Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Символическое выражение посылки таково: (х) (у) (=(х, у) — (ЕО) (ЕН) [=(О, Н) й Л (х, О) й й (х, Н) й Д (у, О) й й (у, Н)]). Утверждение записывается: (6) (Н) (== (6, Н)в (ЕхйЕу) [= =(х, у) йд (х, 6)йй (х, Н) йл(у.О) йд(у, н)]). Если для сокращения мы напишем б( (х, у, О, Н) вместо Ь (х, О) й Л (у, О) й Л (х, Н) й Л (у, Н) и используем определение знака -х, то посылка и утверждение представятся следующ1ш образом: (х) (у) (мм (х; у) У (ЕО) (ЕН) [ж (6, Н) й й (х, у, 6, Н)]), соатвигственна (6)(Н) (=(6, Н) У(Ех) (Еу) [=-(х, у) й й (х, у, 6,Н)]]. Согласна приведенному в б 8 правилу образования противоположности мы можем преобразовать эти два выражения в: (х) (у) (==-(х, у) У (О) (Н1 [ьн(6, Н) ',~ З( (х, у, 6, Н)]], (6) (Н) [=(6, Н) У (х) (у) [ —.= (х, у) ',г % (х, у, 6, Н)]).
Приводя теперь оба выражения к нормальной форме, дГЫ ПОЛУЧИМ: (х) (у) (6) (Н) (= (х, У) У (= (6, Н) У Ж (х, У, 6, НВ), (6) (Н) (х, '(у) [мв (6, Н) ~~ (= (х, у) ',' х( (х, у, 6, Н)) ]. Из этих представлений непосредственна пидна, гго утверждение манеет быть выведено из посылки. В самом деле, формула для посылки переходит в формулу для утверждения, если применить к дизыонкпиям ассоциативный и каммутатинный заковы, а к знакам общности — правило перестановки. Одновременно мы обнаруживаем, чта и, наоборот, из истинности утверждения можно заключить об истинности посылки. Одновременного появления двух областей индивидуумов можно нзбенгать следующим образам (обобщение на любой случай не нуждается в асооом пояснении). Мы мыслим себе налаженной в основу одну сдинствепную область индивидуумов, которая состоит из точек и прямых, и вводим два индивидуальных предиката: й (х), т.
с. х есть тачка, н Г(х), т. е, х есть прямая. Тогда посылку в нашем примере можно записать следу~ащим образом: (х) (у) ((П(х) й П(у) й ==-(х, у)) — в (Ег) (Еи) [Г(г) й Г (и) й й =— (г, и) й Л (х, г) й Л (х, и) й Ь (у, г) й А (у, и) ] ) . Соответствующим образом можно выразить и утверждение. В качестве второго примера математического вывода докажем предложение а трангитивндсти дтна. еигния мвньшгга к бальшгиу.
Эта редлажеиие, представление которого формулой; < (х, у) й < (у, г) -в < (х, г) пан уже знакомо, мы будем понимать здесь в смысле, какой ано имеет в учении о величинах. Мы будем представлять себе пустые места предиката < (х, у) отнесенными к определенному роду величин (например, к длппам отрезков или положительным действительным'числам) и будем рассматривать этот предикат как производный ат понятии сложения. Для трехчленного преднката х, слангеннае с у, дает г (или, и;шисав арифметически, х+у =а) мы введем знак Ф(х, у, г).
С помощью этага предиката можно определить < (х, у) так: (Еи) Ф (х, и, у). (вСуществует и, которое, будучи прибавлена к х, дает уе.) |за Вывод следствий нс дднныг енылег Узене нсенсленне преднгдтлл Если мы подставим это определение в наше утверждение, то последнее примет следующий вид: [(Еи) Ф (х, и, у) Й (Еи) Ф (у, и, г)] -е (Еи) Ф (х, и, г).
В й форме можно доказать рассматриваемое это ф ч нпопредложенне„если в основу сложения величн яожить следу>ощие две посылки: 1. еДве величины всегда могут быть сложены>, т. е. (Ег) Ф (х, у, г). 2. «Для сложения величин имеет место ассоциативный закон; х -1- (у+ г) - (х+ у) + г 2, т. ел (Ф(х, у, и)ЙФ(у, г, и) ЙФ(и,г в)] — 'Ф(" " в) Обе посылки представлены в нормальной форме с применением свободных переменных. Если мы и утверждение приведем к нормальной форме, та оно примет следующий вид> (и) (е) (Ев) (Ф (х, и, у) 'гс Ф (у, е, г) ~/ Ф (х, вч г)). Вместо этоса можно также написать: (и)(а)(Ев)(Ф(х, и, у)ЙФ(у, г, г)- Ф(х, в, г)).
Эта формула может быть выведена из наших посылок следующим образом: Переименовывая переменные, мы преобразуем наши посылки вс 1. (Ев) Ф (и, а, в) 2. (Ф(х, и, у) ЙФ(и,а, в)ЙФ(у, о,г)) — ьФ(х, в,г). Если мы применим ко второй йосылке правило Ч1! (стр. 59), то ма>кем преобразовать ее в: Ф(и, э, в) — НФ(х, и, у)ЙФ(у,а, г))- Ф(х, в, г)]. Используя правила, соответствующее формуле (34), можно отсюда вывести: (Ев) Ф(и, а, в)-~ (ев)((Ф(х, и, у)ЙФ(у, ьч г)) Ф(х, в, г)].
Так как (Ев) Ф(и, е, в) было принято за истину, го получаел> далее: (Ев) (Ф (х, и, У) Й Ф (У, е, ), Ф (х в г)) Ставя спереди, по правилу у', знаки всеобщности (и) и (о), получим яаше утверждение. Разъясненный в агом параграфе метод формального проведения доказательства, исходя из посылок, ко>орые не янляю>ся логическими тождествами, применим, главпьщ образом, когда для какой-либо научной области нужно установить основные законы ион аксиомы и вывестй из них остальные предложения в качестве следствий. Можно даже сказать, что понятие системы аксиом толысо теперь получило точную формулировку, ибо к полной аксиоматике относится пе только установление аксиом, взятых сами по себе, по и точное указание логических средств, дающих возможность доказательства новых предложений, исходя из аксиом.
Вопроса о том, можно ли путем формального вывода получи>ь также каждое предложение, которое содержательно предста>шяет собой следствие из аксиом, мы коснемся в конце этого параграфа. Снсгемы аксиом, поскольку опи вообще могут быть формализованы в рамках рассмасренного здесь узкого исчисления предикагов, можно подразделить на два класса.
Под системой аксиом первой ступени мы понимаем такую, в которой отдельные аксиомы пе содерисаг переменных преднкатов. а содержат >олька индивидуальные предикаты. (Здесь и в дальнейшем под аксиомами мы понимаем только такие исходные формулы, которые характерны для соответствусощей области, а не логические основные формулы 4 5, составляющие неотъемлемую часть каждой системы аксиом.) Если в аксиомах нмсююя н переменные предикаты, то мы будем говорить о систене игсирл второй ступени. Исключение из этого подразделения делается сально для г аксиом тождества Если леы снова употребим для предиката тождества знак==, >о 141 повод следппвьд ьз данник аосилок Узкое осчнслсньс прсдьазомз аксиомы эти иь<еют следующий вид: = (х, х), ж (х, у] ь (Р (х) -+ Р (у)).
(В содержательной аксиоматике эти аксиомы большей частью опускаются, гак как они имеют чисто логическу<о природу. Ср. гл. 4, б 1.) Во второй аксиоме встречается переменный предикат. Несмотря на это, мы все еще причисляем системы аксиом, в которых переменные предикаты иь>еются только в аксиомах тождества, к первой ступени. Причина этого в том, что вторая аксиома тождества, поскольку она употребляется только в соотвештвующей системе аксиом, всегда может быть заменена аксиомами без переменных предикатов.
Именно, вместо этой аксиоиы можно взять аксиомы, которые получаются из нее, если под. стави>ь вместо Р по правилу аЗ) индивидуальные предикаты, встречающиеся в этой системе аксиом, и, кроме того, сформулировать в качестве аксиом <имметрию и транзи<ивносзь то>кдес>ва. Например, если мы имеем в системе аксиом индивидуальные предикаты Ф( ) н 'У(,), то аксиомы тождества выглядят так: =(х, х) =(х, у) — ьш(у, х) (==(х, у)6<— л (у, с)) — ьшз(х, с) = — (х, у) — ~ (Ф (х] — ь Ф (у) ) = (х, у] — ь ('1' (х, с) — ь <у (у, с)] — : (х, у) — ь(Ч<(с, х) -+'Г(с, у)) и соответственно в других случаях.
От строгого доказатсльс<ва утверх<даемой заменясь<ости мы здесь о>казываемся, Ко второй ступени принадлежит, например, система аксиом Пеано для натуральных чисел, так как формулировка аксиомы полной индукции делает пеобходимыч употребление переменного предиката, затем система аксиом теории мне>нес>в в первоначальной формулировке Пернель, вследствие появления переменного предиката в аксиоме выбора. К первой ступени принадлежит, между прочим, гильбертовск.ш система аксиом геометрии, если оставить в стороне аксиомы непрерывности.
Аксиомы геории групп таим<с принадлежат к первой ступени. В качесгме основной проблемы тут естественно возникает вопрос, возможно ли, имея какое-нибудь определеннее предложение данной научной обласп и, установить, является ли оно слеоствием из аксиом илп нет. Мы покажем, что эту проблему можно свести к проблеме чистого исчисления предикатов, т. е, к обоснованному в 1 5 исчислению, содержащему <олька индивидуальные и предикатные переменны. А именно, вопрос о логической зависимое>и предложения оз системы аксиом можно свести к другому вопросу: является ли некоторая соответствующая формула чистого исчисления предика>он тождественной формулой или нет. Однако это имеет место только в случае, если система аксиом принадлежит первой ступени. Мы объясним доказательство этого па конкретном примере.
При исследовании логических опюшений зависимости между различными группами аксиом геометрии особенно важным и интересным является обнаружение того обстоятельства, что частный случай теорем<в Паскаля, который и~рвет существенную роль в обосновании учения о пропорциях без применения аксиомы непрерывности; не может быть выведен только из аксиом связи, расположения и аксиомы о параллельных. Речь идет о том, чтобы показать, что независимое>ъ теоремы Паскаля от упомянут <х аксиом равносильна невыводимости некоторой формулы чисгого исчисления предикатов. Для эгого иам нужно прежде всего выразить в нашем исчисяении подлежащие рассмотрению аксиомы, равно как и упомянутую специальную теорему Ви«сд скелет«па ие давних песик»к (42 У»кн пснпсеенпе предкшмее П юкаля, и притом так, чтобы речь шла только об одном роде вещей.
Для того пабы избежать появления нескольких областей индивиду>мов, мы вс спользуемся не тем, всегда применимым, методом, который был упомянут прежде, а другиль специально приспособленным к нашему примеру. Для злого достаточно только вместо основного отношения между точками и прямыми («точка х лежит на прямой у» или «точки х, у определяют прямую г») ввести о» ношение между тремя точками Сег (х, у, г) («х, у и г лежат на одной прямой»). Точно гак же влгесто основных отношений между точками н плоскостямн возьмем отношение между четырьмя точс<ами ЕЬ (х, у, г, и) (ех, у, г, и лежат в одной плоскости»). К этим двум предикатам мы должны еще присоединять отношение тождества ="-(х, у), а также отношение «между» Ев(х, у, г) («х лежит между у и г»).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
