Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Онл читается: «пересечение классов х и у пустое. Ясно, что и суждение типа А можно вь>раз»ть с ппмащью знака «0» (а не «Ь). Она примет при этом вид' х — у =- 0 означающий, что пересечение х с дополнением к у пуста, т. е. что всякий элемент класса х есть в то же вреьш элемент и класса у. Мы привели здесь эти дополнительные выражения для суждений типов А и Е потому, что опи часто встречаются в литературе. Заметим, что суждения обоих этих типов оказались выразимыми в виде равенства нулю (пустому классу). Выражение их в этом виде обычно предпочитается математиками, привыкшими оперировать с уравнениями.
Вообще, элементарные предложения рассматриваемого нами вида удобно выражать с помощью знаков « = » нли «< » и спедиальных знаков е », « + », « — » двя операций с классами потому, что при этом нельзя смешать операции над классами (или предикатами), порождающие новые классы (или предикаты), с операциями над предложениями, порождающими новые предложенич. С другой стороны, обозначения авторов (состоящие только в присоединении к знакам исчисления высказываний пршчых скобок ~ й которые одноаременно и (!) указывают на то, что помещенные между ними буквы обознача>ат не высказывания, а нрединаты, знаки же действий — операцил нзд предикатами, и (2) превращают образованный таким образом предикат в соответствующее ему предложение, утвер>кдаюр,ее, что этот предикат выполняется для всех лредкепюв) лр«»«ж«ни«11 имещт то преимущество, что подчеркивают формальное тождество оперзций над предикатамн с операциями нзд высказываниями. Преимуществом этим особенно удобно пользоваться при выяснении важного обстоятельства, к которому мы постепенно перейдем.
Хотя запас истинных предложений, которые могут быть высказаны при помопи выражений вида )<дй где <д обозн«чает предикат, богаче, чем может показаться на первый взгляд, однако с его помощью нельзя все же выразить даже простые частные предлюкения типов Е «Некоторые Х суть У» и О: «Некоторые Х суть не-У». Но всякое частное предложение можно рассматривать как отрицание некоторого общего, Так, утверждая, что «некоторые Х суть У», мы отрицаем, что «никакое Х не есть У»; утверждая, что «некоторые Х суть не.у», мы отрицаем, что «все Х суть У». Таким образ>м, суждение типа < есть отрицание сух<денна типа Е, а суждение типа Π— отрицание суждения типа А.
Так как су>кдения типов А и Е выра>каются равенствами: А> х ° — у=О, Е: х у =О. то суждения типов 1 и О могут быть выражены неравенствами х ° у ~О, О: х ° — у+О, Знак «Ф» употребляется здесь как отрицание равенства. В символике авторов соответствующие суждения должны быть записаны в виде: ~х> У), О: ~Х",Уй причем черточки над буквами обозначают операции с предикатами или соответствую:цими нм классамн <образование дополнения), а черта нзд всем выраже- К«»я«ям«гид к Я > и 2 «м»р«Д г«а«к 2< Д нием — операпию отрицания, примененную к предло>кению о «гех вредя«щах, выраженн<му с помсщью вертикальных черточек.
Как это и выяснено в б 2 второй ~лавы, нам приходится при атом пользоваться уже комбинированным исчислением, состо>и<им в применении операций исчисления высказываний к элементарным предложениям, прнписывающим предикаты сеем предметам рассматриваемой области. При этом обнаруживаются новые обстоятельства, в которых, собственно, и состоит основной смысл введения нового исчисления предикатов, или классов. Именно, оказывается, что, кроме тех из выра>кения <Д(Х, У, 7, ...) исчисленил высказываний, которые истинны при подстановке в них произвольных предло>кепий на место переменных Х, )', Л, ..., и соот.
ветствующих им выражений ~ з<Х,У, Е, ...)), истинных при подстановке на место переменных Х, У, Л, ... произвольных предикатов, всегда-истинными будут и некоторые другие формулы. Применение исчисления высказываний к предложениям специалщ<ого вида ) <д ), порожденным исчислением предикатов, расширяет запас всегда-истинных формул, или «законов» логики. Так, из аксиомы а) Х ух х, кроме тривиального следствия из нее же: )Х) у)Х)- )Х) и всегда-истинного, как мы уже выяснилн, для произвольных значений переменного предиката Х выражения )Х >г' Х вЂ” »Х), можно получить всегда-истинную формулу )х ух) ',х), где знак «'/» обозначает апераци<о с предикатами, а знак « — »» <завывает предложения.
Действительно, она утверждает, что если всякий предмет обладает Конл«хмарой х О Г и 2 «шарой елв«ы 2ът йге Прил«ж«нве О свойством Х»,г Х (принадлежит сумме классов х и х), тп всякий предмет обладает и свойством Х (принадлежит классу х). Аналогично, из аксиомы Ь) Х вЂ” >Х»„»У, кроме всегда-истинных формул ) х; — (х(ъу у~ ,х — »х(губ можно получить еще всегда-истинную форм)лу ~х(- )х~гуй утверждающую, что если объем предиката Х охваты- вает все предметы, то объем предиката Х ~г у, доба- вляющего к предметам, обладающим свойством Х, предметы, обладающие свойствои )Г, тезке охватывает все предметы. Пп аналогии с этими двумя примерами мы могли бы постРоить из аксиомы« с) Х(гу —.
У'»гх, кроме само собой разумеющихся)Х!»,'!У ~ — »~у)»у Х н ~ Х»у У вЂ” ау»у Х Ь формулы: , х у ь ~ ', у гу х), ~х~(г(уи- (у;ух~, )х(гу( (у ~ с (х( из которых первые две действительна всегда-истинны, третья же нет. Действительно, если по крайней мере один из днух классов х и у содержит все предметы, то сумма нх заведомо охватывает все предметы. Однако если сумма двух классов содержит все предметы, то из этого отнюдь не следует, что по крайней мере один ич них содерэкит все предметы.
Верно, напри- мер, что все предметы (об окраске которых можно со смыслом говорить) «либо белые, либо не белыез. Однако из этого не следует, что из двух предложений: еВсе предметы белые» и «Все предметы не белые» по крайней мере одно верно. Оба ложны. По тем эке причинам, которые приведены авторами в тексте, мы не будем здесь останавливаться подробнее на характеристике запаса всегда-истинных формул коибинированного исчисления.
Отметим лишь, что для понимания материала, изложенного в З 3, особенно существенны приводимые авторами формулы; ((х у ~б»,'у г)) >х- г) (4Если все Х суть У и все У суть Я, то все Х суть Я»), ~хбу ~х,б у~ («Для того, чтобы пересечение классов х и у содержало все предметы рассматриваемой пбласти, необходимо и достаточно, чтобы каждый из классов х н у содержал все предметы областие.) Для нсчнслек»»я аысказываннй (н форматьно Совпадаю.
мего с ннм «чнстого», т. е. не комбю»нрованного с нсчнслпнем высказываний, нсчнслепнп преднкатов, нлн классов), все бесконечное множества всегда-нстннпых предложений ок»залось еозмо кным выеестн оо определением« пр«аллам нз конечного (н деже очен~ небольшого) чнсла танях предло.
жендй, принятых за акснамы И здесь достато шо прас»еда. нить к исчислению высказываннй, объе.дневному с «частым» не»пеленаем предвьатов, несколько нов~ х всегда-нстнвных формул, чтобы получить возка»класть нывсстн с нх помошью все остальные. Не прнводн здесь доказательства этого предло»кення, продекоаетрнруем на примере, ьак прн помошн формул: !Х( )Х '»I У Н (О )Х'~Ц Ьо»УХЬ (2) 1Хб»Ъ'( ~Х(ю М, (3) и расшнренных па Случай формул нового вида правил позстановкн н замены вырез«ення И эквнвааентнь|а ему вырая<еннем 6 мо»кпо оывестн формулу бх-у~А(г-г() )х-гь (4) Прежде всего, по правилам исчисления высказываннй (тра»знтнв»:ость знака «») нз (Ц н ьб следует ~ Х ! , 'У '»г' Х ) (б) Прпложснпс П Подставив теперь в (1) Х У пместо Х, п г вместо У, а з (б) У г зкссто Х, н Х вместо У, мы полую!к )х у) ((х у) чг(, (т) ) 1' г( 1хч (у г)( ° (8) По правилам нсчнсленпя вьскаэьжапнй нз форл ул (т) н (8) получаем затем фсрмулуг () х у( м ) у г!) - (((х - у) ч г ( ы ) х ч (1 - гй) рй Полстаговка п (3) дает, далее: ((х- у) ч г(м(х ч (у г))- ! (х - у) ч г м х ч (у - г)(.
(19) На по прэвнчан яс нслсння преднкаточ, созпадаюанм фор- мальнп с правнлэмн пс ~полег на пмснээываг нй; (Х-У) ЧХМХ Ч(У-г)-ХЧ У~ХМХЧ Ул г, х ч у ч г а х ч у ч г- х ч г ч (у а р), х ч г ч (у а у) - х ч г, х',г г (х г), откудт: ! (х - у) ч г а х ч ( - г) ) - ! х - г (, (и) Из формул !9), ПО) я (11) нужная нэч формула (4) следует нснедлснно по яеолнократно улге испол зованго1у нэтн правилу зляены выра кения Н эквивалентным ему еь ражеаием Ск Заметая, что приве енг*ая нами выше снстсма аксиом Ал! — 5 булевской алгебры, будучн лобввлсна к нсчнслепню еысказызаннй, представляет у ке собой полную спстену аксиом для колгбнннгоэанпаго нсчнсленнп.
Пшгажсм лля примера, как оывестн нз нее правило, соотзетстзуюп ее форьгуле )х у) (! у г, (х -г)), н назызаюнееся обычно лрилбппон сгьыэгнээа. Правило это спстонт в следуючсмг ясли докээонк эбе форнулм: )я ю) (1) (т) б) ((й ша дэкээяно и формула (6 8). кэмнеггшарггй к бб 1 л 2 клэрэд гэээы зьб Формулы (Ц и (Н), бчду н заппсаны на языке исчисления к шссоа, нрнчуг внл а — ь=о,", (!") Ь вЂ” с —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
