Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

чений. Поэтому при табличном построении буквы и н л можно зал>енить, например, цифрами О и у, а сложные высказывания, зависящие от и элементарных вы- сказываинйХ„ Х„„„ Х„,арифметическими функциями ог л аргументов х„х„..., х„, значениями каждого из которых могут быгь толысо О и 1 и которые сами должны принимать толька эти же значения О и !.' Но если аксиомы можно трактовать и содержательна, то естественно задать нопрас, почему мы говорим о форл>алле аксиоматичсском построении исчисления.

Дело в том, что только при таком построении мы можем записать аксиомы логики, не делая различий между определяемыми с их помощью оснсвными логическими связями и теми же лсгнческими связями, но употребляемыми в самом определении. Читатель увидит более конкретно, в чем тут дело, на приводимом ниже примере формализации содержательного определения лсгических связей е — «» и е». Здесь мы заметим толы<о, что и при формально-аксиаматическом пастрое>. Заметим, что и доказательствах иепреюиеерсчцвегти и незееп«аме юи аьсиал>, которые пропепыпаютсп с помощью какойпибупь их с»Сер>петельцоа иитерпретеции, петерами испохь- нии исчисления высказываний нельзя сбсйтись полнсстью одним тслько аыписыаангеи формул, выбранных в качества аксиом.

Правила еывада из этих фсрмул н вых — даказывасмых — ф>рмул нельзя сформулировать т>лько иа «языке» формул. Их приходится рассказывать иа >быки>,неоном разгсворном языке, как э1а сделано, например, в книге для правила подстаноехп и пролила заключению Никак»го порочного круга, состоящего в том, что для определения логических связей неявно используются те же лсгические связи, при этом не получается, так как а правилах этих идет речь не о самих логических связях илн высказываниях, а только о саответству>ощих им знаках, которые к тому же трактуются как материальные объекты, написанные, например, мелом на доске или чернилами на бумаге. Основной прсблсмой для аксиаматического построения являетси, как мы уже отмстили, задача отождествить запас доказуемых фсриул с аапюом всегда.истинных.

Прн згам, если удается достичь того, чтоесевсегдаистинные формулы оказываютсп доказуемыми, то система аксиом и правил вывода называется полной. Само по себе этим не предпалагастси, однако,что доказуемой не мгжет оказаться и какая-нибудь ие всегда-истинная формула, т. е., что аксиоматическсе построение не шире таблнчнсго. Наиболее полным было бы, конечно, таксе исчисление, а котором доказуема вообще любая формула, Но такая «логика» была бы никому ненужной, так как с ее помощью можно было бы <и босионать» все, что угодно: л>обое высказывание и притом вместе с его отрицанием. Вторым требаваииел>, которое до!окно быть предъявлено к аксноматическому па. стрсснюо, являе>ся поэтому требсаание, чтобы суше. ствсвали недоказуема>е в этои пьстрсении формулы, Это зуютсп >ебпиииь>е пир»делении зиаьсц, а, >>...

построенные именно ьак арифметические функции ат натуральных чисел, эпачеииямп которых, п свою о >средь, служат иатурахьиые чи*>а. Приложение 11 К«иигнллрдй «Я 10 — гз лерггй гдл«и 2ав треб ванне квалифицируется обычно как непратиеаречитсть исчисления. Ены пе будем здесь останавливаться сколько-нибудь падр« бна нв комплексе вппрссси, связанных с нслралшеаречи«сетью н лаллатаю сишсмы акспсм н правил вывода исчисления высказывааий, с которыми читатель ознакомится из текста книги.

Обрати»1 только ега внимание на понятие «строгой полноты» исчисления и заметим, что, даже пслслкив в основу те же два правила подстановки и заключения (или «зачеркивания»1, которые использованы авторами, можно но-рззнсму выбрать лалпую в определенном выше смысле систему акснолп исчисления высказываний '. .ак как задача нэша состоит при этОм в аксиоматическом оп брожении табличнсго иостроепия, то, быть мсжет, наиболее естественным было бы поп льз1нание систем аксиом в духе предлагаемых а одной из работ А.

тарского. так, таблицу, опгедслякццую сложнсе высказывание Х вЂ »У, можно охарактеризовать такой систем й пгегьчсжений: 1. «Если У истинне,та высказывание Х . У истинно», 2. «Если Хлгжно, та высказывание Х .У истинне». 3. «Если Х истинно и У лшкнс, та высказывэиие Х вЂ” »У лпжнпэ. Если теперь ллы заменим здесь высказывания вида «А кстиши э или еА лсжнсэ на «Аэ и «Аъ соответственно; связки «сели ... тсэ и «к» нૠ— э и «д» соответственно, то пслучим всегда-истинные, как легко проверить, арлпулыг ф 1'. У (Х вЂ” »У), 2'. Х вЂ” л(Х )'), 3'. Х бпла — »Х У, Чтпбы с помощью этих формул определить входящие в иих знаки « — » н е-э, нужно еще, конечно, дсбавнть ' 1 ез правила а«лете«алки айхал«»со «те«их системах, которые, как, иаприиер, ух«ахну»Ос ыл сгр.

Ь2 исчхслеиие Гснаеиа, состоит хз одних талька пРавил вил«из. формулы, спределяюшие шрицание, и постараться выразить третью формулу, не прибегая к анапу й. Эпин требованиям мсжно удсглетварить, например, заметив, что фсрмулу3' ллп жна записать в виде эквивалентнсй ей 3". Х .(У вЂ”.Х У), а отрицание ахарактеризс.пать, о1<азав: 4, «Если Х истинно, та отрицание Х лсжнг», и так как отрицание Х может быть ложно талыга при Х истинном, то и иаобсрат: 5, «Если отрицашсе Х лежне, та Х кстиинс», чему соответствуют всегда-истинные фс(мулы: 4'.Х Х 5'.

Х вЂ” «Х. Но и зто еше лишь предварительная наметка. Словесная формулировка предложений 1.— 5,„правда, такова, что, след«я ей, можно полнгстью вссстановить таблнпы, определяющие связку и отрицание для даух значений переменных высказываний: «истинн:ю и «ложнп» Но как исключит»а напаимеР, слУчай бессмысленных высказываний? И гередают ли наши формулы 1'.-- 5'. (в соединении с правилами вывода) при попытке их табличной интерпретации содержательный смысл соответствующих словесных формулироаоку На эти напросы мы еше нс умеем ответить. Написав подобную систему аксиом, нулпсно поэтому проверить затем, является ли она лаллай, т. е. можно ли на самом деле вывести из нес (н ванном случае с помощью правил подстановки и «зачеркивания») осе всегда-истинные формулы.

заметим, чта неполноту систеп ы аксиом пэоше всего доказать, отыскав всегда- истинную, но независимую от аксиом этой спютсмы, г. е. невыводимую в ней формулу. В данном случае таковой является, например, формула (Х У) (',У; ) (Х вЂ”. Я;). Кроме того, сама по себе не псклпочена возмажнас1ь, что мы люли написать какие-нибудь лишние Прииаиггиие т аксиомы,— которые могут быть выведены из остальных по принятым нами правилам. Желательно поэтому прсоерить и нгзаеиспмгсть аксиом.

Мы не имеем возможнсстн сстанавлкватьси на этом подрсбнее, да зто и не входит и наши задачи. Мы будем удовлетворены, если кзм удалссь несколько ззинтересезазь читателя ке только аринципнальнсй стсронсй решения сснсвеых для всякгго аксиоматическсго построения проблем лелратиаоречиагстп, полноты и лезависпмссти аксиом, но н техник!О ш,дчас дизельно трудоемких доказательств этого рода.

комментарий к бб ! и 3 атарей главы Исторически исчисление классов возникло раньше бь исчисления предлсжений (илн высказываний). 0 ыло развито уже в работах Буля н Авгусга де-Моргана сто лет тому назад. В конце нр~ шаг го века счснь падр!бисе и сбстсятельнге излгжегте эгсго нсчксленп был 1дано Эрнстом Шредером в его иЛекц~ ях по алгебре лсгиш.е, !ри тема котс рых се держат соответственно ХИ+717, Х11!+400 и Ч!В+б49 страниц. В дальнейшем ныяснилссь, однако, что, с однсй стороны, исчисление классгп слил!ком слежка.

В нем мы имеем дело сразу с двумя видами операций: адни выполняются над классами, другие над предложениялш, ш утверждающими или отрицающими некоторые отнения между классами, При дальнейшем анализе ооказалссь поэтолеу удобным рзссмотреть сначала операции с предложениями, не вдаваясь з исследование того, как именно образ(наны элеыентзрные предложения (сгставными частями которых уже не являются больше какие-нибудь друтге предлгжен~!г), Исчислению класс!в начали предпгсылать поэтому исчисление предлсжений как целых. С друггй стороны, нсчисдение классон, выросшее непосредственно на материале традиционней школьнсй лсгикн, все равно оказалась и недостаточным для целей об~ сне вания математш и логическсй формализации упстребз!яеллых в ней пра' '.

! Хемдеииюрий и О ! и З етерей глады Зт! вил вывода. Его замет(ли поэтому в дальнейшем более сильными исчислениями, о которых идет речь в главах третьей и четвертой, и по отношению к которым оно мсокет рассматриваться, в известнсй мере, как частный случай. В курсе логики Гильберта и Аккермапа исчисление класс!в (или сднсместьых предикащз) поэтому ссхранилдсь лишь как рудимекг, имеющий скорее истсрическое значение и представляющий собою попытку построить исчисление, адэкватное логике Аристотеля '. Но именно поэтому нторая глава представляет особый интерес для преподавателей логики. Между тем ей посвящено в оригинале только 10 страниц, исчерпывающих, по существу, значительную часть содержания сбъемнстгго труда 1))редера. Неудипнтельнг, что изл< женке лгестамн оказал~ сь сдишксл! кратким и не вполне дсступьым для не владеющего другими источниками читателя.

Последнее сбъясияется (тчасти тем сбстоятельством, что авторам хотелась, ш видимому, сделать третью главу незавнсимсй ст втор(,й; излагать же дважды один и тот же материал казалссь нецелесо. образным. Учитывая интересы читателя, не собирающегося специально изучать математическую логику, но желаю- ' Впрочем, уже з предисловии ко второму изданию легары отмечают, чта само иа себе было бы желательно перестроить изхажеиие второй гаазы. Очевидно, ири итак имеегси е виду иоязиеиие ряда работ, иосехшеиных тек иееыеиемым булее~хии аыебгаи, имеющим иеиосредетаеихае отиаюеиие к содержанию етой главы. Заметим, чта и эте честь еагики и иеехедихе гады иигеисизиа резихаеетея и иее тееиее сеязыееегея е ираблемемх современной алгебры (особенна теории структур) и таиаиагии. Ие логичЕСких ирименеиий отметим, например, что введение з исчисиеиие кхеееае, кроме абычиых аиереиий игре еееиии, объединении и деиаииеиия, аиереиин еииыхинид лало иезмахиюггь достроить тапехагичееКую иг1терирегеих~е ие только дхя классической хагххи Аристотеля, ио и лии логического исчислении, ие иальзуююегиси зехеиам искиючеииага третьего (логики Брауэр» — Гейтиига), е таКже дхи систем тек хезыееемей «строгай имидикеииие и логики мадедьиаетей (см, рабаты Г.

Бирхгоффа, Стена, Таргхеге, Маи Кииеи и др.). Прялож«яоо ! ! Ко«лент«рай «Я ! я 2 второй ол««н 273 щего познакомиться с ее элементамн и выяснить место в ней традиционной логики, мы даем здесь несколько более пспулярнсе изложение материала первых двух параграфсв втотсй главы, не отказываясь иногда ст швтореннй.

Нам прейставляесся, что таксе изложение должно помочь читателю разобраться в ссновнгм Содержании второй главы, нзлс же ином в третьем ее параграфе. Места, выделенные петитом, сад«рэкет детали, которые могут быть спущены при первом чтении. Аксноматическае построение погаси высказываний оказалось эквивалентныэс содержательному (табличном) ) построению ее, в котором под буквамн Х, У,Х,... понималнсь именно предлс>кенни (т.

Характеристики

Список файлов книги