Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 24
Текст из файла (страница 24)
С помощью четырех введенных отношений можно геперь представи~ь логическими формулами все встречающиеся в нашей проблеме аксиомы, а также предложение Паскаля. При этом существенно, что мы обходимся в этих формулах без свободных предметных переменных, ставя повсюду впереди знаки общно. стн. Например, аксиома: «Через дае точки проходит только одна единственная прямая» выражается форм)'лой: (х)(у)(и) (о) ЯОег(х, у, и) йО«г(х, у, о)й==(х, у) дс =:(и, о)] -»Осе(х, и, о)), н словесной' форме: «если х, у н и лежат на одной и ямой, х,у и о лежат на одной прямой и если, дшчее, х отлично от у, а и от ь, то х, и и е лежат на одной прямой».
Аксиома: «Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют по крайней мере още одну общую точку, отличную от первой», выра»кзется формулой (х) (у) (г) (и) (о) (в) (р) ((ЕЬ(х, у, г, р) йЕЬ (и, о, в, р)]-» (Ед) (— = (р, о) йЕЬ(х, у, г, с)) й ЕЬ (и, о, в, о))) Аксиоме, существенной для расположения на плоскости: «Если прямая, лежащая в плоскости треугольника н не проходящая через его вершину, пересекает одну сторону этого треугольника, го она пересекает и ка«ую-нибудь другую его сторону», соответствует следующая формула: (х) (у) (г) (и) (о) ЦЕЬ (х, у, г, и) й 6«г (х, у, г й Ев(о,х,у)й0ег(х,у,и)й6егрьи,о)] (Ев)(6«г(и,о,в)й (Ев (в, х, г) '„' Ев (в, у, г))]). Прн введении отношения «Оег» и «ЕЬ» следует иметь в виду, что для них свойства симметричности должны быль сформулированы в качестве аксиом. Таким образом, мы должны ввести формулу: (х) (у) (г) (Оег (х, у, г) — » (Оег (х, г, у) й Сег (у, х, г))) и соответствующую для ЕЬ.
Свойства отношения тоясдесигва также следует сформулировать в виде аксиом: (х) (у) (ви (х, у) -+ = —. (у, х)), (х) = — (х, х), (х)(у) (г) ( == (х, г) йж(у, г) †» = (х, у)), (х) (у) (г) (и) (( :- - (х, и) й Оег (х, )е, г)) -» Осе (и, у, г) ), (х)(у) (г) (и) (о) (( = †. (х, о) й ЕЬ (х, у, г, и))— ЕЬ(о,у,г, иЦ, (х) (у) (и) (г) ((==-(х, у) йЕв(х, и,г)) — »Ев(у, и, гц, (х) (у) (и) (г) (( == (х, у) й Ев (и, х, г)) — » Ев (и, у, г)). Четыре последние формулы выражают, что в каж- дом встречающемся отношении тождественные пред- меты могут замещать друг друга.
Мы мыслим себе затем все аксиомы, записанные в виде формул, связанными знаколг й в одву един- ственную формулу. Эта формула представляет собой совокупное условие, которолсу подчинены предикаты « == », «Оег», «Ев» «ЕЬ» нли, как выражаются иногда Узкое исчисление предикоюое Внеод слеЬсп>еиа из данник носилок в аксиоматике, ола содержит неялное определение этих предикатов. Будем записывать сокращенно эту формулу в виде: й(=,6ег, Еш, ЕЬ). Частное предложение Паскаля прн обычном способе выражения формулируется следующил> сбразом: пусть ЛВС и Л'В'С' соответственно по три точки на двух пересекающихся прямых.
Пусть все укаэанные точки отличны от точки пересечения этих прямых. Тогда, если ВС' параллельна СВ' н СЛ' параллельна АС', то н АВ' параллельна ВА'. Это предложение в свою очередь можно выразить с помощью логической формулы, в которой из предикатов содержатся только = и Оег. Обозначил> эту формулу через >р ( =, Огг). Утверждение, о котором идет речь, говорит, что нз "л(=-=,6ег, Еш, ЕЬ) нельзя вывести >е>(о—ш , Сес).
В этом утверждении содержательно-геометрическое истолкование=, 6ег, Еш, ЕЬ уже не играет роли. Ибо, в соответствии с аКсноматичсской точкой зрения, при доказательстве предложения из > еометрических аксиом нельзя использовать ничего, относящегося к введенным основным понятиям, что не было бы явно сформулировано в аксиомах. Поэтому мы м>жом совершенна исключить эти преднкаты н на их место поставить четыас переменных преднкага, естественно, с соотве>стнующим числом аргументов: Е (к, у); 6 (х, у, л); Н (х, у, *); К (х, у, е, и).
Доказуемость предложения Паскаля означала бы, что для всяких четырех таких предикатов Р, 6, Н, К, для которых э((е, 6, и, к) истинно, >Д(Р, 6) тоже истинно и что, следовательно, сй (Е, 6, Н, К) — ' сй (Г, 6) есть тождественная формула. Нужно, следовательно, установить, что это »е ил>еет места Таким же образом длл каждого другого геометрического предложения можно указать соответствующую формулу исчисления предикатов, такую, что предложение тогда и только тогда представляет собой следствие из аксиом, когда эта логическая формула является тождественной.
Точно так же и вопросы о нелро>ливоречивости мол>но поставить в связь с тождественностью определенных формул. Наприл>ер, вопрос: являются ли геометрические аксиомы, собранные в формуле И(=, Вег,Еш, ЕЬ), логически совместными друг с другом, оказывается равнозначным с другим вопросом: является лн формула Я (Е, 6,Н, К) не тождественной.
Мы можем„ далее, сказа~ь, что «аждсе следствие некоторой системы аксиом первой ступени может быть получе:со также с помощью процесса формального вывода, онещенлого в начале этого параграфа. Ибо тождествен> ая формула, выражающая логическую зависимость предлэлсения от аксиом, согласно б 10 есть в >о нсе время и доказуемая формула. После подстановки специальных преднкатов вместо переменных в эту формулу схема заключения дает самое предложение. Наши последние замечания об эквивалентности зависимости предложения от некоторой систел>ы аксиом с тождественнсй истинностью некоторой определенной формулы исчисления прсдикатов стнсслтся, как мы уже упомчнулн, тельно к системам аксисм первой ступени. Н > и для снстел> аксиом второй ступени имеют место аналогичные соотношения.
Только тождественная >а Оепоаи теореточееноа зошы Ыт г)робости разрешимости 146 Улшс исшссаслж арсдиоатав формула, о которой при этом идет речь, уже не может быль выражена средствами узкого исчисления предикатов; она принадлежит к расширенному исчислению предикатов, которое дояжио быть рассмотрено в четвертой главе. б тг. проблема разрешимости Из соображений предыдущею параграфа становится ясной принципиальная важность проблемы, относящейся к выяснению для данной формулы исчисления предикатов вопроса: является ли она тождественной формулой или негр Согласно определению, данному в 1 5, тождественность некоторой формулы означает го же самое, что и общезначимость этой формулы для каждой области индивидуумов.
Поэтому говорят также о проблеме общезначимости формулы. Точнее было бы говорить не просто об общезначимости, а об общезначимости для каждой области индивидуумов. Тшкдественные формулы исчисления предикатов, согласно выводам $! О, являются именно теми формулами, когорые месут быть выведены из системы аксиомы 1 5. Для решения проблемы общезначимости этот факт не может оказать нам помощи, так как мы не имеем никакого общего критерия выводимости формулы. Формула чистого исчисления преднкатов, т. е.
формула, в которой нет никзких индивидуальных знаков, называется выполнимой в некоторой области индивндуулшв, если можно заменить переменные высказывания значениями «истина» и еложьо, переменные предикаты — какими-яибо специальными предикатами, определенными в соответствусощей обласги индивидуумов, н свободные предметные переменные †индивидуальными предметами таким образом, чтобы формула перешла в истинное высказывание. Если о некоторой формуле говорят просто, что она выполнима, то при этом имесот в виду, чго вообще существует область индивидуумов, в которой имеет место выполнимость, Если формула сд в какой-нибудь области индивиду- умов не общезначима, то, очевидно, З( в соответству- ющей области выполнима, н наоборот.
Аналогичйо простая общезначимость формулы сй и выполнимость т( находятся в отношении утверждения и о рнцания. Обе проблемы общезначимости и выпалиимеали, эквивалентные друг другу, называют также обычно одним общим именем: проблемой разрешпмишп (Ел(зсйе(йцпдзргоб)есп) узкого исчисления предикатов. На основании замечаний, сделанных в б 11, мы вправе считать ее главной лраблемай матемашпческас1 логики.
, Поясним на нескольких примерах понятия обще- значимости н выполнимости. Например. общезиачимы все формулы, которые мы можем вывести из логи- ческих аксиом, в частности, формулы (21) — (Зб) б б. Естественно, все общезначимые формулы также выпол- нимы. Формула (Ех) Р (х) хотя но общезначима, но выполнима. Ведь достаточно только прн произвольно выбранной области индиви- дуумов взять вместо Р Ьредикат: «быть тождественным с самим собой». Такой предикат выполняется не только для одного предмета, но даже дия всех пред- метов. Отсюда следует, что выполнима также формула (х) Е(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
