Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Наиболее острую и страстную борьбу интуиционизм повел про~ив закона нсключЕнного третьего; например, в простейшем случае эта борьба была направлена против вывода, по которому утверждение, содержащее число-пере- менную, либо справедливо для всех целочисленных значений этого переменного, либо существует число, для которого' упомянутое утверждение ложно.
Этот закон исключвнного третьего есть следствие логической е-аксиомы и никогда не приводил нн к малейш й ошибке. К тому же совершенно ясно и црнятно, что неправомерное применение этого закона исключено. В частности, закон исключднного третьего ни в малейшей мере не повинен в появлении известных парадоксов теории множеств; эти парадоксы происходят скорее потому, что пользуются недопустимыми и бессмысленными образованиями понятий, которые в моей теории доказательства исключаются сами собою. Доказательства существования, использующие закон исключенного третьего, имеют большей частью особую прелесть благодаря своей удивительной краткости н изяществу, Отнять у математиков закон исключвнного третьего — это то же, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользование кулаками Запрещение теорем существования закона исключвнного третьего почти равносильно полному отказу от математической науки, Действительно, Какое значение имеют жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом единичные результаты, которые были выработаны без применения логической е-аксиомы интуиционнстами, по сравнению с могущественным размахом современной математики! Теоремы теории функций, если брать только отдельные примеры из нашей науки, теория конформных отображений, основные теоремы теории дифференциальных уравнений в 'частных производных и рядов Ф у р ь е — суть лишь идеальные высказывания в указанном мною смысле, и для своего развЕртывания требуют логическую е-аксиому.
Я удивлен тем, что математик сомневается в нез1ыблемой "правильности вывода при помощи закона исключэнного третьего. Я удивлен ещэ более тем, что сейчас объединилась, повидимому, целая группа математиков, которые делают то же самое. Я более всего поражен тем фактом, что вообще в среде математиков может иметь невероятнейшее и эксцентричнейшее влияние сила гипноза одного темпераментного и остроумного человека., ДОБАВЛЕНИЯ !Х Для освещения моего понимания ч вого класса я ння чисел второго число- Если лля определв са я хочу нацрмннть след ю ее у щее положение. дано определенн д л нного числа вто ого чи р елового класса то отсюда можно нне с помощью т анся ннитн р ф ной рекурсии, в котором была бы но для того же чнс ла найти определение, м ыла бы использована только обыкновенная онт в том, что рекурснонно определанн ю вычислить †подоб то можно в заданн и можно ой точке му как теоретико-числов ю нк и определенную с помощью е щью рекурсии, всегда можно вы- числить для данного числовог о значения.
Трудность прн этом прежде всего состоит в доказать что если лн дана последователь тонт в том, чтобы второго класса с помощью рекурсии ность а(п) чисел а(д') =у(а(н)), где у определяется трансфнннтной рек сией т трансфнннтную рекурсию м можно исключить. рекурсне, то эту В определенных случаях П. Вер пай Нейман у удалось провести это исключение. Этн сл ернайсу и И. фон- суть первое а-число н первое к итнч ню антора.
где Первое а-чнсло есть предел последовате. ельности а(л), а(0) =м, а (Л'1 — Ме[л) — (л — обыкновенное число), а м' определяется обычным путем с помощью ной рекурсии. щ ю трансфинитПод а-числом, согласно К а и т о яля которого а= ме. и т о р у, понимают число а, При определении с помощью обыкновенной первого е-чнсла же т в нно рекурснн переменных: уже требуются занумерованные со т же т рта »»о(")»» (а) »1л (н) -- (х) (Х„(х) (1(„(а(х))). В. Анке манн н р у едавно удалось значительно двинуться впе ед в р доказательстве непротиворечн но проечнвостн, ОБОснОВАния ИАТВМАтнки Я хотел бы закончить свой доклад очень кратким рефератом об этом Доказательства непротиворечивости для а-функции сводится к тому„ что нз предполагаемого доказательства положения 0 ~ 0 можно исключить а-функцию в том смысле, что образованные посредством нее фигуры могут быть заменены числовыми знаками так, чтобы формулы, получающиеся нз логической е-аксиомы путем подстановок— »критические формулы», — благодаря этой замене переходили бы в »правильные» формулы.
Эти замены получаются путам последовательного исключения свободных переменных посредством постепенных испытаний; требуется доказать, что этот процесс непременно закончится, Мы делаем здесь следующие частные предположения: 1.
В качестве знака для индивидуальных высказываний мы будем пользоваться только знаком =, 2. Фигуры, которые стоят в качестве аргументов,— мы их будем называть ефункцноналамн» вЂ долж, поскольку онн свободны от а-функции, либо сами быть числовыми знаками, либо должны быть построены из них с помощью знаков функций, определяемых прн посредстве рекурсионной аксиомы.
В случае, когда имеется только один образованный при посредстве е функционал и только одна критическая формула, конечность процесса постепенных замен получается следующим образом. Пусть й (() — й (е„й (х)) — критическая формула (прн этом е„й (х) может находиться также и в 1), Сначала заменйм а„й(х) повсюду через О, В таком случае все функционалы свободны также от а-функции; мы можем всб вычислить н получить для функционалов числовые значения, Теперь можно средн элементарных высказываний различать »правильные» и «ложные» по тому, будут лн прн этом совпадать числовые знаки, находящиеся в обеих сторонах равенств, нлн нет.
Вместо критических формул .Иы получаем: й (А) — й (О). 25 д. Гилъберт ДОВАВЛИНИЕ »Х 387 Либо эта формула правильна н т ьна, н тогда мы находимся 6 (А) правильно. Во втором сл чае мы наш случае мы делаем н для которого 6 оказывается верным. В то том меняем через числовой з оную замену: мы повсюд е 6 во знак 8. у 6(х) заЕслн мы теперь произве В р д м вычисление всех функциов, то критическая формула перей Е ф д т н формулу 6 (Ь), которая во всяком случае ве рна. Если же имеются несколько В- нк нй т оказаться связанными о В-функций, то онн могут ннымн сложным образом, а нменн, сто ны В В е Вл ! «оження», как-то: .6(х, В,6(у)), где и 6(, (у) свободно от переменного х, а с д гой роны, в виде «переплетення» х, а с другой сто- В„6 (х, а 6 (х, у)).
В сл чае ко у , гда имеются одни только вложения нн кнх принципиальных затр дн й вложения, ника- должны при этом обратить уднени еще не возникает. следует делать изнутри н ть внйманне на то, что за . Ыы з мену аксиому равенства наприме, что мы принимаем в а имер, при двух е-фигурах ех 6 (х, В 6 (у)), е„6(х, з„д)(у)), в случае одинаковых замен для е АА,( н а заменяем также (у) н а„й (у) внешнее е П кже одинаковым образом. оскольку замены для внут енннх а нымн, прим, й утренних а остаются нензменприм, й дл внешних е, являются оконча, примеры, найденные я ет стать невозможным тольк льнымн, ользованне ими мож прн условии, что для вн т евнег лько у р не о а найден новый пример, ким о разом, с нахождением кают все б нем примеров для е прониу , поскольку этот процесс не глу же н гл бже, нш еща к завершэнню, так что в кон це концов на- ОБОснОВАния ИАтвмАтики ходит прнмеры для а, находящегося внутри всех остальных; этн примеры, н таком случае, являются окончательными, и наибольшая степень наслоения тем самым уменьшается на 1.
Обозревая заданную фигуру доказательства, можно простым образом заранее оценить наибольшее число замен, которые могут потребоваться для того, чтобы все крнтнческне формулы стали правильными, — отсюда явствует конечный характер рассуждений, Большие трудности представляет случай переплетения. Если здесь желательно сделать замену изнутри, то в формуле а, 6 (х, е„9 (х, у)) внутреннее е: е„ 5 (х, у) нельзя, например, заменить числом, а можно заменить только функцией, В качестве заменяющих функций употребляют только такие функции, которые, за исключением конечного числа точек, имеют значение О. Всегда начинают с функции, которая постоянно имеет значение О («нуль-замена»). Однако отсюда без дальнейшего отнюдь не следует, что и в этом случае способ замены приводит к концу; но это можно доказать н получить элементарную оценку требуемого числа шагов.
Прн этом существенно, что каждый раз, когда для внутренних В пронзводнтся новая замена функцией, замена внешних а должна снова начннаться с нуль-замены. Прн этом доказательстве конечности предполагается, что В входят только непосредственно в фигуру доказательства, но не входят в рекурснонные аксиомы, введенные для определения функций, Отметим, наконец, что для того, чтобы принять во внимание аксиому полной нндукцнн, которая для целей доказательства непротнворечниостн может быть представлена в виде (В„А (х) = Ь') — А (Ь), достаточно каждый раз, когда найден пример Ь, удовлетворяющнй высказыванию д) (а), перейти к наименьшему примеру. Этот переход совершается путем отыскания пер- 25« 388 ДОВЛВЛЕИНЕ ~Х формулам: вого верного в ряду высказываний сведйнны ИЫХ К ЧИСЛОВЫМ л) (о), л) (О'),..., Лз (8) Из ска ванного мною вы узнали, что непротиворечиво что доказательство ствия моей тео ии сти есть то что оп Ф ределяет область дейтеории доказательства и что со в основном ядро этой .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
