Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 60
Текст из файла (страница 60)
И странным образом случилось так, что Определения и выводы, против которых Кронекер с такой страстью возражал, оказались точной копией того, что тот же Кронекер с таким энтузиазмом превозносил в теории чисел у Куммера и чем он восхищался как высшим математическим достижением.
Как же мы теперь придем к идеальному выснпзыва нию? Замечательно и, во всяком случае, благоприятно и покровительствует нам следующее обстоятельство. Зля того, чтобы попасть на путь к этим ндеальныч высказываниям, мы должны лишь естественным и последовательным образом продолжить то развитие основ математики, которое имело место уже до сих пор. Лействительно, припомним, что даже элементарная математика уже не остается на точке зрения наглядной теории чисел, Содержательно наглядная теория чисел, как мы ей до сих пор понимали, не включает в себя метод алгебраического буквенного исчисления, В ней формулы всегда употребляются только лля сообщения; буквы означают числовые знаки, и с помощью равенства мы сообщаем о совпадении двух знаков.
Напротив того, в алгебре мы пользуемся букеенныин выражениями как образами, которые сачи по себе самостоятельны, и благодаря им содержательные теоремы теОрии чисел принимают формальный характер, На место высказываний о числовых знаках выступают формулы, которые, со своей стороны, являются конкретными объектами наглядного созерцания, а на место содержательного теоретико-числового доказательства выступает вывод одной формулы из другой по известным правилам. а которая теперь уж т пе ь уже отнюдь не является непосредствен- ным сообщением о 1йм-то содержательном, а некоторым формальным образом, отношение которо1о к старым ко- нечным высказываниям 2+ 3 = 3 + 2, 5 + 7= 7 + 5 состоит в том, что мы в эту формулу вместо а, Ь под- ставляем числовые знаки 2, 3, 5, 7 и благодаря этому, , благодаря некоторому — хотя и очень простому— способу доказательства, получаем конечные частные вы- сказывания.
Итак, мы приходим к тону взгляду, что и, Ь = + равмо как и вся формула целиком, *= + а+ Ь=- Ь+а, ннкаког "ого значения сами по себе не имеют, точно так же, квк н числовые знаки; однако из ней можно получить ф лы, которыи мы приписываем значение, именно тем, форму что мы их понимаем как сообщение конечных высказы- ваний. Если мы этот взгляд обобщим, то математика све- дется к совокупности формул, во-первых, таких, которым соответствуют содержательные сообщения конечных выска- зывзний, т. е по существу числовых равенств или нера- венств, и во-вторых, других формул, когорые сами по Таким образом, уже в алгебре имеет место увеличение числа конечных объектов, До сих пор то это были только числовые знаки, как, например, 1, 11, 11111, Только они служили объектами содержательного рассмотренйя', Но уже Б алгебре математическая практика выходит за эти пределы.
Даже когда некоторое высказывание с нашей конечной точки зрения ещя допустимо в связи со ссылками иа содержательное, как, например, теорема о том, что и + Ь = Ь + и, где и и Ь означа1от некоторые числовые знаки, — даже тогда мы пользуемся не этой формой сообщения, а фор-' + Ь Ь+ а довхялянив «»«и о вяоконвчиом себе никакого значения не имеют иде ме т и которые являютсн еальными образами нашей глеории. Какова же была наша цель? В математике мы нашли, с одной' сто оны, таки р, е конечные высказывания, которые содержат только числовые знаки, как-то: 3 >2, 2+3 — 3+2, 2 — 3, 1Ф1, эти высказывания, если исходить из й из наше конечной точки зрения, оказываются непосредствен о н наглядными и без дальнейшего понятными; их можно отри ны, можно свободно, не за т ицать, они ве ны и р ли лож, не задумываясь, распоряжаться ими согласно логике Аристотеля; закон и отиво , е. какое-либо высказывание этого рода и его отрицание не могут оба быть вер закон исключбнного третьего, т.
. у верны; имеет место , т. е. одно нз двух — либо данное высказывание верно, либо ве но его Когда я гово ю: ли о верно его отрицание. г в р: «некоторое высказывание ложно>, равносильно тве «к о>, то это верно», К оме этих э у р денню; «отрицание этого высказ ывания р , их элементарных высказываний совершенно непроблематического характера, мы вст ечали мер, такие, кото ые б ния проблематического характера наприр ыли нерззделимы. Наконец, мы авели идеальные высказывзния, которые л тому, ч б тому, что ы в совок рые должны способствовзть упности опять-тзки имели место обычные законы логики, Но так именно фо и л ч а как идеальные высказывания ф р у ы, сами по себе не имеют знач У скольк они не вы чения, поу выражают конечных утверждений, то логические операции над ними не мог т п о В таком случае сами как над конечнымн высказываниями.
ские докззательства н ми логические операции и матем атичева необходимо формализовать; это требует перевода логических соотношений на язык ф н язык формул. бавить е б у должны будем к математическим з накам прищб и логические знаки, например «»у, и или (либо) следует не и пользоваться кроме математических переменных а, 1«, е,... 'ещб н логическнмн переменнымн, т. е, переменнымн высказываниями А, В, С,... Как это может произойти? К счастью для нас, здесь оказывается та же предустановленная гармония, которую м««так часто встречаем в истории развития науки — которая пригодилась Эйнштейну, когда он для своей гравитационной теории нашбл вполне разработанное общее исчисление ннвариантов: в качестве такой успешно разрабатывавшейся предварительной теории мы находим алгоритм логани.
Правда, этот последний возник первоначально из совершенно других отправных точек зрения, и .в соответствии с этим знзки логического исчисления первоначально были введены тоже только для сообщений; но будет последовательным, если мы теперь отвергнем значение логических знаков, как мы отвергли значение знаков математических, и обьявнм, что формулы логического исчислении сами по себе не имеют никакого значения и суть идеальные высказывания.
В логическом исчислении мы обладаем языком знаков, которым мо«кно математические теоремы выразить с помощью формул, а логические умозаключения выразить с помощью формального процесса. Аналогично тому, как иы это делалн при переходе от содержательной теории чисел к формальной алгебре, мы и в логическом исчислении рассматриваем знаки и символы операций, отвлекаясь от их содержательного значения. Благодаря этому, мы вместо содержательной математической науки, которую мы пере- даби обыкновенным языком, получаем некоторую совокупность формул с математическими и логическими знаками, следующих друг за другом по определбнным правилам. Математическим аксиомам соответствуют некоторые определбнные формулы, а содержательным выводам соответствуют правила, по которым формулы следуют одна за другой: таким образом, содержательные выводы подменяются внешними действиями согласно правилам. Тем самым совершается строгий переход от наивного к формальному обращению, с одной стороны, с самими аксиомами, которые.
сначала наивно считались основными исти- Зб! довлвлвнив щп о ввсконвчном нами и которые уже давно в современной аксиоматике рассматриваются только как связи понятий, а с другой стороны — с логическим исчислением, которое первоначально должно было быть только лишь иным языком. Мы хотим еще кратко разъяснить, каким образом формализируется математическое доказательство. Определбнные формуль!, которые, как я сказал, служат камнямн для постройки формального адания математики, называются аксиомами, Математическое доказательство есть некоторая фигура, которая, как таковая, должна наглядно пред нами предстать; оно состоит из выводов, делаемых по следующей схеме: Я где всякий раз каждан посылка, т. е. в упомянутых фос мулах Я и Я-+ ь, есть либо аксиома (или получается из аксиомы при помощи подстановки) или совпадает с заключительной формулой некоторого вывода, уже встречавшегося ранее в доказательстве (или получается из этой формулы при помощи подстановки).
Формулу мы будем называть доказуемой, если она является либо аксиомой,, либо конечной формулой некоторого доказательства. Нашей программой мы уже предрешили выбор аксиом для нашей теории доказательства. Несмотря на некотррый произвол в выборе аксиом, здесь, как и в геометрии, ии, различаются качественно отдельные, обособленные группы, из которых мы будем каждый раз приводить некоторые примеры е): !.
Аксиомы слеДования: А- ( — А) (добавление предпосылки); (В- С)- ((А — В) (А С)) (исключение высказывания). '! Упомянутая система аксиом дана на стр. Збт †Збэ (добавление !Х). )! Аксиомы отрицания: (А (ВАВ)) А (закон противоРечия)' А — А (закон двойного отрицания). Из закона противоречия следует, что (А !х А) — В, а из закона двойного отрицания следует закон исключбнного третьего: ((А — В) Ь (А — В)) — В.
Аксиомы групп ! и П суть не что иное, как аксиомы исчисления высказываний, Ш. Трансфинитные аксиомы: (х) А (х) — А (а) (заключение от общего к частному, аксиома Аристотеля) (х) А (х) — (Ех) А (х) (если сказуемое справедливо не для всех объектов, то существует противоречащий пример); (Ех) А (х) (х) А (х) (если не существует примера, для которого некоторое выс~(азывание имело бы место, то это высказывание ложно для всех х). При этом выявляется то замечательное обстоятельство, что все эти трансфинитные аксиомы могут быть выведены из одной, а именно — той, которав содержит одновременно и ядро так называемой аксиомы произвольного выбора, более все~о оспаривавшейся до сих пор в математической литературе. Указанная аксиома такова: А (и) — А (а (А)), где а †, трансфинитная логическая функция выбора.
362 о вясконечном довлвлнния чцг К этому добавляются чисто математические аксиомы: )Ч. Аксиомы равенства: а=а, а = Ь вЂ” (А (а) — А (Ь)) Ч, Аксиомы числа: а'ч~О, и также аксиома полной индукции: (А (0) й (х) (А (х) — А (х')) ) — А (а). Этим способом мы в состоянии провести нашу теорию доказательства и построить систему доказуемых формул, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
