Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 70
Текст из файла (страница 70)
се точками. точки сапог мого многоугольника, называютсв его внешними ч ение нами заимствовано из «Оснований геом р ет ии» Это определение В Ф. К (Одесса, 1905), где, в несколько иной форме, про- агаиа ведено и доказательство той теоремы, которой мы се' ча й с занимаемся. Заметим теперь следующее, Пусть некоторый луч Д, вы ходнщи из точ й ки О, не лежащей на многоугольнике 31, проходят л чедлечерез многоугольник )р н раз.
Пусть при этом на луче жат д точек пересечения егоров многоугбльника,! вершин многоугольника; в которых сходнтсн стороны, лежащие по разные стороны от луча Ь (черт. 4), р вершин, в которых сходятся стороны многоугольника, лежащие по одну сторону от й С (черт. 5); т = н — 1 — д сторон, вблизи которых многоугольник расположен относительно й) так, как это Черт. 8. указано на черт. 6, и д сторон, вблизи которых многоугольник расположен так, как это указано иа черт. 7. Рассмотрим совокупность га, состоящую нз точки О, 2т+2д концов сторон многоугольника»1), лежащих на луче и, й точек пересечения н (+р вершин, общих многоугольнику и лучу д. В силу теоремы 6, М=д+(4-р+2(т+д) )-1 точен совокупности т( расположены на луче и ва вполие определбнно»г порядке, и нх можно перенумеровать, приняв за первую точкйц блйжайшую к О, т.
е. точку, лежащую между точкой с» и любо другой точной этой совокупноств. Точно так же можно перенумеровать все и прохождений луча й через многоугольник )р. Пусть Р н 6 суть концы (-го прохождения, если луч й и многоугольник ю имеют общий отрезок — сторону 3) (черт.
6); если же прн (-ом прохождении Д и й) имеют только одну об~пую точку, то эт о эта точка окажется обозначенной двумя буквамн Р и 6 (черт. 8). Пусть совокупность й упорядочена на луче и так, что точке Р предшествует точка Рь а за точной й следует точ а очка 6. Мы пришли, таким образом, к следующему выводу: Л е м и а П. Непосредгтвенно л еред каждым лрохожденпем и нелогредственно лосле каждого прохождения через многоугольник на луче д существуют отрезка — соответственно. РР и 66,— не содержащие ни одной точки многоуголь- 3 ника ю'.
Заметим ещи следующее: Следствие 1. Все точки, лежащие на каждом из отрезков Ртр и 66т, т. е, на отрезках, не имею ш и х с многоугольником дз н н одной общей т о чки, одновременно лежат либо внутри иного- угольника, либо вне его. 413 пгимкчгьния '(151 примвчдння ~15) 4!2 Следсте не 2. Л и б о точ кн отрезка Рлр лежат внутри й), а точки отрезка 66, вне ф, либо наобо от. Х ' окажем зто. Возьмбн трн произвольные точки: две, М н д), на отрезке Ртр н одну, Р, на отрезке 66 и рассмотрим лучи М6т, МО! н РОп нсходящйе нз точек М, г! н Р.
Так как отрезок МФ не содержит нн одной точки ф, то число прохождений лучей Мбз н )96! через ф одинаково, что н доказывает первое следствие. гак как на отрезке МР лежат точки отрезка РО, соответствующне одному прохождению луча через ф, к так как кроме точек отрезка РО я его коннов на отрезке МР нет точек многоугольника щ, то, очевидно, луч МО! проходяю через ф на один рзз больше, чем луч РОь что к доказывает второе следствне. Теперь легко показать, что в п л о с к о с т н м н о г оугольннка имеются как точки, лежащие внутри й), так н точки, лежащие вне $. Рассмотрим для этого прямую а, пересекающую одну нз сторон этого многоугольника в точке 6. Согласно только что докззанному, на прямой а имеются два отрезка Ргр н 66„ точкн одного нз которых лежат внутри й), а точки второго — вне ф. Лемма П!.
Прямая либо яе кроходит через треугольник, либо ароходит через него дга раза. Действительно, любая прямая может пересечься с каждой нз прямых, на которых лежат стороны треугольника,не более одного раза. Поэтому чнсло прохождений не может быть более трех.
Но, разбивая прямую на два луча какой-нибудь точкой (не лежащей на треугольнике), убеждаемся, что это число должно быть чйтным, т. е. оно может быть только 0 нлн 2. Следовательно, луч, исходящий из внутренней точки треугольника, должен проходнть через этот треугольник б р Г однн и только один раз. Лемма !Ч. 'Еля того, чтобы Черт. 9. точка лежала внутри тргуголышка, необходимо и достаточно,чтобы зта точка лежала на траягггргали, иоогедйкяой из любой гго веригины. Траксггрсалью треугольннка называют отрезок, соедння|ощнй какую-либо вершину этого треугольника с точкой стороны, противолежащей вершине (черт. 9). Это условне необходнмо. Действительно, пусть точка О лежит внутри треугольника АВС. Рассмотрнм прямую ОА, соединяющую ее с одной нз вершки треугольника, которую мы для определйнностн обозначим через А.
Из леммы П! следует, что прямая ОА должна два раза пройти через треугольник АВС, так как, если она нн разу не проходила бы через этот тре- угольник,то все ев точки, в гом, числе и точка О, лежали бы не внутри треугольника. АВС. Прн каждом прохожаеннн через треугольник йряная пересекается по крайней мере с одной нз его сторон. Прн прохождении через точку А прямая ОА пересеклась с прямымн АВ и АС, прячем нн с одной нз этих прямых она совпасть не может, так как иначе она не проходила бы нн разу через треугольник. Поэтому прн втором своем прохождении через треугольннк АВС прямая ОА должна пересечь отрезок ВС.
Пусть гочкой пересечення служнт О. Точка О должна лежать на трансверсалн АО, так как иначе луч ОА неся на себе точки А и О, дважды проходил бы через треугольник, т. е. точка О лежала бы вне треугольника. Это условие н достаточно Действительно, если точка О лежит на транс- версали АО, соединяющей какую-лнбо вершину, скажем А, с какой-либо точкой О стороны ВС, противолежащей з этой вершине, то точки А, О лежат по разные стороны ог точки О; поэтому луч ОО, нсходящяй нз точки О, проходят только один раз через треугольник АВС, Чер.. !0.
т. е. точка О лежит внутри треугольника АВС' Следствие. Проведем в треугольнике АВС трансверсаль АО. Любая точка лежащая внутри треугольника АВО (нлн АСЬ), лежит также внутри треугольника АВС (черт. 1О). Действительно, пусть точка О лежит внутри треугольника АВО. В силу леммы 1Ч, она должна в таком случае лежать на какой-то трансверсалн АЕ, где Š— гочка, лежащая на отрезке ОВ. В снлу теоремы б, точки С, О, Е, В должны расположиться в прнведйнном только что порядке (нли в порядке обратном), т. е.
точка Е должна лежать нз отрезке ВС, а следовательно, отрезок АЕ служит трансверсалью также н для треугольника АВС. Поэтому, в силу леммы 1Ч, гайка О лежит внутри треугольника АВС. Если точка О лежит внутрн треугольника АСО, предложение доказывается аналогично. Лемм а Ч Если точка А лежит внутри (гкг) многоугольника ф и отрезок АВ г многоугольником ф нг имеет общих точек, то есг почки этого отрезка лежат внутри (гкг! $. Конец В этого отигзка может лгжатэ как гкупри (гне) й!. тяак и яа этом многоуголышке Пусть луч ВА встречает многоугольник $ впервые (см. замечание к лемме 1) в точке М, а луч А — в точке )Ч.
Если какой-либо вз э гнх лучей, напрнмер ВА, многоугольника $ нн разу не встречает, то ны в качестве точки М возьмям любую точку, для которой точна А лежит на отрезке ВМ Точка гЧ, в част- 414 4ГВ пгимвчлиия [151 пгимвчхния ! 151 ности, может совпасть с гочкой В В силу теоремы б, отрезок АВ, точка А и точка В, если она ие совпадает с )и, зажат внутои отрезка Мд). В силу следствия 1 леммы И, точки отрезка <Ч либо все лежат внутри й), либо все лежат вне 41.
Где именно лежат эти точки, — определяетсн положением одной из них, например, точки А. Л е м м а Ч!. Если точка А лежит в путри (вке) миогоуголь- никах) и ломакак АВС...М)Ч пе ььмееьп обшил точек с этим многоугольником, за исключением, быть может. точки )Ч,то ии одна иэ точек ломаноа АВС...М<Ч не может лежать вне внутри) многоугольника ф. оказательство этой леммы получается путям последовательного применения леммы Ч к отрезкам АВ, ВС,..., МФ.
Рассмотрим теперь произвольную замкнутую ломаную и треугольник АВС, обладаьощий следующим свойством: если некоторый отрезок РО ломаной Я имеет точки внутри треугольника АВС, то с самим треугольником отрезок РО (включая его концы) может иметь общие точки только иа стороне АС (включая вершины А, С).
В таком случае справедливы следующие утвержденна: Л е и и а ЧИ. Если внутри треугольника АВС имеельск кота бы одна отличила от вершины точка О ломаной Я, то внутри этого треугольника имеется также по крайней мере одна вертала эл<ой ломаной (В. Л е м м а ЧИ), гьа стороне АВ этого треугольника АВС можно найти точку Р такую, чтобы ни внутри треугольника РВС, ки ка вго стороне РС пе было ни одыой точки ломакой Я Закажем лемму ЧИ.
Пусть точка О ломаной <ю лежит внутри треугольника АВС и пусть эта точка принадлежит стороне Р<д этой ломаной. Если отрезок'РО не имеет общих и точек с треугольником АВС, то вершины Р и О ломаной (В в силу леммы Ч лежат или внутри треугольника АВС или на ням самом, а следовательно, иа стороне АС. Но очевидно, что обе вершины Р и О лежать на АС не могут, в так как иначе точка О тоже лежала бы на АС. Следовательно, хоть одна из вер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
