Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Прн этом аксиома 8, будучи выражена словами, сводится к утверждению, что т; = а, если а(с) принадаежит к классу несуществующих. Всюду, где ар (т) вещь т выступает в комбинации тх, заменим, в соответствии с аксиомами 7 и 8 и принимая во внимание аксиому 2, комбинации т; "через 8 или, соответственно, через ак из р(т) этим способом получается ()(т) (где д(т) уже более не содержит вещь т в комбинации тх); в таком случае д (т) должно было бы быть следствием из аксиом, положенных вначале для 1, а,..., 1, и тем самым быть истинным, если мы в качестве т примем одну из этих нещей, например 1.
Так как подобное же рассуждение справедливо и для высказынания р(т), то и для первоначальной ступени, когда в основу были положены вещи 1,..., а,..., 1, должно было бы существовать противоречие д (1) и д (1). Но это невозможно, если сначала предположить, что существование вещей 1,..., 1 непротиворечиво. Поэтому мы должны наше предположение о том, что может произойтн противоречие, откинуть, т, е. т существует непротиворечиво, что и требовалось доказать, !1!.
Если хотят заданную определднным образом систему аксиом исследовать с помощью вышеуказанных принципов, то надо комбинации вещей, положенных в основу, разбить Ъа указанные два класса — класс существующих и класс несуществующих; при этом на долю аксиом выпадает роль предпнсзний, которым это разбиение должно удовлетворять, Главная трудность будет состоять в том, чтобы убедиться в возможности разбить все вещи на два класса— класс существующих и класс несуществующих. Вопрос о возможности такого разбиения, по сущестну, равносилен вопросу о том, приводнт или не приводят к противоречию следствия, которые могут быть получены из аксиом посредством нх специализации и совместного нх использования в ранее изложенном смысле, если присоединить ещй известные способы логических умозаключений, каковы ((а (Ь) и (а~ Ь)) ~ Ь 1(адб) и (алс]) / (ал(Ь и с)).
336 ОБ ОСНОБАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ 337 ДОБАВЛЕНИЕ УП В таком случае непротиворечивость аксиом может быть проверена либо тем, что будет показано, как предполагаемое противоречие должно было бы проявиться уже на более ранней ступени развития теории, либо путйл~ предположения, что существует доказательство, которое, исхода из аксиом, приводит к противоречию, и последующего выяснения того факта, что такое доказательство невозможно, т, е. что оно содер«кит в себе противоречие. Так, например, набросанный ранее эскиз доказательсгва ' непротиворечивости существования бесконечного сводится к тому, что, исходя из аксиом 1 — 4, невозможно доказать равенство б.
'у'. Когда до сих пор шла речь о многих мыслимых вещах, комбинациях, комбинациях многократного вида или м но г и х произвольных, то прн этом всегда понималось о~раничснное число тзких вещей. После того как мы установили определение конечного числа, мы оказываемся в состоянии трактовать этот способ выражения в его общем значении. Теперь на основании определения конечного числа (в соответствии с идеей полной индукции) оказывается также возможным с помощью рекурентного прнвма точно описать значение «произвольного» следствии и «отличим» некоторого высказывания от всех высказываний определднного рода, Именно так, в частности, нужно представлять себе полное определение ранее намеченного доказательства того, что высказывание с (бх««1) = б ! отличается от каждого высказывания, которое получено, как следствие, из аксиом 1 — 4 после конечного числа шагов; именно самое доказательство должно рассматривать как математическое образование, как конечное множество, элементы которого связаны высказываниями, выражающими, что доказательство ведйт от аксиом 1 — 4 к равенству 6, и надо в таком случае показать, что такое доказательство содержит противоречие н, таким образом, не существует непротиворечиво в определднном нами смысле, Подобно тому как может быть доказано существование наименьшей бесконечности, может быть доказано также и существование совокупности действительных чисел; действительно, аксиомы, как онн бЫли установлены мною длн дей- ствительных чисел"), могут быть выражены в точности такими же формулами, как и установленные до сих пор аксиомы.
Что же касается, в частности, той аксиомы, которую н назвал аксиомой полноты, то она выражает, что совокупность действительных чисел содержит каждое множество, элементы которого равным образом удовлетворнют предшествующим аксиомам; при этом слово «содержит» надо понимать в смысле взаимно однозначного соответствия элементов. При такам толковании аксиома полноты представляет собою требование, тоже выражаемое с помощью формул вышеуказанного характера, и аксиомы для совокупности действительных чисел качественно ни в каком смысле не отличаются ОТ аксиом, необходимых, например, для определении целых чисел. В познании этого факта, как мне думается, заключается объективное опровержение взгляда, который защищал Кро не кер и который в начале моего доклада был квалифицирован как догматическая трактовка основ арифметики. Точно так же доказывается, что основным понятиям канторовского учения о множествах и в частности канторовским алефам присуще непротиворечивое существование.
Гейдельберг, август 1904 г. Ф! См. стр. 11! — 1!3, гл. 111. 22 д.г ар о ввсконечном 339 ЛОБАВ,ЛЕНИЕ У1П . О БЕСКОНЕЧНОМ з~ (Сокращйнная статья из Ма(Леша!!зсЬеп Аппа!еп, т. 95) Вейерштрасс своей критикой, которую он проводил с мастерской остротой, положил тнбрдые основания математического анализа. Выяснив, среди остальных понятий, понятия минимума, функции, производной, он тем самым устранил недочеты, имевшие место в исчислении бесконечно малых » очистил его от всех расплывчатых представлений о бесконечно малом и окончательно преодолел при этом трудности, вытекающие из понятия «бесконечно лсалое». Если теперь в последовательности умозаключений, которые основаны на понятии иррационального числа и вообще предела, царит в анализе полное единодушие н уверенность — даже н самых запутанных вопросах, касающихся теории дифференциальных и интегральных уравнений,— если, несмотря на салсые слселые и многообразные результаты, несмотря на нагромождение и перекрещивание пределов, всй же имеется з) доклад, прочитанный 4-го июня 1925 г, на съезде математиков, организованном всстфздьскнм математическим обществом з Мюнстере в память Вейерштрасса; ср.
другие мон сообщения на зту же тему: «ЫеиЬейсцпс(ипй бес Мз(Ьешз(!К», АЬЛзпбсипйеп аия беш ша(Ьеспайяскеп Веинпаг бес Нзшьисй!зсЬеп ()и!тссж(ат, т. 1, стр. 57, 1922; «О!е !ой!зсЬеп бсипб!зйеп с!ег Мзтцешз(!К», Ма1Ь. йпп. т. 88, стр. 151, 1922; «!)!е Всииб!зйеп с!сс Мз)цешз- 1!Ь», АЬЬапб!иийесс зиз деш ша1Ьеспа1!ясЬеп Ьеинпаг бес Йзшьис- 8!зсЛеп ()и!тесяссйй т. «'1, стр. 65, 1928 (здесь приложение !Х); «РгоЫепте бег Сссипб!ейипй бес Мз1Ьсшз(!К», АЬЬзпб!ипйеп без !и!»спа1!опа!еп Ма!Леша!!зсЬеп Копйссзяея ги Во!ойпз, 1928, также Майк Апп. т. !02, !929 (здесь приложение Х). совпадение всех результатов, то это — существенная заслуга научной деятельности Вейерштрасса.
Однако обоснованием, данным анализу бесконечно малых Вейерштрассом, дискуссия об основах анализа не закончилась. Причина этого лежит в том, что значение бесконечного для математики еще не выяснено до конца. Правда, беско.нечно малое и бесконечно большое были из анализа Вейерштрасса исключены тем, что высказывания, относящиеся к этим понятиям, были сведены к соотношениям между конечными величинами. Ио бесконечное все же выступает снова в бесконечных числовых последовательностях, определяюсцих действительное число, и затем в понятии системы действительных чисел, которая воспринимается точно так, как предстоящая перед нами готовая и законченная совокупность. формы логических умозаключений, в которых выражается эта трактовка, — когда, например, идет речь о всех действительных числах, обладающих известным свойством, или о том, что сущессляуюлс действительные числа, обладающие известным свойством, — суть как раз те формы, к которым неограниченно обращаются в вейерштрассовском обосновании анализа и которые применяют, постоянно повторяя.
Благодаря этому бесконечное сумело снова в прикрыточ виде пробраться в теорию Вейерштрасса, не будучи задето остротой его критики; отсюда следует, что проблема бзсконечного и есть как раз то, что нам в указанном смысле необходимо еще выяснить до конца, Мы должны бесконеч. ное, в смысле бесконечной совокупности, в тех случаях, где оно встречается в выводах ешли и теперь, понимать как нечто кажущееся, подобно тому, как впредельных процессах исчисления бесконечно малых оказалось воз»южным показать, что бесконечное, в смысле бесконечно малого и бесконечно большого, есть просто оборот речи.
И подобно тому как действия с бесконечно малыми были заменены процессами в конечном, которые дают те же результаты и приводят к тем же изящным формальным соотношениям, выводы, содержащие бесконечное, должны быть вообще заменены конечными процессами, дающими в точности те же результаты, 222» 340 341 ДОБИВЛЕННЕ ШП О БЕСКОНЕЧНОМ т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
