Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Пу анкаре пришзл к своему ошибочному убеждению благодаря тому, что он ие отличал друг от друга эти два совершенно различных индукционных метода. П у а н к ар е — этот богатейший идеями и плодовитейший математик своего поколения — имел, к сожалению, явно выраженное предубеждение против теории Кантора, которое мешало ему правильно судить о совершенно новой, величественной концепции К анто ра. При этих обстоятельствах П у ан к аре должен был отвергнуть мою теорию, которая, впрочем, делала в то время ещя первые, совершенно недостаточные шаги. Авторитет П у а н к а р е в значительной мере односторонне повлиял на юное поколение.
Другая оппозиция моей теории исходит от сторонников теории обоснования Ресселя и Уайтхеда, кото!Иве рассматривают Рг!Ис!р!а та!пеша!!Са ") как окончательное, удовлетворительное обоснование математики. Теория обоснования Рессел я и Уайтхеда есть общее, широко задуманное логическое исследование. В ням обоснование математики опирается, с одной стороны, на аксиому о беско- *! 97п11епе ад А. !Ч. апб князе! В., «Рппс!р!а аа11!еа~а11са», Сашьг1бйе, !1п!тегайу ргеаа, 2-е изд., !927. нечности, а с другой — на так называемую аксиому редукции; обе эти аксиомы суть в полном смысле слова гипотезы, содержательно не обоснованные доказательством их непротиворечивости, гипотезы, всеобщая справедливость которых под сомнением и в которых моя теория, во всяком случае, не нуждается.
Аксиоме Р е с селя о редукции противостоит в моей теории правило обращения ' с функциями-переменными. В моей теории возможность редукции не предполагается' сначала, а напротив, скорее признайтся не столь уж существенной; только в случае некоторого данного доказательства, приводящего к противоречию, требуется выполнение редукции, и моя теория доказательства учит, что в этом случае редукция должна всегда удаваться.
Что касается исследований новейшего времени, то тот факт, что снова так живо пробудились стремление и интерес к работам по 'обоснованию, сам по себе меня в высшей степени радует; но, представляя себе содержание и результаты этих работ, я большей частью не могу согласиться с их направлением; вернее сказать, я считаю, что ббльшая часть их отстала, что они как бы пришли к нам из того времени, когда величественный мир идей Кантора не был ещя открыт. В этом я также усматриваю причину того, что эти новейшие исследования ни разу не подошли к великим проблемам теории обоснования, как-то; к вопросу о строении функций, к докззательству или опровержению теоремы К а н тора о континууме, к вопросу о разрешимости всех математических проблем, об эквивалентности.
непротиворечивости и существования математических образов. Самое обширное место в современной литературе по обоснованиям математики занимает учение, установленное Броуером и названное им интуиционизмом. Я должен более близко рассмотреть некоторые утверждения Б р о уе р а не из склонности к полемике, а для того, чтобы ясно выразить свои взгляды и чтобы предохранить от неправильного понимания моей теории. Совершенно так же, как в своз время это делал К роне керр, Броуер обьявляет, что высказывания о суще- 889 381 ДОБАВЛВНИВ !Х ОБОснОВАния мхтамАтики ствованнн целиком и полностью не имеют никакого зна- чения, являются ничего не дающими клочкамн бумаги, если они не содержат в себе построения того образа существование которого утверждается: благодаря им ма- тематика вырожаается в игру.
Примером того, что голое доказательство существо- вания, проведенное с логической а-функцией, отнюдь не является ничего не стоящим клочком бумаги, может слу- жить следующее: Для обоснования одного высказывания Г а у с с а, согласно которому выход за обыкновенные, построенные с помощью 1 мнимые числа для анализа является из- лишним, Вейерш трасс и Дедекинд произвели исследования, которые привели к установлению и доказатель- ству некоторых теорем. Я в свой время установил общую тео- рему об алгебраических формах, которая является чистой тео- ремой существования и по своей природе не может быть превращена в теорему о построении. С помощью одного только применения этой теоремы о существовании я из- бежал«) длительных и трудно обозримых рассуждений В ей ер шт р асс а и в высшей степени сложных вычислений Делекинда, и притом моя доказательство, как я по- лагаю, впервые вскрывает внутреннюю основу, обусловли- вающую справедливость утверждений, которые имел в виду Гаусс и которые были установлены Вейерштрассом и Дедекиндои.
Доказательство непротиворечивости дает вместе с тем и общий метод для получения конечных доказательств из доказательств, проведйнных с помощью е-функции для общих теорем такого характера, как, скажем, теорема Ф ер м а. Предположим, например, что мы нашли с помо- щью а-функции доказательство для большой теоремы ферма, Из него можно затем получить конечное дока. зательство следующим образом: Предположим, что имеются числовые знаки р, а, 6, с (р.> 2), ") «Хщ ТЬеопе»!ег анв л Нанр!е!НЬейеп йе!й!де1еп Кошр!ехея Огбйея», Оо!!. !Часйг., 1896. удовлетворяющие уравнению Ф е р и а: а»+ Ь» = с».
В таком случае мы можем также получить это равенство как доказуемую формулу, выражая в форме доказательства проверку тождества числовых знаков а» + Ь» и с» . С другой стороны, согласно нашему предположению, мы имеем доказательство формулы: (Е (а) о! Е (9) 8! х, (с) й 2 (р) 8» (р ) 2)) — (а/ + Ьг + сг) из ней с помощью подстановки и вывода мы получаем: а»+ 6» ~с». Таким образом, можно доказать, что как а» + Ь» = с», так и а» + 6» ч~ с" . Однако это невозможно, как показывает доказательство непротиворечивости, проведенное конечным путям. Приведенные примеры суть только произвольно выхваченные единичные случаи. В действительности математика наполнена примерами, которые опровергают утверждения Бр о уер а относительно теорем существования, Каково же теперь истинное положение вещей в отношении упрека о вырождении математики в игру? Источником чистых теорем существования является логическая а-аксиома, на которой, в свою очередь, основано построение всех идеальных высказываний.
А каков результат ставшей тем самым возможной игры формул? Эта игра формул допускает, что вся содержание идей математической науки можно единообразно выразить и развить таким образом, чтобы вместе с тем соотношения н отдельные теоремы были понятны. Выставить общее требование, согласно которому отдельные формулы сами по себе должны быть изъяснимы — отнюдь не разумно; напротив, сущности теории соответствует, что прн ее развитии нет необходимости, между прочим, возвращаться к наглядности или значимости. Физик как раз требует от теории, чтобы частные теоремы были выведены из законов природы или гипотез с помощью Одних только умозаключений, не вводя при этом даль- 382 ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ ДОБАВЛЕНИЕ 1Х нейших условий, т, е, на основании чистой игры формул.
Только известная часть комбинаций и следствий из физических законов может быть контролируема опытом, — подобно тому как в моей теории доказательства только реальные высказывания могут быть непосредственно проверяеми. Ценность чистого доказательства существонания в том именно и состоит, что благодаря ему исключаются отдельные построения и многие разнообразные построения объединяются одной основной идеей, вследствие чего четко выступает только то, что существенно для доказательства: смысл доказательства существования состоит в сокращении и экономии мысли, Чистые теоремы о существовании служили в действительности важнейшими вехами исторического развития нашей науки.
Но подобные соображения не влияют на верующих ннтунционнстов. Игра формулами, о которой Броуер так пренебрежительно отзывается, кроме математической ценности имеет еще важное общефилософское значение. Эта игра формулами совершается по некоторым, вполне определенным правилам, в которых выражается т е х н и к а н а ш е г о мышления. Эти правила образуют замкнутую систему, которую можно найти и окончательно задать. Основная идея моей теории доказательства сводится к описаннкг деятельности нашего разума, иначе говоря, это протокол о правилах, согласно которым фактически действует наше мышление, г гышленне происходит как раз параллельно разговору и письму путйм создания и нанизывания положений, Если где-либо имеется совокупность наблюдений и явлений, заслуживающая того, чтобы стать предметом серызного и основательного исследования, то это именно здесь — ведь задача науки и состоит в том, чтобы освободить нас от произвола чувства н привычки и предостеречь нас от субъективизма, который стал уже заметным во взглядах К р о н е к е р а н который, как мне кажется, достиг своего наибольшего разнитня в интунцнонизме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
