Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 61
Текст из файла (страница 61)
е. математическую науку. Но на радостях по поводу наших успехов вообще и, в частности, по поводу исчисления логики, которое мы, не затрачивая на то никаких усилий, нашли в качестве столь необходимого оружия, мы не лолжны вез же забыть о существенной предпосылке, опрелеляющей наши действия. Существует одно условие, правда, только одно, но зато абсолютно необходимое, с которым связано применение метода идеальных элементов; этим условием является доказательство непротиворечивости: расширение, осуществляемое прибавлением илеалов, допустимо только при условии, что из-за этого в старой, узкой области никаких противоречий не возникает, т. е, при условии, что соотношения, которые получатся для старых образов после исключения идеальных, всегла в старой области имели место.
Однако эта проблема непротиворечивости при настоящем роложенин вещей вполне доступна для исследования: Именно, подставив в логическую формулу (А Й А) - В, которая следует, как это уже было указано, из аксиом отрицания, вместо В неравенство О ~- .О, мы получим: (Айс А)- 0~0. Таким образом, для локазательства непротиворечивости нам теперь необходимо только показать, что при доказательстве, проведенном по установленным правилам, «О~ 0» не появится в качестве заключительной формулы н, таким образом, что «О=,Ф=О» не есть доказуемая фор- мула, А это является залачей, которая принципиально лежит в области наглядного рассмотрения, аналогично тому, как, скажем, задача об иррациональности )~ 2 (т.
е. доказательство того, что невозможно найти таких два числовых знака о и Ь, которые связаны соотношением а' =2Ь», где, следовательно, должно быть показано, что невозможно задать два числовых знака, облалающих некоторым вполне определзнным свойством) находится в содержательно построенной теории чисел, Соответственно этому, нам надо доказать, что невозможно лать доказательство, обладающее некоторым вполне определанным свойством, Но ведь формализированное докззвтельство, точно так же, как и числовой знак, является конкретным и обозримым предметом; оно сообщаемо от начала до конца.
Также и требуемое свойство заключительной формулы, состоящее в том, чтобы она гласила «О ~0», является конкретно устанавливаемым свойством доказательства, Все это можно действительно осуществить, и тем сзмым оправдывается введение наших идеальных высказываний. Вместе с тем, мы решили ещз проблему', которая давно уже была весьма актуальна, а именно — проблему о непротиворечивости аксиом арифметики. Всюду, гле применяется аксиоматический метод, возникает проблема — доказать непротиворечивость устанавливаемых аксиом.
Ведь при выборе, трактовке и употреблении аксиом и правил мы не хотим зависеть только от доброй веры и слепого доверия. В геометрии и в физических теориях доказательство непротиворечивости удабтся свести к вопросу о непротиворечивости аксиом арифметики. К самой арифметике этот метод, очевидно, не применим. Наша теория доказательства на основании метода идеальных элементов разрешает сделать этот последний важный шаг и тем самым завершает постройку учения об аксиоматике, И то, что мы дважды пережили, когда сначала речь шла о парадоксах исчисления бесконечно малых, а затем — о парадоксах теории множеств, — это впредь в царстве математики невозможно.
Наша теория доказательства, набросок которой мы здесь дали, в состоянии не только сделать надзжными основы математической науки, но, я полагаю, открывает до- 364 довлвлвние щц рогу для разработки общих вопросов принципиального характера, попадающих в область математических размышлений — вопросов, к которым раньше не могли приступить. Математика превращается, некоторым образом, в третейского судью, в трибунал высшей инстанции, выносящий .
решение по принципиальным вопросам, прйчем такое расширение роли математики происходит на конкретной базе, на которой все должны суметь договориться, и где каждое утверждение контролируемо. Так же и утверждения нового, так называемого кинтуиционизмав, — как бы скромны они ни были, †преж всего должны, по моему мнению, получить от этого три. бунала свое право на существование.
В заключение мы хотим из всех наших рассуждений сделать некоторое резюме о бесконечном. Общий вывод таков: бесконечное нигде не реализуется. Его нет в природе, и оно недопустимо как основа нашего разумного мышления, — здесь мы имеем замечательную гармонию между бытием и мышлением. В противоположность стремлениям Фреге и Дедекинда, мы пришли к убеждению, что в качестве предварительного условия для возможности научного познания необходимы некоторые геометрическинаглвдные представления и рассмотрения и что одна только логика недостаточна. Оперирование с бесконечным может стать йадджным только через конечное.
Роль, которая остается бесконечному, это только роль идеи, — если, согласно Канту, под идеей подразумевать понятие, образованное разумом, которое 'выходит за пределы всякого опыта и посредством которого конкретное дополняется в смысле цельности, — более того, идеи, которой мы можем вполне доверять в рамках, поставленных теорией, намеченной и защищаемой мною здесь.
Наконец, я хотел бы выразить свою благодарность П. Бернайсу за проведенную совместную работу и ценную помощь, оказанную им мне как по суцтеству вопроса, так и в отношении редакции, ДОБАВЛЕНИЕ И' ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ+) (Сокращенное изложение статьи из «АЬЬапб1ппдеп без ша!Ьешайвсйеп Яеш1пагз яр НашЬцгд>, т.
6, 1Д28; выпущено Гамбургским семинаром также отдельным оттиском.) Я считаю большой честью и вместе с тем и долгом для себя дополнить и продолжить мысли об обосновании математики, которые я однажды, пять лет тому назад, здесь излагал и которые меня с тех пор живейшим образом занимали.
С помощью этого ново~о обоснования математики, которую справедливо можно именовать теорией доказательства, я преследую важную пель: именно, я хотел бы окончательно разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми, превратив каждое математическое высказывание ' в поддающуюся конкретному показу, строго выводимую формулу и тем самым приведя образования понятий и выводы, которыми пользуется математика, к такому изложению, при котором они были бы неопровержимы и все же давали бы картину всей науки. Я надеюсь, что смогу с помощью своей' теории доказательства полностью достигнуть этой цели, хотя до ев полного завершения неббходима еще ббльшая работа.
Математика, как н любая другая наука, не может быть основана только на логике; наоборот, в качестве предварительного условия для применения логических умозаключений и приведения в действие логических операций нам ") Доклад, прочитанный в июле 1927 г. по приглашению ыа. тематического семинара в Гамбурге. 367 ДОВАВление (х ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ )/, —, (х), (Як) (и) (или, либо) (ие) ( е) (существ) ет) (свевует. есеи — то) Некоторые определенные формулы, которые служат фундаментом этого формального построения математики, называются аксиОмами. Доказательство есть фигура, которая должна наглядно предстать перед нами; она состоит из выводов, делаемых согласно схеме в нашем представлении уже должно быть дано нечто, а именно в определвнные внелогические конкретные объекты, которые существуют наглядно, в качестве непосредственных переживаний до какого бы то ни было мышления.
Для того, чтобы логические выводы были нздйжны эти объекты должны быть полностью во всех своих частях обозримыми; нх показ, их различие, их следование друг за другом и существование одного из них наряду с другими даются непосредственно, наглядно, вместе с объектами как нечто, не могущее быть сведзнным ни к чем дру ому и не нуждающееся в таком сведении, Это — та г . У основная философская установка, которую я считаю необходимой как для математики, так и для всякого научного мышления, понимания и сообщения. В частнос и ти, в математике предметом нашего рассмотрения являются сами конкретные знаки, вид которых, согласно нашей установке, может быть непосредственно отчетливо и многократно опознан.
Это — наименьшее количество предварительных предположений, без которых ни один научный мыслитель не может обойтись и которые поэтому каждый, сознательно нли бессознательно, доля(ен соблюдать. Основная мысль моей теории доказательства такова: все высказывания, которые составляют вместе математику, превращаются в формулы, так что сама математика превращается в совокупность формул, Эти формулы отличаются от обычных формул математики только тем, что в них, кроме обычных знаков, встречаются также и логические знаки: 1, 4, Аксиомы следования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
