностью отменить яре>кисе прави.ю аЗ).
Поэтому к системе основных формул нужно еще добавить следую:цее. Пусть 0„0„... 0„— переменные каких-либо типовао и,„.,.,а„, Š— переменная типа(а„а„..., а„), 2! (О„,, 6„) — формула, которая содержит свободныс переменные 6„6„..., О,. То>да каждая формула вида (У) (ЕЕ)(6) (0.)(Е(6,,6,) >Д(ао .,0«)) является основной. Зги формулы (У) предназначены для того, чтобы заменя>ь при выводах формулу со Свс:бадПЫМН ПСЬСМЕПНЫМИ, ПредетанпяЮП1уЮ ЗДЕСЬ всегда некоторый индивадуальный предикат, переменным предикатом. Пользуясь индексным способом записи, мы можем формулы (>с), для которых употребительно наименование аксиомы свертывания (Ко>пргейепз!опэах!оп>), отбросить. К правилам вывода тогда присоединяется обобщение правила иЗ) узкого исчисления предикатов.
Формулы (У) становятся в таком случае доказуемыми, Другой путь построения ступенчатого исчисления, отличающийся от описанного здесь, состоит в том, что при формальном построении принципиально кладут я основу только одноместные предикаты различных ступеней. Именно, можно, например, по Кура>лосскому ' рассматривать двуместный индивидуальный предикат как одноместный предякат в области упорядоченных пар (х, у). Упорядоченная "пара (х, у) опрея еляется (если мы для уд~бства положим здесь в основу теоретньо-множественный способ выра>ке> ия) > как множес~во, элементами которого являются толысо следующие два множества: множество с х в качестве единственного элеь>ента и множество с х и у в качестве единстоенных элел>ентов.
Для определения этих множеств или соответствующих им предикатов необход , им только двуместный предикат тождества, который, однако, в свою очередь сводится к одноместнь>м предика>ам (ср. б 1 этой главы), Ыы не пошли здесь по этому пути в ступенчатом исчислении, потому что при таком построении ин;1ивидуальный предика> Р(х, у), который обычно принадлежит первой ступени, В> У ь ступаст. как предикат сравнительно высокой ступени. > ага. Но в остальном ограничение одноместными предика ми даст некоторые формальные преимущества.
Непротиворечивость ступенчатого исчисления лег>со доказывается с помощью некоторого обобщения метода, примененного н Ь 9, гл. !!'. с Кигагаисас, С'., Зис 1э аоцои ас 1'осше аапс 1а 1ааасш аеа еиэсшшее, ниии. Мищ. вш Э (Юш). С С . Ти Шс, Л., Н>а>ас Исстзежиааси ОЬСС а1С Иеидгнгс асс -%'>петерссон>с>с>пси ипа с>сс Лсопссаиа>аае11. МЬ. с асн. 203 Прпнемемие вюупемчптвев ивчиевемип газ Рпеюиреммде мтпепеипе предивптвв "(Р, О) должно быть равнозначным с 1гпр(Р, О) т. е. с (х)(Р (х) Е (х)). Или, в формулах: Бс( )ЕБс(О) ((шр(Р, О), (Р, О)).
'Тогда высказывавие< (Р, О) придется определять через Бс (Р) й Бс(О) — ь (< (Р, О) (1гпр(Р, О) й Аец (Р, О))). Можно доказать средствами исчисления, что оба отношения (Р, О) и < (Р, О) транзитивны. Равным образом можно вывести все другие свойсгва, которые характерны для отношения порядка.
Сложение и умножение действительных чисел можно свести к сложению и умнаженюо рациональных. Предикат (Е у) (Ег) (Р (у) й О (л) й (х = у+ е)) представляет сумму, а преднкат (Еу) (Ев) (Р (у) й ('1 (с) й (х = у ° г)) произведение дейстннтельных чисел, определенных через Р и () (х=-у+г и х=у.в являются здесь трехчленными основными предикатами в области рациональных чисел). Теперь мы лгожем обычным способом ввесшв понятия ограниченности и точной верхней границы множества действительных чисел. Множество действительных чисел представляется преликатом от прелнкатов Л (Р), который удовлетворяет условию: (Р) (А (Р) —. Бс (Р)) й (Р) (О) ((А (Р) й Аец (Р, О)) — А(О)).
То обстоятельство, что множество А(Р) действительных чисел ограничена сверху, означает, что существуег действительное число, которое больше или равно каждолгу из чисел множества; в формулах зто выражается так: (ЕР) (Бс(Р) й (О) (А (О) -=- (О, Р))), :шключаем: (ЕР) Л (Р), ()')(Л(Р) Бс(Р)) (ЕР) (Бс (Р) й Л (Р)). вместо чего мы для сокращения пишем также (ЕР) Бс(л(Р, Л) или словесно: существует число Р, представляющее верхнюю границу множества А. Мы предполагаем также, что Л(Р) содержит по крайней мере один элемент, так что имеет место формула; (ЕР) А (Р).
Теорему о точной нерхнгй границе теперь можно сформулировать следующим образом: если некоторпг нножеюпво действительных чисел ипмет вгрхмюю гритщу, то омо имеет также иаимеиьигую верхнюю грииицу. Математическое доказа~ельство существования точной верхней границы, приведенное к простейшей форме, сослоит в том, что для рассматриваемого множества действительных чисел, которое является множеством множеств псрвой ступени, образуют их теоретико-множественную сумму (объединение).
Согласно замечаниям З 3 этой главы, соответетвующее А (Р) г,бъединение множеств выражается предикатолл: (ЕР) (Р (Х) ге А (Р)). Мы ооазнашм этот предикатсокрашениа Чд(х, А). Таким образом, относительно предиката угд(х, Л) нужно показать, что он представляет действительное число, которое является точной верхней граниией множества А.
Прежде всего мы должны доказать, что множестао, определенное выраженном Чй (х, А), вообще является действительным числом. Можно лег.ко показать сначала, чта три свойства, объединенные знаном Бс, имеют места для Лги. П(введем вывод первого свойства. Из 204 Расеиноенепе исчисление ееревииотав Так как имеет место Б с (Р) — «(Ех) Р (х), то имеем: (ЕР) ((Ех) Р (х) й А (Р)). Последнюю форос]ну можно преобразовать в (Ех) (ЕР) (Р (х) й Л (Р)), т. е (Ех) ЧБ(х, А). Равным образом можно показать: (Ех)ЧБ(х, А), т. е. (Ех)(ЕР)(Р(х)йд(Р)), Заметим прежде всего, что зеу формулу можно пре- образовать к виду: (Ех) [Р) (А (Р) — » Р (х)), В силу предположения об ограниченносги множе- ства А, имеем: (ЕР) [Бс (Р) й (® (Л (ф) — =-.
(О, Р)]]. Далее, имеет место Бс (Р) — (Ех) Р (х), следовательно: (ЕР) ((Ех) Р(х) й чс (Р) й ((]] (А(О) —,= ((], Р))1. из определения с (ее, Р) легко получаем: .= ((], Р) й Бс (С]] й Бс (Р) — » (х) (Р (х] — » 11 (х)), В предпоследней формуле вырамсенис (]]) (А © — -..- (О, Р В можно заменить на (г]ПА (с]) - ( ) (Р (х) = О (х)Н нлп же на (х) (Р (х) — «(1]) (Л Ц) — » Г] (х])]. 11римеисние сеиуеинчотооо исчисления 205 Из формулы (ЕР) ((Ех) Р(х) й Бс(Р) й(х) [Р(х)-« (С]) (А Я) . 4 (х))]] получаем тогда: (Ех)Щ)(А(О)- Йх)), т, ел (Ех) Чц(х, Л). Этнос для ЧБ(х, Л) доказано первое свойство сечения. Аналогичным образом доказывлеотся длн ЧБ(х, А) свойства 2 и 3 (на стр. 201), так что, следовательно, имеет место Бс(ЧБ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
