Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 66
Текст из файла (страница 66)
М то теории. Метод В. А кке составляет допускает ешли и дальнейшее а кер манна не шее расширение. Он так далеко задача сост ш в о основании обычног о анализа, что оставшаяся ч состоит в выполнении чисто мате казательства конеч . У атематического доконечности. Уже сейчас я мог бы в к окончательного резуль в качестве ждение: математика ультата высказать еле ю ду щее утверу , в которой отсутствует а есть на ка ля ей обоснования я не нуждаюсь н р, господе-боге, ни„ как П а н к а л индукции, способности нашего разума, ни, как Б р о у е р, в первоначальной интуиции, редукции нли полно а й т х е д, в аксиомах бес конечности, ты, которые являются по л потезами содержател длинными ги- не правдоподобными. ьного характе а. и св р . , ерх того, вовсе Я хотел бы ещз отметить, что Бе най рн живал меня своими советам , рным сотрудником; он не только по е- ддер- мысли и новые и, но также б до авил некоторые точки зрения, так что э аб бы считать нашей общей.
В эту ра оту я желал о щей. соответствии с этим мы на ме- рены выпустить в свет по дробное изложение этой теории. дОВАВЛЕННЕ Х ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ" ) (Перепечатано нз Ма18ешайзсйе Аппа1еп, т. 1021 появилось также в отчетах интернационального математического съезда в Болонье в 1928 (1Ч),) Последние десятилетия были периодом наивысшего расцвета математической науки. Напомню о том, что в арифметике, особенно в теории алгебраического числового поля, были решены труднейшие проблемы и была завершена постройка этого прекрасного творения мысли, Вместе с тем удалось открытие трансцендентных функций, относящихся к числовому полю, котррые долго разыскивались и которые удалось выявить благодаря разнообразным, ранее сокровенным теоретико-числовым истинам, С другой стороны, способы образования понятий в теории идеалов были с большим успехом перенесены далеко за пределы террии чисел, в алгебру и в теорию функций, и тем самым большой комплекс математических дисциплин был приведен в единую систему.
Также н в теории функций комплексного переменного были достигнуты за истекший промежуток времени немалые успехи. В частности, благодаря развитию принципа конформного отображения, мы имеем теперь прекрасные методы получения автоморфных функций и решения проблемы униформизации.
Столь трудные теоремы существования в высшей степени упростились и стали прозрачными благодаря применению методов вариационного исчисления. ч) Йоклал, прочитанный на интернациональном математическом конгрессе в Болонье 3-го сентября 1928 г. ДОБАВЛЕНИЕ Х А какую полноту картины даат нам геометрия! Одна только топология настолько обогатилась новыми постановками вопросов и методами обработки, что в этом должно усмотреть возникновение новой самостоятельной ветви науки. Также и дисциплины, близкие старой геоиет ии,— теория групп и теория инвариантов — расширились и углубились сверх ожидания, Наконец, физика воздвигла иа наших глазах математические здания, палаты которых импонируют своим великолепием.
Мы вообще имеем в виду и приложения математики: не худшие плоды пожинает математика на полях своих приложений, будь то ез приложения к смежным дисциплинам или к вопросам, возникающим из потребностей практики. Область, в которую проникает математика, постоянно расширяется, б Столь отрадное положение вещей особенно с л о язывает математиков укреплять математику в е6 основах.
Каково же было состояние вопроса об обосновании к началу этого столетияй Великими классиками и творцами исследований по обоснованиям были Кантор Фреге Д- декиид; они нашли своего конгениального истолкователя в лице Цермело. Цермело установил предположения, необходимые для аксиоматического построения теории множеств и тем самым уточнил методы, которые Кантор и Дедекиид применяли неточно и отчасти бессознзтельио. К тому же эти аксиомы Цермело таковы, что не могло явиться серьЕзного сомнения в их справедливости. Образ действия Цем бы ело был вполне оправдан и соответствовал аксиоматичетвия ерскому методу. ВСЕ же пути, которыми швл Цермело, под влиянием руководивших тогда математикой кругов были оставлены, Старые возражения Кронекера, направленные против Кантора и Дедекинда, которые мы считали уже давно преодолянными и которым сам Кронекер не следовал в своих работах, были выдвинуты вновь, И именно Пуанкаре, этот мастер искусства математического изобретения,.из-за несчастного понимания метода математической ин индукции †.
понимания, которое уже два десятилетия до того Дедекинд опроверг с помощью обстоятельного доказательства, — помешал продвижению вперял. Пуанкаре выдвинул пРОБлемы ОБОсНОВАния мхтемАтики и поддерживал новое запрещение, запрещение непредика- тивных высказываний, хотя Цермело тотчас же указал убедительный пример против этого запрета и, кроме того, этот запрет противоречил результатам Дедекннда, К со- жалению, в остальном глубоко идущая логика Ресселя, будучи применена к матеиатнке, также содействовала лже- учению, Таким образом, произошло то, что наша любимая наука в вопросах, касающихся ея арифметической сущности и ее основания, как бы находилась в продолжение двух десятилетий в каком-то летаргическом сне.
Я приветствую как пробуждение, как сияющую зарю тот факт, что впоследнее время ряд молодых математиков снова вернулся к идеям Цермело; эти математики дополнили- аксиомы Цермело и успешно разработали при этом ряд важных, глубоких вопросов, Правда, окончательное решение проблем обоснования с помощью ю этого аксиоматического способа никогда не будет возможно, Действзтельно, аксиомы, положенные Цер- мело в основание, содержат настоящие содержательные как мне пр едположення, и в доказательстве их состоит, кажется, главная задача исследований по обоснованию иатематики — ведь уже тогда доказательство иепротйворе- чнвости арин ти арифметических аксиом было жгучим вопросом, Если же мы примем за исходный пункт и основание дока- зательства содержательные аксиомы, то математика тем самым потеряет характер чего-то абсолютно достоверного, П и едпосылки, мы переходим в область пробле- матичного, так как различия в мнениях людей основываются больше ч й частью иа том, что люди исходят из различных предпосыл к.
сылок. Поэтому в последнее время в ряде докладов по обоснованиям математики я выбрал новый путь для б ки проблем обоснования. С помощью этого нового обосновании математики, которое справедливо может быть н азвано теорией доказательства, я надеюсь с вопросами обоснованна математики, как таковыми, покончить е,, что я каждое математическое высказывание превращу в до- ступную конкретному показу и строго выводимую формулу в в область и тем самым перемещу весь комплекс вопросов в чистой математики. 392 393 ДОВАВЛЕНИЕ х ПРОВЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ Для полного проведения этой задачи необходимо преданное сотрудничество молодого поколения математиков.
Я желал бы сегодня подробнее осветить в указанном мною направлении некоторые вопросы. Все важнейшие проблемы концентрируются вокруг выставленной мною так называемой е-аксиомы, которая гласит: А (а) — А (е (А) ). П ри применении этой аксиомы следует прежде всего об ег о ращать внимание на вид тех переменных, к которым относится е. Когда имеют дело с числами, то то же самое служит для формулировки обычных выводов, содержащих слово к «некоторые»: под е (Я) понимают некоторое число, для оторого высказывание Л наверное справедливо, если вообще такое число существует. Я хотел бы указать некоторые проблемы.
В работах Аккерманнан) и Неймана"") проводится доказательство непротиворечивости е-аксиомы для чисел; тем самым разрешены следующие трн проблемы: 1. Закон исключенного третьего для чисел, т. е. утверждение: если некоторое высказывание не для всех целых чисел имеет место, то существует число, для которого это высказывание неверно. Например, согласно Кронекеру, целую рациональную функцию переменной х с целыми коэффициентами недопустимо определять как неприводимую тем, что не существует представления этой функции в виде произведения такого же рода двух функций. Я же, с помощью теории доказательств, показываю, что, наоборот, это определение является в чисто математическом смысле вполне строгим; поэтому утверждение Кронекера не только логически неправильно, но и в чисто арифметическом смысле неверно — неверно в том смысле, в каком бывает неверна ложНая арифметическая теорема или ложная теоретико-числовая формула. «) А с Хе г а а п и, «Вейгпидиидиее „!егйиа ион дащг' ии!!е!е бег Н!)Ьег!«спел ТЬеопе бег Ъ%«)егергисйе!ге!Ье!!», Ма!Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
