Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

6„ получается пз 6„ в резуль>ате замены первоначальных элементов, которые представляют собой переменные предикаты с аргументами из ряда х„ х„ х„ ..., переменными высказываниями. Эту замену мы будем осуществлять следующим образом: Р(х,) будем заменять переменным высказыванием Р„Е(х,) — высказыванием еч„се(х„х, х,) — высказыванйем Оь,„и т.

д. Тогда в каждой формуле 6«т будут встречаться зсе переменные высказывания из 6„, а также еще и другие, Всю совокупность переменных высказываниИ, встречающихся в 6„, мы мыслим себе перенумерованными каким- ,нибудь образом, так что имеет смысл говорить о первом, втором и т. д.

переменных высказываниях, Эта нумерация может происходить, например, таким образом: сначала нумеруем высказывания из 6, в какой-либо последовательности, затем нумеруем те новые переменные высказывания, которые появляются в 6„и т. д. Так как никакая из формул 6„не является тождественной формулой исчисления высказываний, то мы можем переменные высказывания, имеющиеся в некотором 6а, заменить значениями «истина>, «ложь> таким образом, что 6„ превратится в ложное высказывание. Л>ы будем гонорить тогда, примыкая к терминологии, использованной прежде в нсчисдсни>ч высказываний, о выполняющей системе дли формулы 6,.

Для каждого 6„ существует, понятно, только конечное число различных выполняющих систем; однако в целом их бесконечно много, так как выполняющие системы, которые относятся к формулам 6„ с различными индексами, считаются, конечно, различными. Затем мы приводим в соответствие каждому из бесконечного мнонеества переменных высказываний однозначным образом одно из двух значений: «истину> или «ложьк Если первое переменное высказывание в бесконечном множестве выполняющих систем замещается значением «нстина», то этой переменной ставим в соответствие значение «истина>, в противном случае — значение вложь». Мы оассматрнваем далее только те выполняющие системы, в которых первое переменное высказывание замещено отнесенным ему таким образом значением.

Если в них второе переменное высказывание встречае>ся бесконечное число раз со значением «истина», то >чы относим к нему это значение, в противном случае†значение «ложь>. Подобным же образом устанавливаем значения для последующих переменных высказываний, рассматривая каждый раз только те выполнягощие системы, у которых предшествующие переменные высказывания имеют уже установленные значения.

Если заменим теперь переменные высказывания 9 каппе исчисление превихптвв Ливре влвоствпа пв Ьппиих тсслвв >ЗЗ приведенными пм в соответствие значениями, то все 6„одновременно превратятся в ложные высказывания. Мы определяем затем некоторыс теоретико-числовые предиквты, которые должны учитываться в качестве подстановок для предикатных переменных, содержащихся в Ы(х„..., х,; у„..., у,).

Если, например, встречается предикатное переменное Р (,,) с тремя ПУСТЫМИ МЕСтаМИ, та В НаШИХ 6п МЫ ИМЕЛИ ПЕРСЬ>ЕИНЫЕ ВЫСКаЗЫВаНИЯ РЬ, Ь, >е. МЫ ОПРЕДЕЛЯЕМ ТЕПЕРЬ соответствующий теоретико-числовой предикат Ф таким образом, чтобы Ф(р, д, г) для любых натуральных чисел всегда имело то значение, которое было приведено в соответствне Ею е, Таким образом, каждому преднкапюму переменному приводится в соотиетствне некоторый индивидуальный теоретико-числовой иредикат с тем же самым числом пустых мест. Если мы примем теперь в (Ех,)...

(Ех„) (у,)... (у,) И (х„..., х>Л у„..., у>) за область индивидуумов натуральные числа и подставим вместо предикатных переменных определенные выше теоретико-числовые предикаты, то легко обнаружить, что формула превращается в ложное высказывание или, другими словами, что (х,) ... (х„)(Еу,) ... (Еу,)Й(хо ..., х,; у„..., у,) становится истинным высказыванием. В самом деле, если мы возьмем, например, л-ю и-группу натуральных чисел, которую мы обозначали выше (л„..., и.), то И (л„., я,.; (л — 1) 1+ 1, ..., лг) после замены предикатных переменных получает оценку истинности, противополо>кную той, которую имеет последняя частичная дизъюикцвя б„при замещении переменных высказываний приведенными им в соответствие оценками истинности, т. е, значение истины.

Так как то же самое имеет место для каж- дой д-группы, то (х,)... (хв) (Еу,)... (Еу>) М(х„..., хт у„..., у>) истинно для указанной области индивидуумов. Таким образом доказано также (В). б 11. Вывод следствий иэ данных восыеоя1 связь с тюплытзеизыми фориухеми До сих пор мы использовали исчисление предикатов только для вывода тождественных формул. Прн бтом посылки наших заключений, основные формулы д) †(), сами были тоже чисто логической природы. Теперь мы продемонстрируем на нескольких примерах общий метод формального доказательства средствами исчисления преднкатов, который до установления наших аксиом мы мотли лишь приблизительно описать.

При этом речь идет о выводе заключений из каких-либо посылок, которые у>не не имеют чисто логической природы. В посылках будут теперь встречаться не только переменные, но и индивидуальные ирвдикиты, а также индивидуальные предметы. В качестве энакоп для индивидуальных преднкатов мы используем либо большие греческие буквы, либо комбинацию больших ли>пинских букв со следующими за ними леаленькими латинскими буквами, например бг, Лез, Ввс, и т. д., или же, для матемапвчсских преднкатов, известные из математики знаки соотношений, вроде <, ), и т. д.

Понятие формулы, введенное в з 4, должно бь>ть при этом соответствующим образом расширенп. Формальное доказательство происходит следующим образом; записываем символически посылки заключений и присоединяем их в качестве основных формул (аксиом) к логическим основным формулам а) — (), вместе с которыми онн образуют исходные формулы для форлшльных операций, которые должны выполняться согласно правилам вывода а), Р), т), З), Яыыд следствие ил донных пыылт <за У>иос исоислтис посдиломоо !хе При содержательном истолковании формул следует иметь в виду, что предметные переменные вообще не относятся больше к какой-то остающейся неопределенной области индивидуумов; напротив, род посылок, как пранило, более точно характеризует, состоит ли эта область из целых чисел, действительных чисел, точек некоторой плоскости илн каких-либо других вещей.

Может случиться такк<е, что приходится иметь доло с несколькими областями иидипидуумав, как зто имеет место во втором из приведенных ни«ке примеров. В этом случае мы нукдаемся в нескольких родах предметных переменных. Тогда предикатиыс переменные следует различать также по роду их аргументов. Аксиомы е) и !) можно при этом выписать столько раз, сколько имеется родов предметов.

Получающегося благодаря этому усложнения исчисления предикатов можно, однако, избежать, так кш< всегда возном<но — мы накажем это при рассмотрении второго из следующих примеров- свести случай нескольких областей индивидуумов к случа>о одной единстненной области, Приведем сначала несколы<о простых примеров.

Для первого примера рассмотрим заключение, в котором в качестве одной из посылок фигурирует единичное суждение. С заключением этого рода мы имеем дело в известном пк<ольном примере: «Все люди смертны; Кай человек, следовательно, Кай смертен». В этом предложении встречаются три индивидуальных обозначения.

Словам «человек>, юмертный» соответствуют два предиката Мв(х) и Яг(х), для которых общим родом предметов может считаться род живых существ. '!'ретьим индивидуальным знаком служит собственное нмя оКай». Посылю>, записанные в виде формул, гласят: (х) (Мо (х) -« З((х)), Мв (К ай), Путем подстановки в формулу: (х) р (х) — Р (у) получаелп (х) (Мв(х) — «Вг(х)) — «(Мз(у) — «З((у)) и далее: (х) (Лз в (х) — «З! (х)) — «(Мв (К ай) — «3! (Кой) ), Мв (Кай) — Я! (Кай) (правило !)), Я! (Кай).

(правило )>)). Но последняя формула есть символическое выражение нашего заключительного предложения <сКай смертен», Следу>ошне два примера заимствуем из области математических выпадов. Сначала займемся таким геометрическим заключением: Посылка: оЧервз две различные точки проходит салюе большее одпа прямол». Утвержден не: оДвв различные прямые имею>и яе более одной общей точки>, Здесь встречаются следующие предикаты.

Прежде всего отпал>ение Л(хс у) ех лежит на у», Тут первое пустое место относится к роду точек, а второе— к роду прямых. Далее, встречается преднкат различия, т. е. отрицание предиката тождестна == (х, у). Пустые моста э~ого предпката мокнут относиться как к точкам, так и к прямым; разумсстся, нужна рассматривать утверждение о тождестве точки с прямой всегда как ложное. Для большей четкости мы будем обозначать аргументы, относящиеся к роду тачек, маленьи<ми буквами, а те, которые относятся к пря. мым, большими латинскими буквами '. Собственные имена для индивидуумов здесь отсут- » Смешение с иеременнымн»ыскезыезнннмп здесь быть не Может. щг Виввд <лгдвмеиа ю двяяих вггилвв Ухшв вгчеглввае лрвдихвтвв ствуют.

Характеристики

Список файлов книги