Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

позволяющими проводить тот же ход доказательства и применять те же методы для получения формул и теорем, В этом и заключается замысел моей теории. Эта теории ставит своей целью установить определбнную над6жность математического метода, которой критический период исчисления бесконечно малых ещ6 не достиг; она должна, таким образоч, завершить то, к чему стреиился Вейерштрасс в сво6м обосновании анализа и к достижению чего им был сделан необходимый и существенный шаг. Однако, затрагивая вопрос о выяснении понятия бесконечности, приходится принимать во внимание ещ6 более общую точку зрения. Если обратить на это внимание, то оказывается, что матемзтическзя литература наводнена нелепостями и бессмыслицаии, в которых большей частью повинна бесконечность, Так например, иногда в кзчестве ограничительного требования подч6ркивают, что в строгой математике в доказательстве допускается только конечное число умозаключений — как будто кому-либо удалось уже когда-либо сделать бесконечное число умозаключений.

Также и старые возражения, которые долгое время считались похороненными, выступают опять в новом одеянии. Недзвно, например, было высказано следующее: если даже введение какого-вибо понятия может быть произведено без опасений, т, е. без получения противоречий, и это может быть доказано, то вс6 же это понятие не является в достаточной мере оправданным. Не является ли это в точности тем возражением, которое в сво6 время выдвигали против коиплексных (мничых) чисел, говоря: правда, нз-за них не получается никаких противоречий, но их введение вс6же незаконно, так, как мнимые величины вс6-таки не существуют.

Нет, если помимо доказательства непротиворечивости может иметь смысл ещ6 вопрос о законности некоторого мероприятия, то таким вопросом может быть только вопрос о том, сопровождается ли это мероприятие соответствующим успехом или нет, Действительно, успех здесь необходим; он является высшей инстанцией, перед которой преклоняется каждый.

Другой автор, повидимому, усматривает противоречия, подобно привидениям, даже и там, где никто вообще никаких утверждений не делал, именно в самом конкретном, чувственном мире, «непротиворечивое функционирование» которого усматривается как особая гипотезз. Я, по крайней мере, дуиал, что противоречить друг другу могут только высказывания и предположения, поскольку они через умозаключения ведут к новым высказываниям, и мне кажется, что мнение, будто сами факты и события могут оказзться в противоречии друг с другом, является классическим примером бессмыслицы Этими замечаниями я хочу только показать, что окончательное выяснение сущности бесконечного выходит за и делы узких интересов специальных наук и, более того, ре что оно стало необходимым для чести самого человеческого разума.

С давних пор никакой другой вопрос так глубоко не волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечнои; бесконечное действовало на разум столь же побуждающе и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая идея; однако ни одно другое поня~не не нуждается тзк сильно в разъяснении, как бесконечность. Обращаясь к задаче о выяснении сущности бесконечного, мы должны по возможности кратко представить себе, какое содержательное значение соответствует бесконечному в де- йствительности; мы посмотрим сначала, чтб нам дабт в этом отношении физика.

Первым наивным впечатлением, производимым явлениями природы и материей, является впечатление чего.то непрерывного, континуального. Если мы имеем перед собою кусок металла или некоторый об.ьбм жидкое~и, то нам навязывается представление о том, что они неограниченно делимы, что,сколь у~одно малый кусок их опять-тзки обладает теми же свойствами.

Но повсюду, где метолы исследования в физике мзтерни достаточно усовершенствованы, мы наталкиваемся на границы этой делимости, которые лежат не в несовер1пенстве нашего опыта, а в природе самой вещи, так что можно было бы пряно-таки воспринимать тенденцию современной науки, как освобождение от бесконечно малого; теперь можно было бы старому тезису «па1нга поп 1ас1 за11нз» (прирола не делает скачков) противопоставить антитезу: «природа делает скачки». 343 342 довхвляния щп о вяскопвчном Известно, что вся материя составлена из маленьких кирпичиков — из атолгов,— и что их комбинации и соединения образуют вся многообрззие макроскопических веществ.

Однако физика не останавливается перед учением об атомном строении материи. рядом с ним в конце прошлого столетия выступает, сначала очень непривычно действующее, учение об атоином строении электричества. В то время как раньше электричество считалось жидкостью и было прииером непрерывно лействующего агента, теперь оказалось, что н оно построено из положительных ядер и отрицательных элентронов, Помимо материи и электричества, в физике имеется ещй и другая реальность, для которой также имеет место закон сохранения, именно — энергия. Но, как установлено теперь и энергия не допускает простого и неограниченного деления на части: Планк открыл аванта энергии, И каждый раз получается тот итог, что однородный континуум, который'должен был бы допускать неограниченное деление,и тем самым реализовать бесконечное в малом, в действительности нигде не встречается.

Бесконечная делимость континуума — это операция, существующая только в человеческом представлении, это только иден, которая опровергается нашими наблюдениями над природой и опытами физики и химии. Второй раз мы наталкиваемся в природе на вопрос о бесконечности при рассмотрении вселенной в целом, Мы должны теперь исследовать г>ротяжвнность вселенной, чтобы узнать, нет ли здесь бесконечно большой величины.

Мнение, что вселенная бесконечна, долгое время господствовало: до Канта и даже после него вопрос о бесконечности вселенной не вызывал никаких сомнений. Но опять-таки современная наука, и в частности астрономия, подняла этот вопрос сызнова и попыталась решить его не с помощью недостаточных методов метафизического умозрения, а на основах, опирающихся на опыт и покоящихся на применении законов природы. При этом выявились веские возражения против бесконечности.

Предполагать, что пространство бесконечно, вынуждает нас геометрия Евклида, Хотя геометрия Евклида и является системой понятий, не- й в самой себе, но отсюда, однако, ещб не противоречиво в са , Им етли следует, что она выпо выполняется в действительности. Име - — это может решить только наблюдение и опыт. это место--это м нечность и о- П рн попытк тках умозрительно показать бескон рибки. Из того странства р вкрадывались также и очевидные оши акта, что вне каКого-либо куска пространства всегда сно ва следует только неограниченность имеется пространство, с пространства, а не не его бесконечность.

Но понятия неогрзг га. Мате- ость и конечность не исключают друг друга. ате- ниченность и исследования дают нам так называе у м ю эллин- матическне и и ель конечного гличес у и ель ную геометри>о — естественную иодель О т евклидовой геометрии является тепер ь не мира. тказ от е ениеи математическим или философским умозр только чисто м > с гой сто оны, но мы при ишли к этому отказу также и с друго р оп осам кото ая первон ч р а ально не имела ничего общего с в р о конечности вселенно .

Р р й. Эйнштейн покззал необходимость отойти от геометрии в трии Евклида. На основании своей грави- тационной теории он ер берйтся и за космологические вопросы ичбм и показывает возмо оз ожность конечности вселенной, прич м все найденные астрон оиами результаты вполне согласуются с пре, дположением об эллиптическом мире. Итак, мы становили конечность действительного д у в ах.

направлениях: в от отношении бесконечно малого и бесконечно г, Все же может случиться, что бесконечное в на- болыпого. с же мож место и является шем мышлении ззнимает полнопрзвное м им как с этим обстоит необходимым понятием. Мы посмотри, в математическо нау й на ке, н первым делом опросим чистейшее и наивнейшее дитя человеческого духа — теорию чисел. Из имеющейся здесь богзтой совокупности элементарных формул возьмйм какую-либо одну, например: Р+2г+3'+, .

+ и'= — п(и+1) [2н+ 1), 1 Так как мы ма>кем подставить в неб вместо и какое-либо целое число, например, положить фо и ла содержит бесчисленное лгнззееетво высказ>еваний; формул о в этом, очевидно, и заключается е су В ть, благодаря чему только она и представляет решени р ф е а ифметической про- блемы и требует собственно доказательств>, между тем как 545 344 о ввсконвчном довлвлвнив нпг частные числовые равенства 1'+ 2'= — 2 3 5, 1'+ 2' + 3'+ 4' + 5' = — 5 6 ° 11 6 могут быть проверены с помощью ° в отлельности не представляют, по с мощью вычислений и потом У интересз, т, по существу, никакого ванием и и ин С абсолютно другим, совершенно св б воео разным толком и и принципиальныи пониманием идеи б д и есконечного ча но важному и плолоы знакомимся благодаря чрезвычайн творному иетоду идеальных алел«ем»лов.

Мета, и ов. етод идеальных лит се применение уже в элементарной геометрии плоскости, Здесь реальными, действительно си прямые плоскости, Д я тсн внзчале только точки ости, Для иих имеет место, между прочим, аксиома соелинения: че ез в и только олна п ямая. р две точки прохолит всегда одна р, .

Отсюдз получается, что две прямые пересекаются не более чем в одной точке. Н утверждаю зя, ч одно точке. Но теорема, ной точке, не щ , что две прямые всегда пересек ю р каются в одсправедлива; две прямые могут быть па лельными. Однзко изв естно, что с помощью идеальных ут ыть паралментов а именно с элеи с помо ы > помощью бесконечно удалйнны щ о одной бесконечно удаленной прямой можно х точек но которой две прямые достичь того, что теорема, согласно всегда пересекзются в одной и только й одно точке, окажется справелливой во всех случаях. т польз, т Идеальные «бесконечно удалйнные» эл, «» элементы приносят у ользу, что они делзют систему законов соединения возможно более простой и обоз имой.

Характеристики

Список файлов книги