Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Из одних только аксиом 1, 2 слелуют, как мы видели раньше, только однородные равенства, а именно равенства вида а=а. Точно так же аксиома 3, если мы в ней за х примем некоторую иыслимую вещь, даст нам только однородные равенства. В заключении аксиомы 4 Опять-таки должны всегда находиться только однородные равенства, если только посылка представляет собою однородное равенство; таким образом, следствием аксиом 1 — 4 могут быть только однородные равенства, Между тем, равенство б, которое как раз и должно быть доказано, безусловно не однородно, так как в ням вместо хЫ! надо взять некоторую комбинацию, вследствие чего левая его часть будет представлять комбинацию трех илн большего числа простых вещей, между тем как его правая часть попрежнему остаятся комбинацией двух простых вещей; б и 1.
Тем самым, как мие кажется, указана основная инея, дающая возможность убедиться в правильности моего ут- верждения; для полного проведения доказательства необходимо понятие конечного порядкового числа и некоторые определенные теоремы, касающиеся понятия равночисленности, которые на этой стадии можно уже действительно без труда установить и вывести; для полного проведения указанной основной идеи надо принять во внимание ешли н те точки зрения, на которые я кратко укажу в конце своего доклада (ср.
Ч). Желаемое распределение на классы получается, таким образом, если все вещи а, где а есть вывод из аксиом 1 — 4, причислить к классу существующих, а все отличающиеся От них вещи, в частности вещь с(бх) =б1, отнести к классу несуществующих. Благодаря найденному, таким образом, свойству установленных аксиом, мы убеждаемся в том, что эти последние никогда не приводят к противоречию, а потону определяемые иии мыслимые вещи б, с, с' называем понятиями илн операциями, н е п р о т и в о р е ч и в ыми или сущестлующими без противоречий. В частности, что касается понятия о бесконечном б, то посредством вышеизложенного истолкования утверждение о существовании бесконечного б оказывается оправданным,так как оно получило теперь вполне определйнное значение и постоянно применяемое в дальнейшем содержание. 'г(амеченное здесь исследование представляет собой первый случай, где удалось провести прямое доказательство непротиворечивости аксиом; Обычные до сих пор методы лэказательств, особенно в геометрии, методы подходящей специализации или.
построения примеров в данном случае отказываются служить, Это прямое доказательство в данном случае удаятся, как видно, в значительной иере благодаря тому обстоятельству, что высказывание вида а, т. е. высказывание, согласно которому некоторая определянная комбинация должна принадлежать к классу несуществующих, выступает в качестве утверждения только в однои месте, именно в аксиоме 5. Переведя на выбранный мною язык известну!о аксиому О ПОЛНОЙ ИндуКЦИИ, МЫ ПОДОбным же образом придйм к заключению о непротиворечивости расширенной, таким ззг ДОВАВЛЕНИЕ ЧП ОБ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ ззз образом, системы аксиом, т.
е. к доказательству непротиворечивого существования так называемой наименьшей бесконечности" ) (т. е. порядкового типа 1, 2, 3,,). Не представляет затруднения обосновать, исходя нз вышеустановленных принципов, понятие конечного порядкового числа; такое обоснование зиждется на аксиоме о том, что каждое множество, которое содержит первый элемент порядкового числа и которое, всякий раз как оно, содержа некоторый элемент, содержит также и следующий за ним элемент, должно обязательно содержать и последний элемент, Доказательство непротиворечивости этой аксиомы получается здесь очень легко посредством использования какого-либо примера; таковым может служить хотя бы число два, В таком случае надо будет показать, что возможен такой порядок элементов конечного порядкового числа, при котором каждое подмножество эгого последнего имеет как первый, так и последний элемент — этот факт мы доказываем, определяя мыслимую вещь ( аксиомой (х(у и у(з) (х(з и убеждаясь затем в непротиворечивости установленных аксиом после присоединения этой новой аксиомы, как только х, у, х обозначают произвольные элементы конечного порядкового числа.
При использовании факта существования наименьшего бесконечного, выводится также и теорема о том, что для всякого конечного порядкового числа может быть найдено большее порядковое число. Принципы, которыми следует руководиться прн построении и дальнейшем выводе законов математического мышления в том духе, который мы имеем в виду, вкратце суть следующие: !. Достигнув в развитии теории известной ступени, я имею право некоторое дальнейшее высквзывание считать *) См. раздел 2 моего доклада «Математические проблемы», сделанного на Интернациональном математическом конгрессе в Па! иже в 1900 году !«Непротиворечивость аксиом арифметики», «01е '»УЫегвргис!»»1ов!йхе11 йег апйвпейвспеп АХ1оте»). правильным, ьак только установлено, что оно, будучи присоединено в качестве аксиомы к высказывани» м, которые были найдены до сих пор в качестве правильных, не приводит к противоречию, т.
е. что оно приводит к следствиям, которые, по отношению к некоторому определенному раз- делениЮ вещей на классы существующих и несуществующих, все являются правильными высказываниями, Вч Встречающиеся в аксиомах «пронзвольные» вЂ” кото рые заменяют понятия «каждый» или «все» обычной логики — могут представлять только те мыслимые вещи и комбинации этих последних, которые либо должны быть на известной ступени приняты в качестве основных, либо полностью определены. Поэтому при выводе следствий из аксиомы « произвольные» следует замещать только такими мыслимыми веща»»и и их комбинациями. Следует также надлежащим образом обратить внимание на то, что при присоединении и принятии в основу новой мыслимой вещи значение всех предшествующих аксиом расширяется и, соответственно, они должны быть подвергнуты целесообразному изменению.
!!!. Мн оже ств о вообще определяется кзк мыслимая вещь л», а комбинации л»х называются элементами множества»п, так что,— в противоположность обычной трактовке, — понятие элемента появляется как более позднее порождение понятия множества, Как понятие «множество», так н понятия «сон оставление», «преобразование», «соотношение», «функция» сутЬ мыслимые вещи, для которых так же, как это было сделано раньше с понятием «бесконечность», следует соответствующим образом выбрать подходящие аксиомы, а затем эти понятия в случае возможности разбиения соответствующих комбинаций на класс существующих и несуществующих могут быть познаны существующими непротиворечиво.
В пункте 1 вырзжеи тот т в о р ч е с к и й принцип, который позволяет нам свободно пользоваться созданием вся новых и новых понятий, ограничивая это образование новых понятий одним только условием: избегать противоречий. Парадоксы, упомянутые в начале' этого доклада, оказываются 334 ДОБАВЛЕНИЕ УИ ОВ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ 335 невозможными благодаря принципам !! и Н1; в частности, это касается парадокса о множестве всех множеств, не содержащих самих себя в качестве элемента, Чтобы сделать убедительным далеко идущее по своему содержанию совпадение понятия множестна, определднного в пункте П1, с обычным понятием множества,' я докажу следующую теорему: Пусть 1,..., а,, 1 суть положенные в основу на известной ступени мыслимые вещи и пусть а(е) является их комбинацией, содержащей произвольное с; далее, пусть а (а)— истинное высказывание (т, е, а(а) принадлежит к классу существующих); в таком случае безусловно существует мыслимая вещь т такого рода, что а(тх) для произвольного х представляет только истинные высказывания (т.
е. а (тх) всегда находится в классе существующих),и обратно, всякая вещь с, для которой а(с) есть истинное высказывание, будет ранна некоторой комбинации тхЫ1, так что высказывание 'х = тхт! истинно, т. е. вещи с, для которых а(;) есть истинное вы- сказывание, образуют элементы множества т в смысле выше- приведенного определения, Для доказательстна установим следующую аксиому: пусть т есть мыслимая вещь, для которой высказывания 7.
Н(ч)) т'.-=с, 8. Н(с)~ т8=- а истинны, т, е. если ч есть такого рода нещь, что а(:) при- надлежит к классу существующих, то ай=с; в противо- положном же случае т-'=а. Присоединим эту аксиому к аксиомам, которые имеют место для вещей 1, а, и положим, что при этом мы приддм к протиноречню, т, е. что вещи 1,..., а,... 1 одновременно приводит к следу- ющим следствиям: р(т) н р(т), где р(т) есть некоторая комбинация вещей 1,..., г, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
