Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 62
Текст из файла (страница 62)
1, А — ( — А) (добавление предпосылки), 2 (А — (А — В)) — (А - В) (опускание предпосылки), 3 (А — ( — С)) — (В (А — С))(перестановка пред- посылок), 4. ( — С) — ((А — В) — (А С)) (исключение выска- зывания). И, м. Аксиомы, каса)ои(иеся й и ))/. 5 АЙ В вЂ” вА, 6. АЬВ- В, 7, А (В АЬВ), а, А-А,'В, 9.  — А'т/В, 10. ((А — С) 6( (В С)) — ((А )/В- С)).
Ш„,, Аксиомы ои(рицияия. 11. (А В Й В) А (закон противоречия), 12, А — А (закон двойного отрицания). Эти аксиомы групп 1, И, Ш суть не что иное, как аксиомы исчислении высказываний. В частности, из 11 и 12 следует формула: (А 8с А) — В в которой каждая посылка, т. е. соответствующие формулы ю и Я вЂ” еЯ:, каждый рав является либо аксиомой, или получается из аксиомы путйм подстановки, либо совпадает с полученной ранее из доказательства формулой, нли получается из такой формулы с помощью подстановки. Фор-. мулу мы будем называть доказуемой, если она либо является аксиомой, либо конечной формулой некоторого доказательства.
Доказуемые теоремы, т. е. формулы, получающиеся при этом способе, являются отображением мыслей, которые образуют обычную до сих пор математику. Намеченной программой уже предначертан выбор аксиом нашей теории доказательства; мы их упорядочим следующим образом: довлвлания гх 369 ОВОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ и далее — логический принцип: ((А — В)1«(А — В)) В. )Чы, Логическая а-аксиома.
13 А (а) — » А (а (А)). Здесь выражение а(А) означает вещь, для которой высказывание А (а) наверное выполняетс, об е л о ще для какой-либо вещи оно выполняется; е мы назовем логической а-функцией. Более точный способ написания для а( ), который делает возможной подстановк о деленной формулы вместо А (а), таков: е„А(х) или, соот- ветственно: е А ( (у), ... Для выяснения роли логической а-функции .за метни следующее: собом: При формализации а-функции применяется трояки. и споа) С пом ) омощью а-функции можно определить «все» и «существует», именно следующим образом: (х) А (х) А (а (А)), (Ех) А (х) А (а(А)). Двойная стрелка стоит здесь для объедине ъединеиия дв х фор- мул следовании; вместо них мы потом будем пользоваться также и знаком «эквивалентности» На основании этого определения а-аксио а 1Ч б верные для знаков «все» и «существует» логические со- отношения, именно: (х) А (х) — А (а) (аксиома Аристотеля), (х) А (х) — (Ех) А (х) (закон исключбнного третьего), Ь) Если высказывание Й выполняется для одной и только для одной вещи, то а(Й) есть ига самая веясь, для кото- рой высказывание Й справедливо.
Т аким образом, а-функция позволяет дать епг такого высказывания Й, которое выполняется только реп»ение одной вещи, в виде: для а= а(Я). с) Помимо этого, а играет роль функции произвольного выбора, т, е. в том случае, когда Я может выполняться для ббльшего числа вещей, то а(Й) есть какая-пго из тех вещей а, для которых Й выполняется. За этими чисто логическими аксиомами следуют специально математические аксиомы: Ч,, Аксиома равенспгва, 14.
а=а. 15. (а= Ь) (А (а) — А (Ь)). Ч1ы т. Аксиома числа. !б, а'ф-О. 17, (А (О) бг (х) (А (х) — А (х')) — А (а) (принцип пол- ной индукции).' Согласно этому, а' означает число, следующее за а, и целые числа 1, 2, 3, „, записываются в виде: О', О", О"', .„ Для чисел 2-го класса и для чисел высших канторов- ских числовых классов следует добавить соответствующие аксиомы индукции, которые, однако, по теории Кантора следовало бы объединить в одну схему, Наконец, иам нужны явные определения, которые со- ответствуют образованию понятий в математике и имеют характер аксиом, а также определбииые аксиома рекурсии, которые получаются из общей рекурсионной схемы.
Раньше ' чем разобрать формулировку этих аксиом, мы должны установить правила, согласно которым аксиомы вообще должны применяться, Действительно, в моей теории содер- жательные выводы заменены внешними действиями, подчи- няющимися опреаелбнным правилам; тем самым аксиомати- ческий метод получает ту надбжность и законченность, которая для него доступна и в которой он нуждается для того чтобы сггужить основным средством теоретических изысканий, Во-первых, имеют место следующие соглашения, Для математических переменных мы будем пользоваться строчными латинскими буквами, а для индивидуальных математических образов (специальных функций) — строч- ными греческими буквами.
Для переменных высказываний (общие формулы) мы будем пользоваться заглавными ла- 24 д. ги»ьа«р» зуб доввялянив !х 37! тинскнми буквами а л для индивидуальных высказываний— заглавными греческими буквами, например: .»(а) (а есть число), Х га» ; ( ) (а есть число второго класса). Что касается способа подстановки, то п и'эт место следующие огов говорки. и, то при'этом имеют Вместо высказываний-переменных л тольк ф р м нных следует подставлять . ф ур , которые составлены из тарных формул с помощью логических знаков: с), ~/, —, (х), (Ех).
Элементарные фо м ф р улы образуются с помо ью переменных, возможно, снабженных а г мощью знаков , сна жйнных аргументами, или с пои в для индивидуальных высказы й, вани, как-то; Е,Х,=,(, при условии заполнения соответств ментов. тствующих.мест для аргу- В место математических пе емен р енных может быть подстав- либо о м л лю ая игура; однако всякий раз, когда б ф р у е встречается математическая пе ем когда в какой- всегда лолжно предше е кая переменная, ей . ние, стоящее пере н едшествовать индивид ал и у ь ое высказывае д знаком следования и ха ак род этой переменной , например: р ктеризующее Е(а) — а+1 =. 1+а, Х (а) Х (а'), Э то условие означает, что допускаются тол бьп«ноьенньп чисел или, соответственно, чис л класса. В аксиома 17 17! чисел второго зы ания Е(а), Е(Ь), кот х, ради к аткости чапе этих аксиом, а, ), которые должны были стоять в наСтрочные и' з аглавные готические буквы означают оо щений н).
«'« ~'" ' ° '>'««у ° ° срелственгые объекты т уквы не выра»хают непо- сокращения словесных форму р . (П ты теории, а служат лишь ля за рмулнровок. (Прим, ряд.) овосноэания мхтвмдтики Различают .два рода математических перемениыхг 1) основные переменные, 2) родовые переменные, 1. В то время как в арифметике и анализе мы обходимся обыкновенными целыми числами, которые служат там единственными основными переменными, теперь каждому канторовскому трансфинитному числовому классу принадлежит основная переменная, которая способна принимать значения порядковых чисел именно этого класса.
Каждой основной переменной относится, в соответствии с этим, высказывание, которое характеризует это переменное, как таковое; это высказывание неявно характеризуется аксиомами. Каждой основной переменной принадлежит некоторый способ рекурсии, с помощью которого определяются функции, аргументами которых являются такого рода переменные.
Рекурсия, относящаяся к числам-переменным, есть «обычная рекурсия», в силу которой функция числа переменной п определяется тем, что указывается ей значение при п= 0 и способ, с помощью которого можно получить значение этой функции при п', зная ев значение при и. Обобщением обыкновенной рекурсии является трансфинитная рекурсия, общий принцип которой состоит в том, что значение функции для некоторого значения переменного определяется из значений этой функции для предыдущих значений переменной.
2, Из основных переменных мы производим дальнейшие вилы переменных, налагая на высказывания относительно основных перемейных, например, на Л, логическ»е связи. Определенные таким образом переменные называются родовыми переменными, а высказывания, их опрелеляющие,— родовымн высказываниями; для этих последних опять-таки каждый раз вводится новый индивидуальный знак. Так, формула Ф(7) (х) (Е(х) — Л(7" (х))) лайт простейший пример родового переменного; эта формула определяет ро! функций-переменных (быть функцией, Рпп)«1!оп-зе!и), Другим примером является формула Ч'(к) - И(Фу)-~(а(Л)); ЗТЗ 372 ДОВАВЛЕНИЕ ГХ ОВОСНОЕАНИЯ МАТЕМАТИКИ она определяет «быть функционалом», аргуме то в ней сл гументом е служит новая переменная — «функционал».
Зля составления высших родовых переменных надо сами родовые высказывания снабдить индексами, благодаря чему становится возможным рекурсионный процесс, Теперь мы можем указать, чтб следует понимать под явными определениями и под рекурсионными аксиомами: каждое явное определение есть эквивален венство, в левой части которого стоит определенный знак (заглавная или строчная греческая буква) с некоторыми переменными в качестве аргументов, а справа — фиг а в кот ой в ор качестве свободных переменных выступают — фигура, только указанные аргументы, а в качестве и ив индивидуальных знаков в только те знаки, которые были уже раньше введены.
Рекурсионные аксиомы суть системы формул, которые соответствующим образом копируют рекурсионный способ «). Это суть общие основания моей теории, Для того ами применения чтобы познакомить вас ближе со способами этой теории, я хотел бы привести несколько примеров специальных функций, как они определяются с помощью рекурсии. Определим функцию г(а), равную 0 при значении аргумента О, и 1 при всех остальных его значениях. Равенства '(0) =О, г(а')= ! уже являются самой рекурсией.
Как с помощью рекурсии определяются сумма, произведение и функция а( — это известно. Функцию )«(а, Ь), . представляющую собой значение меньшего из двух чисел а, Ь, также легко определить с помощью рекурсии. ') Здесь имеется в виду формальная запись тех свойств объекта, которыми — в содержательном понимании — он ояре(Прил«, рсд.) делается посредством математической индукции с см примеры. Напомню еще два более сложных примера, Именно функцию т(и) = 1, когда а простое число, т(а) = 0 во всех других случаях и функцию и(а), определяющую число простых чисел, меньших или равных и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
