Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 48
Текст из файла (страница 48)
о, (1!ч! и ш. и ы!лу «ксяочы Адб, эЬ э, Ь 1=Ь. (Нчь! Подстаенп, пользуясь свойсгаамн равснспж, и первую нз этнл формул Ь с эместо Ь (на аспованнн пгорой), мы получнч э (Ь с)=-э, плн, в силу аксиомы Азз, (а Ь).с=э. Но (см. (ьь( э-Ь о. Последнпл полученная нами формула (греобрэзуетсй поэтому в а с-.п, нлн в снлу аксиомы Алб, в а. — с О. На языке ясчпслення прелккатоп ато и есть формула (И б), которую нам нужно оыло доказать. В заключение остановимся еще па двух моментах. Во-первых, отметим подчеркнутую авторами разинцу между двумя интерпретациями исчисления высказываний: одной, которая получается, когда мы толкуем переменные не как предложения, а как предикатыи, соответственно,знаки «.э, «бг», эыэ, э — ьэ, э э, как порождающие из элементарных предикатов сложные предикаты (а не из элементарных предложений сложные предложения), и другой, которая состоит в замене предикатон классами и операций с предика!оми — операциями с классамн.
Первая интерпретация порождает предло!кения специального вида, применение к которым правил исчисления высказынаний, благодаря особенностям этих предложений, являетсл источником новых закономерностей, присущих только объединению обеих интерпретаций одного и того же логического формализма, я пе каждой из них в отдельности. Так, в частности, благодаря сложности элементарных высказываний вида )8((, где 8( н свою очередь обозначает сложный предикат вида 9(,бгч(, бг... бгй)(! выражение, образованное нз (сд( по правилам исчисления выскаэыва. э) Полюуясь спстемой аксиом Ал( — 5, нетрудно показать, по з — э=у — у, т. е, что з — г есть некоторый постоянный (индивидуальный) класс, который ны обозпачнм о.
!9 оснэен тызс элес: э по ьыг Ирнло»ясное !! ний, может быть заменено выражением, элементарными ссставньии частями которого будут уже выражения )9(,),(9(,'„...,!9(«й Мы получаем, так сказатьн возможность, пользуясь сложностью структуры еатома», расчленить его на составные части, из которых образовать новые «атомыэ. При дальнейшей замене предикатов классами ничего лодобн<го уже не получается.
Тут пропсходиг только изменение терминологии: — совершенно точный перевод с одного языка на другой. Суть дела в том, что и в исчислении предикатов два предикатз, выполняющиеся для одних и тех же предметов, т. е. имеющие один и тот же объем, могут по существу не различаться: все, что справедливо для одного из них, справедливо и для другого. Между тем потребность различать понятия не только по обьему, но и по амыслу, по способу их образования, испытывается повсюду, в том числе и в математике.
Так, выражение «Х есть равнобедренный треугольник» становится истинным, если на место Х мы подставим понятие: <иреугальник, имеющий двз равных угла». Оно останется истинным, конечно, и если вместо этого понятия мы подставим совпадающее с последним по объему понятие еравнобедренный треугольника'. Тем не менее, вряд ли кто-нибудь согласится считать оба предложения: (!) «Треугольник, имеющий два равных угла, есть равнобедренный треугольнике, (2) аРавнобедренный треугольник есть равнобедренный треугольника, вполне заменяющими друг друга. С «легкой рукиэ превратившегося в агрессивного реакционера Рассела в зарубежной литературе распространились утверждения, что зсе предложения математики носят аналитический характер и сана этз наука является лишь грандиозным собранием тавтологий, основаных на стремлении ограничиться в применении к математике одной только объемной логики.
В настоящее время существует уже довольно много попыток в той нли иной мере дополнить аобьемяую» < Т. е. «ннеюший две равные стороны». Комментарий л Я ! л 2 второй гло»ы логику <!мы!лазо<7» (так называемую езлсглеизионпльную» — «интел!накальной»). В этом отношении некоторый интерес представляют, правда, спорные еще и вовсяком случае нуждающиеся в критическом освещении с точки з ения диалектическ<го материализма попытки по.р строения логики модальяосл<ей, наряду с истин ой и ложью различающей категории енеобходимости», евозможностиэ и др.
Заметим, далее, что для самого комбинированного исчисления высказываний и лредикатов, или булевско и алгебры, ташке возможны различные интерпретации. О ноя иэ таких является, например, разработанная советским физиком В. И. Ш е с т а к о в ы м и по учившая широкое применение в работах Института автоматики н телемеханики Академии Наук СССР теория электрических релейно-контактных схем. Гораздо менее значнтелы<ой, но есе же в некоторой мере л< ' обопытной является, например, следу<отан частнчнан интерретапия на<пего исчисления.
Будем понимать под бу Х, У, 2, ... натуразьные числа 1, 2, 3, ...; под выражени» < «Хау» н «ХУ У», соответственно, «<бшпа наибольший делитель чисел Х и У» и «обшее наименьшее нратн <гное чисел Х и Уи под «! Х - У ~» — оысказывание «Х делит Уы под ! Х У !» — высиаэывю<ие «Х дсллт У и У делит Х». В таком глу <ае фервузы <Хйу ХЬ !ха у 1'(, ~Х ХУУ(, )1 ХУ< ~ < Ш <то оо В. И., Алгебра двухполюсиыл слеи, построеннь<х исключительно нз двухполюснияов (алгебра А г л -слеп,, ж. Т, Ф., т.
Х<, выл. Ь, 1941. Ше<тозое В. и., Об одиои символическом исчислении, применииои н теории репейных электрических схем, Уч. запйски мГУ, выл. <.хх П1, кн. 5-я (иатеиатина), 1944, стр. 45 — 48. Ш ппо оо В. И., Представление характеристических функций предлон<епий посредством выражениИ, реализуемы кон ктиыии схемаин, Известия Анэденни наук ССС, серия тв 4. иэтсиатическая, т. 19, № б, 194б, стр. 592-55 . 19» гвг Нрилоэ»тише! Г истолкуются, соотвстсгвеоно, тлк; «Оошиа наибольший лели«ель чисел Х и У дел»п ~осло Х». «Об ' .. > я и 1'делит шел 1'».
«Оби»ий овибольшнй делитель чисе 1 Х сдо Х делит оошес наименьшее крат «Число 1' ел с рв ное висл Х ну>. и все втн в л > ит оошее ванмеиь»осе кратное: Х ° скэзыввния будут леве>вительно иссг «- чисел н У , ными (ири любых воэмшквых э, . * Х и 1'). »ЫХ ЗДЕСЬ ЗНО »ЕЫ~О; *пс) Емсвиих Высквзыовоие 1х 5') ((х 2>- (х 5'ау.н при этом нслюя со счысэоч ооиггшпь исс о ис»ш .Ие ь двумя вертнко п,оыаш чертом 1, ле воюет «Лслить» другое. Н, вполне естеетвеоиыи Лл О, 1>эссттоио »с»'ы ля ныитй шшерпретвиин, оороэом; 1х У) гх- г',— 5х Увг)'„ Ь~Ы НОЛУЧИМ ОИЯИ, вссглоо»сювиое высклвыввнне: «Н »ш Х Е: «С»Ш велят ОО»вин иоиовльшии и .
ныин слов>ми. всякий Обл)ий ледител »в О Л днвяогично, вой. , д 'ствсниое Орине.»еоооиу выскозывэ>не 5у х', 17 х, ~ууг. хй будет выра,коть в нашей иотернрс»ь»цин, что об>с з Мы привели эти различные истолкования ( число р к было бы увеличить) одних и т фоб 'ражений исчи"'ения н["казываний что ы подчеркнуть еще раз, что зз> из реальной мате а произвольными соглашениями, но отвлечены щения которой от а " ри льной действительности, соотноэтом о сал>йх об р р жают. Поскольку речь идет прн определенных словн щих соотношениях, применимых, у ях, к объектам самой разнопбрачх, н но природы, нет ничего удивительного в том, в частных случаях, в н г том, что , в применении к более специаль- ношениям, ыы монсен отыскать ным предметам нлн отно н олее конкретные соотношения, обладающие, тем ° 'л но тем же законаи.
К«ля«ломово к З >О ~ир«тьст» г.»а«ы Еше Эйлер любил пояснять так называемый енринцнц силлогизма»: «Если все Х суть У и зсе )' суть й, л>о исе Х суть Е», т. е, нашу формулу (4), замечая, по еЕсли депки у меня в кошельке, а кон1елск в кармане, то деньги в кармане». Лналогичная топологическая (нространсчиенная> щперпретзция может быть осуществлена, конечно, н на плоскости, например, с помощью кр)тов, нак зто и делается обычно в учебниках логики. Нег ничего удивительного поэтому и в том, что логические формулы донускают даже довольно специальные технические истолковнния. Связь логики с практикой неоспорима. Недаром Ленин говорил, что «практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиоме.
Конечно, при этом не следует забывать и другого марксистско-ленинского положения, что систина всегда конкретна» и 'что поэтому в разных условиях могут иметь силу и разные законы. Комиентврий к б 10 третьей главы Результат Лбвенгейлта особенно интересен потому, что он является первым из целой серии полученных в основном лишь в 30-х годах текущего столетия результатов, вьщсняющих ограниченность возл>ожнастей для логических формализмов.
Именно, из него следует немедленно, что средствами )экого исчислении предикатов нельзя определить несчетное бесконечное множество (например, имеющее мощность континуума, т. е. равнаиогцное множеству точек на отрезке ат 0 да 1). Действительно, если Г>ы некоторая формула '1' нсчисленил предикатов могла служить определением бесконечного несчетного лщожестна, то она не выполнялась бы (ни при каких индивидуальных значениях для входящих в нее нредикатных переменных] ни в какой счетной области индивидуумов. Но в таком слу- принхсгн ы чае Ф, наоборот, была бы всегда-истинной в л исчисления преднкато . В слепня, присосдинени в. силу полноты этого исчнпоэтому к противоречию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
