Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 75
Текст из файла (страница 75)
2. Пусть Р не лежит на одной прямой ни с какими двумя точками фигуры (А,В, ..., Е), причбм А,В, ..., Ене лежат все на одной примой. Тогда можно указать две различные 4 прямые, соединяющие попарно точки фигу. Р, ры, например, АВ и АС (черт. 28). Точка А разбивает прямую АС на два луча, один Черт, 26. иэ которых лежит с Р по разные стороны от АВ. Возьмйм на этом луче какую-нибудь точку РИ тогда прямая РР, пересекает АВ в некоторой ~очке Р,. Итак, точна Р лежит на прямой Р,Р,, где Р, взято на АС, а Р,— на АВ. По доказанному в пункте 1, на прямых А'С' и А'В' можно (единственным образом) указать точки Р, и Рз, так, что дополненные фигуры (А, В,..., Е, Р1, Рз) н (А', В', ..., Е', Р,, Рг) бу дуг конгруентны.
Снова применяем пункт ! уже к дополненным конгруентным фигурам и к точке Р, лежащей на Р,Рз. Тогда на Р,Рт можно указать точку Р так, что фигуры (А, В, . „Е, Рь Рз, Р) и (А', В',..., Е', Р',, Р', Р') будут конгруентны. Покажем, что Р' определится единственным образом, Дону- стим, что имеется ещб какая-то точка Р' такая, что фигуры (А, В, „ Е, Р) и (А', В', ..., Е', Р«) будут конгруентны. Тогда, согласно 'пункту 1,' можно найти точки Р,, Рз, так что (А, В..
. Е, Р, Р,, Р„) н (А', В', ..., Е', Р', Р,, Рг) конгРУ- ентны. Тем более будут конгруентны этн фигуры, если из ннх удалить точки Р н Р'; но этими условиямн у нас немного выше олнозначно определялись точки Р„ Р; следовательно, Р, Ф совпадает с Рт, и Рз совпадает с Рл Итак, фигуры (А В...„Е, Р„Р,, Р) и (А', В', ..., Е', Р„Р1 Р ) 432 пгимячлння [32 †3 ггнмачлния ',331 433 конгруентны. В силу единственности построения точкнР' в пун- унк- что Р" совпадает с Р'. 1,, р а две полученные конгруентностн,' заключае, м, 3.
Пусть все точки фигуры (А, В, ..., В) лежат на одной прямой, причем Р лежит вне этой прямой. Тогда, в сил п , у ункта 1 (начало доказательства), точки А', В', ..., й' тоже жс лежат на одной прямой и (по теореме 27) в соответствующем порядке. Отложим при луче А'В' угол, конгруентный углу РАВ, и на сзоболной стороне этого угла отложим от езок А'Р', к груентный АР.
Итак: 'ЬРАВьм «РА'В', Ар= А'Р' Мы утверждаем, что точка Р'будет искомой. Лействитсльно, пусть С вЂ” произвольная точка первой фигуры, У .«» РАС овпадает с » РАВ, либо является его смежным. В пе вом гол ', а во втором случае случае» Р'А'С' совпадает с с»Р'А'В', оп сто ',, ' н и лежат по является его смежным; действительно, есл С В ° д у рону от А, то и С' и В' — по одну сторон от А' Так как у т 'ит.д. ф РА  — = с» Р'А 'В', то отсюда вытекает, что во всяком случае ~ РАС=— с» Р'А'С'. Кроме того АР А'Р', А С А'С'.
. По теореме 12: РС = Р'С'. Конгруентность фигур (А, В, ..., 7., Р) н (А', В', ...,(.',Р') ьа ' не определится доказана (з рассматриваемом случае точ. Р' зе к, однозначно, так как ее можно заменить с таки а им же успехом ее ркальным отражением относительно прямой А'В'...Г . ). ,'") Глубокое принпнпиальное значение теоремы 28 ля ~зз1 г р и теоремы 29 для геометрии пространства за- ключается в установлении связи между понятиями конг ентности и движения, нгруУже в области ф физического опыта соответствующие понятия тесно связаны друг с другом. Так, желая сравнить по длин р, дин нз них п е р е н о с и м и накладываем на е другой.
Такйм образом, в практическом опыте д у обьектов появляется прежде всего как в в х те конгруентность вместить их путем движения, как возможность соЭта связь сох ранястся и в области математики, причем здесь авая можно итти двумя путями: либо в основу класть движе д его аксиоматически, а конгруеитность о ние, за- у бравом через движение; либо — как делает Гиль- казапным об пределять берт — в основу класть аксиоматнческн данное понятие конгру- ентности н уже посредством его оп ре де лять движение. А именно, пазовйм движением (в широком смысле, вклю- чая сюда зеркальные отражения) такое взаимно однозначное отображение совокупности точек пространства в себя, при ко- тором всегда АВ= А'В', где А,  — произвольные точки пространства, а А' и В'— точки, им отвечающие в отображении.
Таким образом, движение характеризуется тем, что к а- ждая фигура (А, В, ...) преобразуется в фигуру (А', В', ), ей коигруситную. Отсюда, в частности, легко вывести (повторе- нием рассуждений примечания 32, начало доказательства теоре- мы 28), что точки, лежащие на одной прямой, преобразуются в тоний, снова расположенные на одной прямой, т. е, прямые преобразуются в прямые. Следовательно, плоскости преобра- зуются в плоскости и т. д. В этой связи роль теоремы 29 заключается в том, что опа доказывает возможность движения и определяет степень е го произ вола. Пусть АВС и А'В'С' — два произвольно заданных конгру- ентиых между собою треугольника. Возьмбм еще точку 1) вне плоскости АВС.
Тогда, по теореме 29, точке () можно'поставить в соответствие точку О' так, что имеет место коигруеитность между фигурами (А, В, С, 7)) и (А', В', С', 7)'). По той же теореме 29, каждой точке Р пространства будет отвечать одна и толь но одна точка Р', такая, что фигура (Р', А', В', С', О') конгруентиа (Р, А, В, С, 7)). (1) Мы утверждаем, что такое преобразование произвольной точки Р в соответствующую ей точку Р' будет да и ж е пнем. В самом деле, пользуясь той же теоремой 29, поставим в со- ответствие какой-то другой точке 1,г точку О' так, чтобы имела место конгруентиость между фигурами (О', Р', А', В', С', 7)') и (О, Р, А, В, С, О).
(2) Тзк как коигруептность сохранится, если из фигур выкинуть точки Р и Р', то (<7А'В'С'))') коягруеитна (ОАВС))). (3) Сравнивая (!) и (3), мы видим, что О преобразуется в О', и Р преобразуется в Р' одним и тем же преобразованием, уста- новленным нами, исходя из коигруептпых тетраедроз АВС7) и А'В'С'()'. При этом, в силу (2), РΠ— Р'О', Итак, паше преобразование есть движение, 28 Д. Г альберт 433 пеиышгяиня ~ЗЗ вЂ” 34~ пгиь~ечлння (34~ Что же касаетсв степени произвола в выборе движения, то здесь дело обстоит так.
Пусть нам дана точка А, выходящий из иее луч а и примыкающая к прямой луча и йолуплоскость «. Пусть А', а', «' означает аналогичную конструкцию, взятую каким-то другим образом. Построим треугольник АВС, взяв точку В на а и Сна « произвольно. Дачее, как нетрудно сделать» построим .треугольник А'В'С', конгруентный АВС, так, чтобы В' лежала на а' и С' на «'. Тогда, как показано выше, существует движение, переводящее АВС в А'В'С', а следовательно, конструкцию (А, а, «) н конструкцию' (А', а', «'). Небольшое добавочное рассуждение показало бы, что такое движение' может быть осуществлено лишь двумя способами (двойственность вытекает из того, что, осуществив движение, к нему можно присоединить еще аеркальное отражение относительно плоскости «').
Таким образом, если игнорировать эту двузначность, движение определяется зачаннем конструкции (А', а', «'), в которую должна перейти данная конструкция (А, а, «). Совершенно непосредственно из определения движения следует, что движения образуют группу, т. е, что 1) тождественное преобразование есть движение, 2) преобразование, обратное движению, есть тоже движение, 3) последовательное выполнение двух движений даст снова движение. Как известно, выполнение этих условий для совокупности взаимно однозначньж отображений некоторого множества на себя и означает, что такая совокупность есть группа.
Мы не даем доказательства теоремы 29, так как оно может быть проведено по аналогии с доказательством теоремы 28 с использованием плоскостей вместо прямых. В качестве пер. ваго шага нужно показвть, что в конгруентных фигурах точки, лежащие на одной плоскости, отображаются в точки, тоже лежащие на одной плоскости. ]г') Аксиома л» ейной полноты формулирована в тексте столь неточно,что при буквальном понимании приводит систему аксиом к противоречию.Мы дадим поэтому уточнйнную формулировку этой аксиомы (и сам автор в 9 9 пользуется ею не в том виде, как она формулирована в тексте). Перечислим прежде всего четыре известных нам свойства точек и отрезков на п ря мой: 1. Всякие и точек ложно закумерозить таким образом, что точка лежит между двумя другами то~да и толыго тогда, когда еб комер имеет пзомежуточкое значение. Как следствие, отсюда вытекает, что каждая точка разбивает прямую на два луча.
2. Возможно откладывать по данную сторону от данной точки от«елок, кокгоуекткый данному отрезку, а притом единственным образом. 3. Кокгоуекткость отрезков обладает свойствами тоакзитивкости и взаимности; дзе суммы отоезкоз пеа соответственно кокгвуекткых слагаемых кокгвуекткы между собой (аксиома П!ч). Как слсдстеие, отсюда вытекает лемма примечания (г"] (стр. 426), а из неб — теорема 20 в применении к отрезкам и вся теория сравнения отрезков (см.
примечание ]гз], стр. 427 — 428). 4. Имеет место аксиома Авхимеда. Поставим следующую задачу: дополнить совокупность точек на прямой новыми элементами так, чтобы: а) в расширенной совокупности были определены понятия «между» для точек и «конгруептеи» для отрезков (отрезок понимается как нара точек); Ь) в применении, в частности, к старым точкам и старым отрезкам эти понятия имели прежний смысл; с) в расширенной совокупности понятия «между» и «конгруентен» продолжали удовлетворять требованиям 1, 2, 3, 4. Аксиом а ли н ей ной пол ноты:указанное выше расширение совокупности точек ка и«ямой невозможно.
Для уяснения логической природы аксиомы полноты весьма существенно следующее. Предположим, что мы, сохраняя прежнюю формулировку этой аксиомы, уменьшим число требований, перечисленных в пунктах 1, 2, 3, 4. Тем самым на расширение совокупности точек на прямой теперь накладывается и е н ь ш е требований, чем раньше. А потому все прежние случаи, когда расширение было возможно, остаются и теперь, но кроме них, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
