Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 67

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 67)

Аии., т. 93. С тех пор Аккерманн упростил свое доказательство. '«) 1ч е и а а и и, «Лиг Н!!Ьег!«сйеи Веъе!«(Ьеог!е» Ма!Ь. Хе!!есйг., т. 26. Ф 2, Истолкование утверждения о существовании некоторого числа в смысле такого числа: «наименьшее число, которое...» 3, Заключение от « к « + 1, при котором формулу (е(А)=3') А(Ь) присоединяют в качестве аксиомы и на ней распространяют доказательство непротиворечивости. Как вы уже заметили, существенным вспомогательным средством в моей теории доказательства служит символическая запись понятий, Форма, в которой я ею пользуюсь, в основном совпадает с той, которую первоначально ввел Рессель. До сих пор еще не решены следующие проблемы.

Проблема !. Доказательство непротиворечивости е-аксиомы для функции-переменной у. Доказательство ее уже намечено: Аккерманн продвинул его так далеко, что оставшаяся задача сводится к доказательству только чисто арифметической, элеиентарной теоремы о конечности. С решением проблемы ! сразу же получаются ответы на большой комплекс основных вопросов; именно, это доказательство непротиворечивости дает: 1) закон исключенного третьего для функций целых аргументов и, тем самым, и для действительных чисел; 2) процессы определения, против которых Пуанкаре возражал как против непредикативных, которые Рессель и Уайтхед сумели обосновать только с помощью весьма проблематичной аксиомы редукции и в связи с которыми Вейль однажды сказал о существовании в анализе порочного круга (с!гсп!Ое ч!!!Оепе). 3.

Аксиому произвольного выбора в ее более слабой формулировке. Относительно пункта 3 сделаем следующее замечание. В новейших исследованиях были указаны многочисленные оттенки между слабыми и сильными формулировками аксиомы произвольного выбора. Эти оттенки преимущественно касаются мощности множества множеств и множества 394 395 ДОБАВЛЕНИЕ Х ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ их представителей, особенно различия между счятными и несчятными множествами, Руководствуясь теорией доказательства, мы считаем существенным иное различие; именно, мы будем отличать случай, когда требуется, чтобы выбор представители данного множества был однозначно определйн составом элементов множества, независимо от способа определения этого множества, оттого случая, когда это не требуется.

Пусть, например, дана .некоторая однопараметрическая совокупность множеств М(1), и пусть для каждого значе-. ния действительного параметра 1 множеством М(1) служит вполне определянное иножество действительных чисел, содержащее по крайней мере один элемент. Принцип произвольного выбора в своей более слабой формулировке требует, в таком случае, существования однозначной функции у(1) тако~о рода, чтобы для каждого значения 1 значение у(Т) принадлежало бы к М(1).

Принцип произвольного выбора в своей более сильной формулировке требует, кроме того, существования такой функции Г(Г), для которой У (~1) =- / (~а) всякий раз, как множества М (1,) и М ('в) имеют один и тот же состав элементов. С помощью е-аксиомы для функции-переиенной у мы получаем для множеств действительных чисел принцип произвольного выбора в его более слабой формулировке. В результате решения нашей проблемы!, мы овладеваем в первую очередь следующими теориями: 1, Теорией действительного числа (деаекиндово сечение, верхняя грань ограниченных множеств действительных чисел). 2.

Теоретико-множественным обоснованием учения о числе. вЂ Э теория ие требует никакого принципа произвольного выбора, но нуждается в непредикативных определениях, например, в опреаелении для а = О; именно: всякое множество, которое содержит а и которое, содержа л содержит также и л+ 1, содержит Ь. Раньше при теоретико-множественных обоснованиях теории чисел усматривали проблематическое всегда только в предположении о бесконечности области индивидуумов.

Можно убедиться в том, что это предположение не содержит противоречия, уже на основании доказательства о непротиворечивости его для чисел. Ббльшую трудность представляет доказательство непротиворечивости непредикативного определении. Решение проблемы 1 даат также полное оправдание гениальному методу Дедекинда, изложенному в его работе ЕЧто есть и чем должны быть числаж 3. Теорией Кантора о том, что числовой ряд есть вполне упорядоченное множество. Благодаря этой теории учение о числах второго числового класса, которое можно аксиома- тически построить совершенно аналогично теории числа, сводится к теории функций чисел-переменных. Проблема 1!.

Для дальнейшего развития анализа, особенно длн теории точечных множеств (теоретико-множественной топологии), а также для теории чисел второго и более высоких классов следует позаботиться о непротиворечивости е-аксиомы для переменных более высоких видов и в первую очередь— для функций действительного переменного. Далее, для доказательства теоремы о полном упорядочении, а также для некоторых доказательств в теории измеримости (доказательства для случаев неизмеримости) требуется аксиома о произвольном выборе в еа более сильной формулировке, которая в теории доказательства выражается формулой: ((у)(А(~) Вф)) — (а(А)=е(В)) (аксиома равенства выбора); е(А) и е(В) в'данном случае являются функциями чисел-переменных, а равенство означает совпадение для всех значений аргументов. Для того, чтобы присоединить эту формулу, необходимо опять-таки доказать е6 непротиворечивость.

П р о б л е м а 111. Вообще утверждается, что система аксиом теории чисел и анализа обладает полнотой; но обычные соображения, с помощью которых показывают, что любые две реализа- ДОБАВЛЕННЕ Х ции системы аксиом теории чисел нли анализа быть и иза доли«ны ыть изоморфныи, таким образом, могут быть отображены одна на другую с сохранением соотношений, не удовлетворяют требованиям конечной строгости.

Речь идат о том, чтобы пере троить конечным образом, сначала для теории чисел, обычное доказательство изоморфизма так, чтобы тем самым было показано следующ Есл и можно доказать, что некоторое предложение Я ующее: не противоречит аксиомам теории чисел, то невозможно доказать, что предложение В (отрицание Ж) тоже не противоречит аксиомам теории чисел. Т акже надо доказать положение, стоящее в тесной связи с предыдущим: если некоторое высказывание непротиворечиво, то оно также н доказуемо. П ротив моей теории доказательства были сделаны возражения; они в основном базируются на е6 непонимании.

Поэтому я позволю себе сделать здесь еще некоторые пояснения, Ес ли имеетси некоторое высказывание .или доказательство, то оно должно быть обозримо во всех своих частях. Указание, узнавание вновь, различие и следование одной за другим отдельных частей доказательства должно быть для нас непосредственно наглядным. Без этой установки вообще невозможно мышление и тем более научная деятельность. При исследовании вопроса о непротиворечивости речь иддт о том, можно ли дать доказательство, которое привело бы к противоречию.

Если такое доказательство не может быть мне предложено, то тем лучше,— в таком случае я избавлен от исследования, Если же такое доказательство мне предложено, то я могу' выбрать из него и рассмотреть внимательно некоторые определенные отдельные части, а следовательно, также и отдельные числовые знаки, которые в них встречаются и, следовательно, уже составлены и построены, и снова их разобрать. Этим, однако, собственно метод полной индукции не будет затронут; наОборот, сущность заключения по полной индукции, — как это показал уже Дедекинд и как это снова подтверждает моя теория доказательства — в том и состоит, что оно применимо не только к отдельным, имеющим конечное значение случаям, но, прежде всего, к тем случаям, в которых ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ 397 рекурсия относится к выражениям с любыми связанными переменными (с «все» и «существует»); в таком случае оказывается, что полная индукция является источником понятия математической переменной, к которому с помощью только конечных методов невозможно подойти.

На той основе, которую я только что обсуждал, каждый раз должно проводиться доказательство непротиворечивости приобщения некоторого высказывания. Если такое доказательство удастся провести, то для высказывания это означает,. что в случае, когда нз него может быть выведено числовое н имеющее конечное значение высказывание, это последнее каждый раз действительно верно. Доказательство непротиворечивости учит вместе с тем каждый раз, когда доказательство приводит к ложному результату, находить то место, в котором сделана ошибка. Ясно, что чисто логические проблемы также попадают в область намеченной мною теории доказательства, Примером может служить следующая проблема. Проблема 1Ч. Утверждение о полноте системы аксиом теории чисел может быть формулировано также и следующим образом: Если к аксиомам теории чисел присоединить формулу, принадлежащую теории чисел, но недоказуемую, то, исходя из этой расширенной системы аксиом, можно вывести противоречие.

Так как здесь, в теории доказательства, мы имеем всегда дело с формализированным доказательством, то высказанные нами утверждения о полноте теории чисел заключают в себе вместе с тем и утверждение, что формализнрованные правила логического вывода достаточны, во всяком случае в области теории чисел. Вопрос о полноте системы логических правил, поставленный в общем виде, представляет собою проблему теоретической логики, К этой более обшей постановке вопроса мы придйм, исходя из теории чисел, когда мы нз области рассматриваемых формул, в частности также и аксиом, исключим все те, в которые входит знак «'», но зато допустим появление переменных преднкатов (логических сказуемых).

Характеристики

Список файлов книги