Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Пусть эта прямая имеет точку (х', у') на отрезке между точками (хт, у!) и (хт, ут), т. е. их!+ оут+ ш н их!+ оуэ+ш имеют разные знаки. Тогда прямая (и, о, ш) имеет точку либо на отрезке (хь у,), (хз, уз), либо на отрезке (хз,уэ), (хз,уз), т. е. ихз+оуз+ш имеет разные знаки либо с их!+пут+ш, либо с их, -ч- оуз+ ш». Справедливость этою утверждения очевидна, так как по.
скольку их!+ оу,+ ш и их!+ оут+ ш имеют разные знаки, то у одного и! ним долм<ен быть знак, против,тполомгный знаку их«+ оуз+ ш. пгимичания [38~[ 445 пгимичания [39 — 44] [ю] Чтобы закончить построение интерпретации, нам необходимо еще истолковать понятие <конгруентностн». Это нстолкованне Гнльберт вводит следующим образом: Под «конгруентиостью» двух отрезков (уг. лов) мы будем понимать возможность получить одни отрезок (угол) нз другого с помощью движения. Прн этом под движением мы будем понимать любое преобразование плоскости в себя, получаемое в результате последовательного выполнения преобразований (трех типов), заданных в тексте непосредственно нх формуламн [под (ж, у) следует понимать произвольную точку плоскости, а под (л', у')— отвечающую ей преобразованную точку]. Таким образом, в интерпретации к о н г р у е н т н о с т ь определяется через движение, а движение определяется чисто аналитически — заданием готовых формул — соответственно аналитическому характеру интерпретации.
Несколько элементарных выкладок, по внешнему виду вполне тождественных с соответствующими выкладками в обыкновенной аналитической геометрии, показали бы нам следующие свойства движения: 1. В силу линейности преобразований линейная зависимость между (ж, у) влечет линейную зависимость нежит (х', у'): прямая преобразуется в прямую.
2. По той же причине монотонное изменение х в последовательности точек на прямой влечет за собой монотонное изменение х' в последовательности точек на пречб(азованной прямой; порядок точек на прямой сохраняется. 3. Последовательное выполнение двух движений дает снова движение. Отсюда следует, что в интерпретации выполняется н акен ома П!,. 4.
Существует движение, меняющее местамн стороны данного угла, н движение, меняющее местами концы данного отрезка. Это позволяет нам совмещать путбм движения конгруентные углы так, чтобы наперед заданная сторона одного совпадала с наперед заданной стороной другого; аналогично н для отрезков.
5. Существует одно и только одйо дан«кение, которое приводит одни данный луч ! в совпадение с другим данным лучом !' так, чтобы данная полуплоскость относительно прямой, несущей г, перешла в данную полуплоскость относительно прямой, несущей !'. Отсюда сейчас же вытекает справедливость тех предложений, в которые превратятся аксиомы И14, 111ь 6 Если в пункте 5 требовать только совпадения ! с !', тодвнженне можноосуществнть дну ма с посо бани, однако вобонх случаях точки прямой, несущей (, преобразуются одинаково.
Отсюда немедленно вытекает справедливость аксиом И1„- н И!з в том истолковании, какое онн получат в интерпретации. [ы] Ссылка на предыдущее замечание не является вполне корректной, так как там речь шла о декартовой геометрии; применяется же отмеченное свойство к новым точкам, гипотетически добавленным к тачкам декартовой прямой. Лля корректности доказательства нужно показать, что отмеченное свойство действительно должно инеть место н в расширенной совокупности точек. Это нетрудно сделать, если >гочннть формулировку аксиомы полноты, что осуществлено в примечании [ы].
Мы не останавливаемся на этом более подробно, так как во второй половине примечания [з'] самостоятельно показано, что аксиома полноты выполняется на декартовой прямой, равно как н обратно, наличие аксиомы полноты преврап!ает прямую в декартову прямую. [«э] Речь идат о так называемой прое кт наной инте рп рета ц ни неевклидовой геометрии Лобачевского.
Сущность еб состоит в истолковании геометрических образов и соотношений в пространстве Лобачевского как определенных образов и соотношений во внутренности эллнпсонда в обыкновенном пространстве (лучше всего, взятом с проектнвной точки зрения); как частный случай эллипсонда можно взять н шар. Изложение вопроса можно найти у Ф. Клейна в его книге «Неевклидова гео. метрня» (ГТТИ, М.-Л., 1936). [«'] Ссылка на теорему 36 здесь неуместна, но непосредственно легко усмотреть, что, например, ЕР==- Е Р,.
В самом деле, по теоРеме 12, тРеУгольникн АОЕ н АЬЕт конгРУентны! в снл> теоремы 15, получаем, далее, «7 ЕАР= — «Ь ЕтАР,, откуда, снова по теореме 12, следует конгруентность треугольников АЕР н АЕ,Рт, а следовательно, н отрезков ЕР н Е,Ро [«х] Другнмн словамн, область Я(!) представляет собой некоторое пол е: в самом деле, для элементов области, как для алгебраических функций от г, определены операции сложения, вычитания, умножения н деления с нх обычнынн свойствами, ПРНЧЯМ Результат операции всегДа представляет собою опять элемент этой области.
[ы] С эллиптической геометрией можно познакомиться по книге Богомолова «Введение в неевклидову геометрию Римана>, ОНТИ, 1934. [ы) На исследуемой плоскости предполагаются выполненными не только аксиомы соединения 1! э, порядка И н конгруентностн П1, но н а к сном а па ра лл ел ьи о ст н ПЛ Поэтому все теоремы, на которые здесь сделаны ссылки, доказываются совершенно так же, как н в обыкновенной планнметрнн (в частности, сумма углов всякого треугольника равна двум прямым).
Чтобы иметь правильную перспективу при чтении этой главы, нужно помнить, что по сравнению с обыкновенной планнметрней пгимкчхнии [44 — 45~[ 447 пгимх !диня ''45 -48~ нам недостает лишь аксиом непрерывности, прежде всего а к с иои ы А рх им еда. 1т это сказывается в том, что мы лише ь он южности ввести понятие об отношении отрезков как о числе, так как один нз двух взятых отрезков мотает оказаться как бы бесконечно белья«им сравнительно с другим. При отсутствии тке понятия об отношении отрезков, мы и е м ож е н ф овать и понятия о подобии фигур в том виде, как оно формулируется в обыкновенной планнметрии.
Между прочим, то обстоятельство, что относительно гипотенузы с, катесте тве ж е та а и прилежащегоугла «(впрямоугольном треугольни ) у р да тся только, что а есть функция с и а; а = зг, но ие говорится, что а: с есть функция з,объясняется именно этим отсутствиемм теории подобия и понятия об отношении отрезков вообще, Основная цель этой (П!) главы — обойти трудности, созданные отсутствием аксиомы Архимеда, и пост ро н т ь т ео р и ю 1« подобия, годную н в неархимедовой геом для это~о Гильберт строит так называемое исчисление отрезков, позволяющее ввести от нош е ни е д в ух от ре з к о в не как число, а как элемент нового исчисления (см.
далее, йй )5 и (6). [«з[ В этом месте доказательства имеется пробел, так как из конгруентности (б) следбчет только, что основания перпендикутельно ляров либо совпадают, ли о распоюжены симметрично р относй- О. Нужно сщз доказать, что последнее невозможно. Точка О разбивает каждую из двух проходящих через нее прямых на два луча; обозначим через 1,2 лучи одной прямой — лучи другой прямой.
Каждому нз отрезков 1, 1*,... ставим в соответствие подстановку (13), (24), если дзнный отрезок имеет концы на лучах 1,3 или на лучах 2, 4, и подстановку (14), (231, если отрезок имеет концы на 1, 4 илн на 2, 3. Предоставлчем читателю доказать, что параллельным отрезкам будет отвечать обязательно одна и та же подстановка (так как параллельные отрезки будут расположены или по одну сторону нлн по разные стороны параллельной им прямой, проведйнной чере О).
Та ак как путь АС'ВА'СВ А приводит иас от,исходного луча ОА р з к нему же, то произведение подстаноаок указанного вида (ш) (Р) (и) (ш: ) (1) (я«) может быть только единицей [здесь (т) обозначает подстановку, отвечающую отрезку ш и т, д.[. Но в рассматриваемой группе подстаиовок [(12) (34), (13) (24), (14) (21)) произведение двух подстаиовок тотько тогда дает единииу группы, когда эти подстановки тождественны, Поэтому (т) (Ьэ) (л) = (т") (1) (я"). В силу параллельности т и т«, 1 и Р, подстановка (ш) совпадает с (ш«), а (1) — с (1"). Отсюда (я) =.
(л'). Другимн словами, я" имеет концы либо на сторонах того же самого угла, что и л, либо на сторонах угла, ему вертикального. Поэтому если через О провести прямую нж параллельную и, то отрезок яз лежит либо целиком по ту же сторону от ~, что и я, либо целиком по другую сторону. Провезйм через О перпендикуляр к я (н, следовательно, к яз). Перпендикуляры, опущенные на него из концов я"., будут параллельны яз, а зйачит, расположены каждый целиком по одну сторону от яз, а так как концы я леткат по одну сторону от яз, то обз перпендикуляра лежат по одну сторону от лз и основания их расположены по одну сторону от на, Следовательно, случай, когда этн освования расположены симметрично относительно О, невозможен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
