Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 59
Текст из файла (страница 59)
А содержательные логические выводы, когда мы их применяли к действительным вещам или событиям, — разве они нзс гделибо обманывали и где-либо нзм изменялий Нет — содержательное логическое мышление необходимо. Оно нзс обманывало только тогда, когда мы принимали произвольные збстрактные способы образования понятий; мы в этом случае как раз недозволенно применяли содержательные выводы, т. е. мы, очевидно, не обратили внимания на предпосылки, необходииые для применения содержательного вывода.
В признании того, что такие предпосылки ииеются и должны приниматься во внимание, мы согласны с философаии, особенно с Кантом. Уже Кант учил — и это со- ставляет существенную часть его учения,— что математика обладает не зависящим от всякой логики устойчивым содержанием, и потону она никогда не может быть обоснована только с помощью логики, вследствие чего, между прочим, стремления Дедекинда и Фреге должны были потерпеть крушение. Наоборот, кое-что уже дано в нашем представлении в качестве предварительного условия для применения логических выводов и для выполнения логических операций: определйнные, внелогические, конкретные объекты, которые имеются в созерцании до всякого иышления в качестве непосредственных переживаний.
Для того чтобы логические выводы были нздйжны, эти объекты должны быть обозрииы полностью во всех чзстях; их показания, их отличие, их следование, расположение одного из них наряду с другим дазтся непосредственно нзглядно, одновременно с самими объектами, как нечто такое, что не может быть сведено к чему-либо другому и не нуждается в таком сведЕнии. Это — та основная философская установка, которую я считаю обязательной как для математики, так и вообще для всякого научного мышления, понимания и общения и без которой совершенно невозможна умственная деятельность. В частное~и, в математике предметом нашего рассмотрения являются конкретные знаки сами по себе, облик которых, согласно нашей установке, непосредственно ясен и может быть впоследствии узнаваем, Припомним сугцность и методику теории обыкновенных конечных чисел..ВЕ, разуиеется, можно построить отдельно, конструируя числа с помощью содержательных, нзглядных соображений.
Однако математическая наука отнюдь не исчерпывается числовыми равенстваии и не сводится к одним только этим равенствам. Можно утверждать, тем не менее, что она является аппаратом, который при применении его к целым числам всегда должен давать верные числовые равенства. В таком случае ставится требование настолько исследовать строение этого аппарата, чтобы в этом убедиться. Вспоиогательным средством при этом служит нам только тот же конкретно содержательный способ рассмотрения и конечная установка мышления, как они применялись для довьзление тпе О ВЕСКОНЕЧНОЫ получения числовых равенств при построении теории чисел, Это познавательное требование в действительности выполнимо, т.
е. иожно получить чисто наглядным, конечным способом — совершенно так же, как получаются истины теории чисел в те рассмотрения, которые ручаются за достоверность математического аппарата. Рассмотрим теперь ближе теорию чисел, В теории чисел иы имеем знаки; 1, 11, 111, 11111, где каждый числовой знак можно распознать благодаря тому, что в ням за 1 всегда следует опять 1, Эти числовые сииволы — они и являются объектом наших рассуждений — сами по себе не имеют никакого значения. Кроме этих знаков в элементарной теории чисел пы пользуеися ещй и другими знаками, которые нечто означают и служат для сообщений, Так, мы пользуемся числовым знаком 2 для сокращенной записи числового знака 11, или числовым знаком 3 для сокращенной записи числового знака 111; далее, мы применяем знаки )= .= ~ и дргие, которые служат нам для сообщения утверждений, Так 2 + 3 = 3 + + = 3+ 2 должно служить для сообщения того факта, что 2+3 и 3'+2, если принимать во внимание сокращзнную запись, которой мы пользовались, являются одним и тем же числовым знаком, а именно числовым знаком 11111, Точно так же 3 .»2 служит для сообщения того факта, что знак 3, т, е.
111, выступает за знаком 2, т. е, 11, или что этот последний знак является частью первого. П ри сообщениях мы будем пользоваться в качестве числовых знаков также и букнами О, 6, с. Согласно этому, 6 >а является сообщением того, что числовой знак 8 выступает за числовым знаком и, Точно также, если исходить из этой точки зрения, а+8=8+а есть сообщение, что числовой знак О + Ь означает то же, что и числовой знак 8 + а. При этом содержательная. правильность этого сообщения может быть доказана с поиощью содержательного вывода, и мы можем с этим наглядн ~м со еь држательным способом обсуждения пойти очень далеко вперед. Я хотел бы показать вам только один припер, в котором переходят за этот наглядный способ обсуждении. Самым большим (39 цифр) из известных до сих пор простых чисел является Р=170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727.
С помощью известного евклидовского способа мы можем доказать, рассуждая полностью в рамках нашей установки, что между )) + 1 и р)+ 1 беэусловно существует новое простое число, Это высказывание само по себе также соответствует нашей конечной установке, так как слово «суи1«салвуегл» служит в даннои случае только для того, чтобы короче сформулировать следующее высказывание: Безусловно р+1 или р+2 или р+3....
или «!+1 есть простое число. Но, далее, очевидно, то же я могу выразить словами: существует простое число 1. >» и в то же время 2. Я р)+ 1. Отсюда мы приходим к формулировке теореиы, которан выражает только часть евклидовского утверждения. существует простое число .> р. Хотя по своему содержанию это последнее утверждение гораздо уже евклидовского и хотя переход кажется совершенно безобидным, все же это есть прыжок в трансфинитное н), если только это частичное высказывание рассматривать, как саиостоятельное утверждение, вне вышеприведенной связи. Как это может быть7 Мы имеем здесь высказывание о существовании: «существует»1 Правда, мы встречаем уже это слово в 'теореме Бвклида, Однако там, как я уже говорил, слово «существует» представляло собою другой сокращйнный способ выражения того, что либо р+1, либо р+2, либо р+3, ..., либо р)+! *) В смысле «а»конечное .
(Прим. ред.) 23 д. гклеаере 864 ДОБАВЛЕНИЕ ЧЫГ О БЕСКОНЕЧНОМ есть простое число, подобно тому, как длинную фразу: «либо этот кусок мела красен, либо тот кусок мела красен, либо ..., либо кусок мела, лежащий вон там, красен» заменяют короткой: «среди этих кусков мела имеется крзсный кусок». Такого рода утверждение, говорящее о том, что среди некоторой конечной совокупности предмет, обладающий определянным свойством, «существует», полностью соответствует нашей конечной установке.
Напротив того, альтернатива «либо р+1, либо р+ 2, либо'р+3, ... и тзк до бесконечности — есть простое число> является, так сказать, бесконечной «или-связью», и подобный переход к бесконечному без особого объяснения и без необходимых при случзе правил предосторожности так же мало дозволен, как мало дозволен в анализе переход от конечных произведений к бесконечным„ н, прежде всего, он, вообще говоря, не имеет смысла. Вообще, если исходить из конечной точки зрения, то выскззывание вида «существует число, имеющее такое-то и такое-то свойство» имеет смысл только как частичное высказывание, т.
е. как часть более определенного высказывания, более точное содержание которого, однако, для многих приложений несущественно. Таким образом, мы натолкнулись здесь на трансфинитное при разложении высказывания о существовании на части, ни одна из которых не может быть истолкована как «или-сзязь». Равным образом, мы приходим к трансфинитному, когда мы отрицаем общее, т.
е. распространяющееся на любые числовые знаки, утверждение. Так например, для высказывания: если а — числовой знак, то всегда должно быть а+1=1+а, — с конечной точки зрения ме можегл быгль сосглавлено его ол»рацамие. Мы можем себе это уяснить, если вспомним, что если исходить из этой точки зрения, то это высказывание означает не соединение бесконечного множества числовых равенств союзом «и», а суждение гипотетического характера, которое нечто утверждает только для того случая, когдз перед нами имеется некоторый числовой знак.
Отсюда, в частности, следует, что в смысле конечной установки нельзя применить альтернативу,' согласно которой равенство, подобное ж«шеприведзнному, включающее в себя неопределзнный числовой знак, либо выполнается для любого числового знака, либо опровергается противоречащим примером. Действительно, эта альтернатива, валяющаяся применением закона Тег1гшп поп с)а1нг (закона исключзнного третьего), существенно опирается на предположение, что утверждение общей действенности этого равенства может быть отрицаемо.
Во всяком случае констатируем: если мы остазмся в области конечных высказываний, как нам это н приходится делать сначала, то в таком случае имеют место ие поддающиеся обозрению логические соотношения, и эта необозримость доходит до нестерпимости, когда слова «все> и «существуют» комбинируются и вставляются в теоремы, Во всяком случзе, те логические законы, которыми люди, с тех пор как они мыслят, всегда пользовались и о которых учил уже Аристотель, несправедливы в конечном. Мы бы могли найти выход в том, чтобы установить логические ззконы, справедливые в области конечных высказываний; но это не принесло бы нам никакой пользы, так как мы ведь не хотим отказаться от пользованиа простыми законами арнстотелевой логики, и никто, говори он даже ангельским языком, не удержит людей от того, чтобы отрицать любые утверждения, образовывать частичные суждения и применять закон исключенного третьего.
Как же нам теперь быть? Вспомним, члю мы — ма»лег«аглш«з и в качестве таковых уже не раз находились в аналогичном затруднительном положении и что тогда нас выводил из этого положения гениальный метод идеальных элементов. Некоторые яркие примеры применения этого метода- я приводил уже вач в начале доклада, Так же, как было введено 1= )г — 1 для того, чтобы удержать законы алгебры в простейшем виде, например, теорему о существовании и числе корней уравнения; так же, как произошло введение идеальных Я« О БЕСКОНЕЧНОМ 356 ДОБАЯЛЕНИЯ ЯП1 факторов, опять-таки для того, чтобы оставить в силе простейшие законы делимости для целых алгебраических чисел, когда мы, например, вводим общий идеальный делитель чисел 2 и 1+1~ — о, хотя в действительности таковой не существует; точно так же и здесь и конечным высказываниям мы должны ирисовдинил1ь идеальные высказывания для того, чтобы удержать формально простые законы обычной арнстотелевой логики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
