Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 58

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

Вс ии меж р и между точкой и прямой, отсюда, как из чается оказавшийся да, как известно, полувенности в геометрии. ши ся столь плодотворным принцип й дво ствеличины алгебры также Обычные кол«алексин-,мнил«ые вели~ являются примером использования идеальных элеме служат здесь для уп о ения м нтов; они й я упрощения теорем о существовании корне уравнения и их числе. Подобно тому как в гео метрии бесконечное иножество прямых, именно параллельные друг другу прямые, исполь- зуется для опрелеления идеальной прямой, так и в высшей арифметике определенные бесконечные системы чисел объединяются в один числовой идеал, и в этом состоит, пожзлуй, самое гениальное применение принципа идеальных элементов. Если это происходит вообще, внутри некоторого алгебраического числового поля, то иы находим в этом поле простые и хорошо известные законы делимости, аналогичные тем, которые имеют место для обыкновенных целых чисел.

Здесь мы уже попали в облзсть высшей арифметики, Мы подошли теперь к анзлизу, втой искуснейшей и тончайшим образом разветвленной отрасли матеишических наук. Вы сами знаете, какую ведущую роль играет там бесконечное; математический анализ можно в известном смысле назвать единой симфонией бесконечного. Гро»«адные успехи, постигнутые в исчислении бесконечно малых, основываются большей частью на действиях с математическими системами, состоящими из бесконечного числа элементов. Так как очень легко напрашивалось отождествление бесконечного с «очень большим», то вскоре возникли несогласованности, так называемые парадоксы исчисления бесконечно малых, часть которых была уже в древности известна софистам.

Основным шагом вперед .явилось обнаружение того факта, что многие положения, справедливые лля конечного, — часть меньше целого, существование минимума н максимума, перемена мест слагаемых илн сомножителей — не могут быть непосредственно перенесены на бесконечное. В начале своего локлада я уже упоминал, что эти вопросы были выяснены благодаря проницательности Вейерштрасса, и теперь анализ в своей области стал безошибочным наставлением и практическим инструментом для пользования бесконечным, Однако сам анализ еще не ведет нас к глубочайшему проникновениго в сущность бесконечного. Такому проникновению гораздо больше способствует дисциплина, которая стоит ближе к общефилософским призмам мышления и которая была призвана опять, уже в новом свете, поставить весь комплекс вопросов, касающихся бесконечного.

Этой дисциплиной является теория множеств, создателем кото. довлвление ши рой был Георг Кантор. Здесь мы рассмотрим только то, поистине единственное в сво6м роде и оригинальное, что составляет собственно ядро канторовского учения,— его глеорию глрансфииил»имл чисел; она представляется мне наиболее заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще однии из высших достижений чисто умственной деятельности человека. Что же это такоеу Вели хотят кратко характеризовать новое понимание бесконечного, которому положил начало Кантор, можно, пожалуй, сказать следующее: в анализе мы имеем дело с бесконечно малым и бесконечно большим только как с предельным понятиеи, как с чем-то становящиися, образующимся, производящимся, т.

е., как говорят, с аогиенИиальной бесконечностью, Но это не есть само собственно бесконечное. Таковое мы имеем, например, рассматривая самую совокупность чисел 1, 2, 3, 4, ... как некое законченное единство или точки отрезка как совокупность вещей, предстоящую перел нами в закончениоч виде, Этого рода бесконечность мы будем называть актуальной бесконечное»лью. Уже Фреге и Делекинд, сделавшие очень многое для обоснования математики, оба, независимо друг от друга, применили актуальную бесконечность для того, чтобы обосновать арифчетику независимо от всякого наглядного представления и опыта, на чистой логике и развивать е6 дедуктивным пут6и только посредством логики.

Их стреиление состояло в том, чтобы конечное число не брать из наглядного представления, а вывести чисто логически, существенно используя при этом понятие бесконечных множеств. Кантор же разработал понятие бесконечного систематически. Рассмотрим оба упомянутых примера бесконечного; 1. 1, 2, 3, 4, ... 2. Точки отрезка ~0, 1] или, что то же, совокупность действительных чисел, заключанную межлу 0 и 1 1включая их]. Во-первых, их надо исследовать с точки зрения многочисленности; при этом мы приходим к поразительным фактам, О БЕСКОНЕЧНОМ которые теперь хорошо известны каждочу математику. Именно, если рассматривать множество всех рациональных 1 ! 2 1 3 чисел, т.

е. все дроби 2' 3' 3' 4''''' 7' то оказывается, что это иножество, взятое только с точки зрения многочисленности, не больше множества целых чисел; мы говорим, что рациональные числа могут быть обычным способом пересчитаны, или что их множество счбтно. То же справедливо и относительно множества всех чисел, выражающихся с помощью радикалов и, даже более того, — для множества всех алгебраических чисел.

Аналогично обстоит дело и с нашим вторым примером: неожиданным образом оказывается, что множество точек квадрата или куба, взятое только с точки зрения многочисленности, ие больше множества точек отрезка 10, 1]; даже для множествз всех непрерывных функций справедливо ещ6 такое же утверждение. Кто узнаат это впервые, может подумать, что с точки зрения многочисленности сущесхвует вообще одна только бесконечность. Но это неверно: множества наших двух примеров,— 1-го и 2-го— как говорят, не «равномощны»; напротив того, множество 2-го примера не может быть пересчитано,— оно больше множества 1-го прииера, Здесь наступает характерная перемена в образовании идей Кантора, Точки отрезка нельзя пересчитать обычным способом с поиощью чисел 1, 2, 3,...

Но, допуская существование актуальной бесконечности, мы отн»одь не ограничиваем себя этим обычным способом счйта, и ничто нас не принуждает прекратить счйт. Кпгда мы пересчитали 1, 2, 3, ..., то мы иожем пересчитанные предметы раесматривать как некое в этом определйнном порядке законченное бесконечное множество. Обозначим, как это делает Кантор, этот порядок по его типу через м; тогда счйт естественно продолжается с помощью в+1, а+2,...

до м+м или м 2, а затеи он продолжается дальше с помощью м ° 2+1, м ° 2+2, м ° 2+3, ..., о) ° 2+а=а ° 3 и далее с поиощью м 2, м 3, м 4, ..., м м=оФ, ма+1, ... довлвленив шы о ввсконвчном Таким образом, мы получаем следующую таблицу: 1 2 3... м, м+1, м+2, м ° 2, м ° 2+1, м 2+2, м 3, м 3+1, м 3+2, ... мг >г ма+ м, мг+мг 2, ма+ м 3, ... «ог 2, ... «ог 2+м,... ыг м« мш 1 Это — первые трансфинитные числа, числа второго класса, как их называет Кантор. К ним мы подходим просто посредством продолжения счйта за пределы обыкновенной счйтной бесконечности, т. е.

с помощью вполне естественного, однозначно определйнного последовзтельного продолжения обычного счйта в конечном. Подобно тому как мы до сих пор считзли лишь 1-ю, 2-ю, З-ю,... вещь множества, так теперь мы считаем м-ю, (и+1)-ю, ы -ю вещь. При таком положении вещей тотчзс же сам собою напрашивается вопрос — нельзя ли при помощи этих трансфинлтных чисел пересчитать множествз, которые в обычном смысле несчйтны? Кантор в соответствии с этим холом мыслей успешно построил теорию трансфинитных чисел и создал для них полное исчисление.

Итак, в конце концов, благодаря гигантской совместной работе Фреге, Дедекинда и Кантора, бесконечное было возведено на трон и наслаждалось временем своего высшего триумфа, Бесконечное в свози дерзком полйте достигло головокружительной высоты успеха, Но реакция не заставила себя ждать; она разыгралась очень драматически. Произошло нечто, аналогичное тому, что случилось при развитии исчисления бесконечно малых. На радостях по поводу новых богатых результатов стали явным образом недостаточно критически относиться к законности умозаключений; поэтому уже при простом образовании понятий и применении умозаклгочений, постепенно ставших обы<ными, выявились противоречия, сначала единичные, а затем всй более резкие и всй более серьйзные: так называемые парадоксы теории множеств, В особенности это относится к прртиворечию, найденному Цермело и Ресселлем, опубликование которого оказало на математический мир прямо-таки катастрофическое действие.

Перед лицом этих парадоксов Дедекннд и Фреге фактически отказались от своей точки зрения и очистили поле битвы: Делекинд долго сомневался перел тем, как .выпустить новое издание своей работы «Что такое числа, и чем они должны бытьг («)Чаз з(п«( нпб «таз зо!!еп сйе ХаЫепг), которая в своз время открыла новую эпоху; у Фреге так. же была тенденция считзть свою книгу «Основные законы арифметикиг («Огцпбгеге!зе «(ег Аг!1(гше!1х») ошибочной, в чйм он признается в одном из своих послесловий. И на учение Кантора с различных сторон были произведены бурные напздки, Контрдвижение было столь стремительно, что общеупотребительнейшие и плодотворнейшие понятия математики, простейшие и важнейшие ей умозаключения оказались под угрозой, и применение их должно было быть запрещено.

Правда, не было недостатка и в защитниках старого; но мероприятия защиты были очень слабы, и они не были направлены единым фронтом в. нужную сторону. Лекарств против парадоксов рекомендовали слишком много, методы объяснений были слишком разнообразны, Надо согласиться, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо, Подумайте: в математике— этом образце достоверности и истинности, — образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преполайт и применяет, приводят к нелепостям. Где же искать надйжность и истинность, если даже само математическое мышление дайт осечкуй Но существует вполне удовлетворительный путь, по которому можно избежать парадоксов, не изменяя при этом нашей науке.

Те точки зрения, которые служат для от- 350 о вясконвчном довлвлвниз чп~ крытия этого пути и те пожелзния, которые указывают нам направление, суть следующие: 1. Мы будем заботливо следить за плодотворными способами образования понятий и методаии умозаключений везде, где является хотя бы малейшая надежда, будем ухаживать за ними, поддерживать их, делать их годныии к использованию, Никто не может изгнать нас из рая, который создал нам Кантор. 2, Надо повсюду установить ту же надзжность заключений, которая имеется в обыкновенной, низшей теории чисел, в которой никто не сомневается и где возникают противоречия и парадоксы только вследствие нашей невнимательности.

Достижение этой цели возиожно, очевидно, лишь после того, кзк мы полностью выясним суигность беснонечности. Раньше мы уже выяснили, что какие бы опыты и наблюдения н какую бы отрасль науки мы ни рассматривали, нигде в действительности мы не находим бесконечности. Должны ли мысли о вещзх быть столь непохожиии на то, что происходит с вещзми, должны ли они сами по себе итти другим путзм, совершенно в сторОне от действитЕльностиг' Разве не ясно, что когда мы, как нзи кажется, в кзкоч-то смысле познайм реальность бесконечного, на самом деле мы лишь позволяем себе соблазниться чудовищно большими и чудовищно малыми размерами, которые так часто встречаются в действительности.

Характеристики

Список файлов книги