Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Действительно, эти функции также могут быть опре- делены с помощью рекурсии; для этого сначала надо ввести также с помощью рекурсии следующие две функ- ции трах аргументов: (а, Ь, с) = О, когда Ь равно одному из чисел 1 а, ф и, 2а,..., с а(б)0), = 1 во всех остальных случаях. ф (и, , с, ф( Ь ) равную наименьшему из тех чисел 1, 2, ., а, а которые яв лаются делителями Ь и ) с; в случае же, когд ни одно из ук из указанных чисел этим свойством не обладает, то Если мы намерены построить . математику, то сначала нам надо о р т б а ить внимание на элементарную теорию чисел; чы у ежд б аемся что мы можем получить и доказать этой дисциплины с помощью, содержательно-нагляд- истины это эом фо млы по- ных рассуждений. Получающиеся при этом ф р у у требляются только для сообщений, Буквы означают число- вые знаки, а о совпадении двух знаков сообщается с помощью равенства, Иначе обстоит дело в алгебре; в алгебре мы рассмати б квенные выражения -сами по себе, как самостояк юче- тельные об азы; теоремы же теории чисел, которые включ- ы в алгебру, этими буквенными выражениями формализуются.
ны в алг В излишних числовых знаков выступают ф р у место и кото ые являются теперь с своей стороны конкр етными которые я объектами наглядного созерцания, а н на место содержа- тельного теоретико-числового доказат у ельства выступает здесь вывод одной формулы из другой, совершаемый по определенным правилам, Таким образом, алгебра выходит уже существенно за пределы содержательной теории чисел, Здесь, например, ДОБАВЛЕНИЕ формула 1+а=а.+ в которой а есть собственно число-переменная, является Только сообщен ая, уже не а есть некоторое мально щением О чам-то с одержательном, форм ула, которая сама по се е формальное образование, локазуемая имеет, себе никакого значения не , а доказательство мото ой н тельно р р не может быть содержа- мой аксиомы.
проверено и н жд у ается во введенин индукционФормулы + =В+1, 1+7=у) обоснованные с по помощью содержательных асс можно также получить с о х рассуждений, ства из указанной ть с помощью некот араго доказатель- ставив формально вмес о раньше алгебраической фо м формулы, подвместо а числовые знаки 3 и 7 применяя правила подстановки. и 7, т.
е. Итак, уже элементарная математика формулы, которым тика содержит как ния конечных ым соответствуют со е ч ых высказываний, т. е. в основ у д ржательные сообще- равенства и неравен в основном числовые сложные сооб в нства или состав ленные из ннх более щения, и которые мог т быть альными еысназыеан ут ыть названы ре- сами по себе не имеют ыеаниями теории, так и фо м лы к ф рмулы, которые как числовые знаки р имеют нинакого значения, и ки содержательной одобно тому никакого зн теории чисел не имеют Э начения и служат только о ъ пения наших объектами для приме- как идеал и правил; эти фо лы ь ые образы теории, ф рму следует рассматривать Эти сооб а р жения показывают, что лля й,й ниа формул хан идеальных еысназыеа, нам необходимо только ест естественным и последовательо разом продолжить развитие, кото м иены и до сих пор б , которому были подчипор о ычные матема тические метолы.
В та- теперь поста чае удет естественно' и последовательно, если мы логические знаки поставим как математически е переменные, так и сг, ~/, —, (х), (Ех) ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ 375 и логические переменные, именно переменные высказывания А,В,С,... на одну доску с числовыми знаками и буквами алгебры и будем одинаково считать их знаками, которые сами по себе не имеют ниеакого значения, а являются только кирпичами, идущими на постройку идеальных высказываний. Ыы имеем убедительную причину, побуждающую нас сделать такое распространение точки зрения алгебры на всю математику, Именно, она является средством для того, чтобы освободить нас от принципиальной трудности, которая даат себя уже чувствовать в элементарной теории чисел, В качестве примера я снова беру равенство а + 1 = 1 + а; если мы хотИм рассматривать это равенство как выражение сообщения а+1=1+а,' где а означает любое данное число, то это сообщение не может быть отрицаемо, так как высказывание, что имеется число а, для которого а+ 1чь=1+ а, ие имеет никакого конечного смысла: ведь все числа перепробовать невозможно.
Поэтому по смыслу конечной установки мы не можем применить 'зльтернативу, согласно которой равенство вроде предыдущего, в которое входит один неопределйнный числовой знак, либо выполняется для всякого числоного знака, либо может быть опровергнуто противоречащим'примером, В самом деле, такая альтернатива, представляя собой применение закона исключйнного третьего,существенно предполагает возможность отрицать утверждение, что указанное равенство справедливо во всех случаях, Но мы не можем отказаться от применения закона исключйнного третьего, равно как и от всех остальных законов аристотелевой логики, выраженных в наших аксиомах, так как построение анализа без них невозможно, Кроющаяся в этом существенная трудность устраняется при помощи идеальных высказываний, Если мы присоеди- 37б ДОБАВЛВНив !х ОвоснОБАння мАтвмАтихи ним к реальным высказываниям идеальные, систему высказываний, в которой ные, то мы получим справедливы все простые правила аристотелевой логики и имеют зак все обычн м имеют законное право ые методы математических выводов.
Как, ска- жем, в элемента ной т р теории чисел необходимы отрицатель- благо а ные числа, как сов емен р енная алгебра стала возможной только математ лагодаря куммер-дедекиндовским идеалам, ика стала возможной только после , так и научная альных высказываний. после введения иде- П авда, связано о р , с применением метода идеальных эл х элементов мое,— одно условие, одно единственное б но нео ходи, — это доказательство непротиворечивости.
Именно, расширение посредством приобщения идеальных элемент то ько в том случае, когда прн этом в й ементов более узкой област т в старо, т е. л ласти не возникает никаких противо ечий, . ес и соотношении, которые выявляются лля р чи, образов п и ис т я лля старых ются р ключении идеальных образов, всегда , в г а оста- 0 а справедливыми в этой старой област, сти, нем днако эта проблема непротиворечивости р при нынеш- сво и положении вещей вполне доступна исслед, Д едованию, Дело в дится к тому, чтобы показать, что при альных об азов не м г при введении идер огут получиться два логически про- тивоположных высказывания Й, Й.
Из аксиомы отрицания следует, как я уже отметил выше логическая формула: (А сг А) — В. Если мы подставим сюда вместо А упомянутое высказывание Й, а вместо  — неравенство 0 Ф 0 Ф, то мы получим: (ЙЬ Й) — (ОФО). С помощью этой формулы мы из Й и Й мож вести, что 0-~=0, Д . Для доказательства непротиворечивости нам остается тепе ь тол р ько показать, что ни при каком доказательстве, и е, проведенном по установленным нами п авилам и исходя ем из н ми пращ из наших аксиом, мы не можем никогда притти к неравенству. ОФО, т.
е. что О~О не является доказуемой формулой. Эта задача принципиально так же лежит в области наглядного рассмотрения, как и в содержательно построенной теории чисел лежит, например, задача доказательства иррациональности $' 2, т; е. задача о доказательстве того, что невозможно найти таких два числовых знака и и О, которые находились бы в соотношении а'=2Ьа, и где, таким образом, должно быть показано, что невозможно задать два числовых знака, обладающих вполне опреде. ленным свойством. Соответственно этому, для нас вопрос сводится к тому, чтобы показать, что невозможно дать доказательства определйнного свойства.
Но формализированное доказательство есть конкретный и обозримый предмет, точно так же, как и числовой знак: оно от начала до конца сообщаемо, Искомое свойство конечной формулы, состоящее в утверждении «О ~ 0», является свойством самого доказательства, свойством, которое может быть конкретно установлено. Действительно, это можно показать; тем самым мы оправдываем введение наших идеальных высказываний. Одновременно мы убеждаемся в том, что нами тем самым решена весьма актуальная проблема — проблема доказательства непротиворечивости аксиом арифметики. Повсюду, где применяется аксиоматический метод, встайт вопрос о доказательстве непротиворечивости аксиом. В ге- ! ометрии и в физических теорияМ удалось свести это доказательство к вопросу о непротиворечивости аксиом.
арифметики. Этот метод, очевидно, не применим к самой арифметике. Наша теория доказательства на основании метода идеальных элементов делает возможным этот последний шаг и этим завершает постройку учения об аксиоматике. Основные положения этой моей теории доказательства я излагал уже по различным поводам; между тем, против этой теории доказательства были сделаны различные возражения и замечания, Я считаю их все вместе и каждое в отдельности настолько несправедливыми, насколько это возможно. Я хотел бы сейчас рассмотреть некоторые из них. 378 379 ДОБАВЛЕНИЕ гк ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ Уже Пуанкаре сделал. в различных местах замечания, которые противоположны моему воззрению.
Прежде всего, утверждая, что непротиворечивость способа полной индукции не может быть иначе доказана, как только с помощью той же полной индукции, он оспаривает й рпог1 самую возможность доказательства непротиворечивости аксиом арифметически. Однако, как показывает моя теория, здесь, при обосновании арифметики, рассматриваются двоякого рода индуктивно употребляющиеся методы, именно, с одной стороны, метод наглядного построения целых чисел как числовых знаков, которому также и обратно соответствует разбор данного числового знака или разбор конкретной данной фигуры, построенной аналогично числовому знаку, а с другой стороны — собственно индукция, которая опирается на аксиому индукции и только с помощью которой математическая переменная может играть свою роль в формальном аппарате.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
