Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 51
Текст из файла (страница 51)
верхности как функции и и о, полагая х=х(и,о), у=у(и,о), г=х(и,о), то эти последние для достаточно малых значений и н о будут также регулярными аналитическими функциями и и о. Из теории поверхностей постоянной отрицательной кривизны, равной — 1, известны следующие положения: Если буквой 9 мы обозначим угол между двумя асимптотическими линиями, проходящими через точку и, о, то для трех коэффициентов первой основной квадратичной фоРмы мы получим следующие значении: е— : ' ( — '") + ( «) + ( — ') =-1, дх дх д«д«дг дз + — + — — =со5 р, ди до ди до ди до =-('-:)'+ ®'+ ®'=' и, слеловательно, квадрат производной от длины дуги произвольной кривой, лежащей на этой поверхности, по какому-нибудь параметру 1 выразится так: Угол .9, рассматриваемый как функция от и и о, должен удовлетворять уравнению в частных производных.
дэт У-д-= 5!п 9 ). Если отказаться от однозначного отнесения каждой точке поверхности пары чисел и, о, то можно сделанное построение распространить на любые значения и, о. Вообще говоря, и-линня, проходящая черезточку О, может оказаться замкнутой; но все же, на основании предположения, сделанного нами относительно поверхности (стр.
305), на ней можно откладывать по обе стороны от точки О сколь угодно болыпие длины. Таким образом, каждому значению и соответствует точка на асимптотической линии. ") Первоначально я доказал невозможность существования поверхностя постоянной отрицательной кривизны, не имеющей особых точек, ва основавин этой формулы (Тгапэас!!опэ о1 гве АтеПса!и Ма!П. Яос!е!у, т.2,190!). Затем Хол ьм грен (Е. Но! пэйгеп) дал более аяалвтнческое доказательство того же факта, также опираясь яа формулу (3) (Сояр1еэ гепдээ, Рапэ, 1912), Приведенная здесь переработка доказательства Х о л ь мг Реп а примыкает к тому изложению этого доказательства, которое было дано В. Б л я ш к е в его «дифференциальной геометрии», т.
1, й 96. В связи с монн первоначальным доказательством см. также йзложенне Л. Б ибер ба ха (Асга ша!Пеша1!са, т.48), 20» довавлвинв я В каждой такой точке Р рассмотрим проходящую через ней другую асимптотическую линню. На этой линии мы прнмем в качестве параметра о отсчитываемую от точки Р длину дуги (со знаком); снова по обе стороны от Р на асимптотической линни можно отклалывать сколь угодно большие длины, Каждой паре значений и, о соответствует, таким образом, однозначно — но, вообще говоря, отнюдь не взаимно однозначно — некоторая точка нашей поверхности. Итак, мы получили то, что на геометрическом языке называется отображением евклидовой плоскости (и, о) в целом на некоторую накрывающую поверхность нашей заданной поверхности или на ед часть Теперь надо, прежле всего, показать, что каждая и-линия нашей поверхности является асимптотической линией и что параметр и на этой линии представляет алину ей луги.
Для линии и = 0 мы это уже знаем, Далее, на основании формулы (2), лающей представление лннейного элемента, это имеет место для кусков и-линяй, которые принадлежат окрестности точки (и, 0), Для общего доказательства достаточно убелиться в правильности следующего утверждения: ° Вела а — положительное число, а Ь вЂ” любое действительное число, то образ кажаого отрезка — а(иЯ+а, о=д представляет на нашей поверхности кусок асимптотической линии или послеловательность ей кусков, а параметр и при этом представляет длину луги на 'этой линии.
При Ь=О эта теорема справедлива. Следует, далее, показать, что: 1) если эта теорема справедлива прн 6=да, то она справедлива также и при любом д, достаточно мало отличающемся от да; 2) если эта теорема справедлива для Ь, ( Ь ( дз, то она справедлива также н прн б= д, и при Ь = Ьв, Доказательство это получается путйм использования непрерывности и применения теоремы Гейне-Бередя о конечном покрытии. о поввгхностях постоянной гахссовой квнвнзны 309 Итак, спйаведлнвость этой теоремы доказана для всех значений Ь.— Пусть теперь а=а(и,о) означает (как н на стр. 307) угол между двумя аснмптотическимн линиями, проходящими через точку поверхности (и, о), причйм пусть этот угол отсчитывается от положительного и-направления к положительному о-направленню.
Эта функция м (и, о) должна быть определена и непрерывна для всех значений и, о н обладать непрерывными частными производными, удовлетворяющими д и ф ф е р е н ц и а л ь н о м у у р а в н е н н ю (3). С помощью соответствующего выбора положительных и- и о-направлений мы можем во всяком.
случае достичь того, чтобы в точке и=о=О имели место неравенства: 0(у<' и и — ~0. Так как у ннгде не равно ни О, ни и, то, вследствие непрерывности функции у(и, о) для всех значений и, о, должны иметь место неравенства Оч, м(и,о) (и, а слеловательно, и неравенство з(п м) О, Одпако функции у (и,о), обладающей этими свойствами, не существует. Действительно, из дифференциального уравнения дат ди ди — = — з1п ф следует, что — ) О, и, следовательно, функция — при дат дв ди ди и увеличении о растят.
В частности, — (О, 1) ) — (О, 0) ~ О, а потому можно найти такое положительное число а, для которого при 0(иЯЗа имело бы место неравенство — ~(~, 1)) О, 3!О о поввехиостях постоянной гльссовой кеивизны 011 довлвлвиие ч Пусть т означает положительный минимум функции — У (и, 1) прн 0 Я и( За. В таком случае, при о'=" 1: р(а,о) — р(Ого) = о-(Эа,о) а~ ~ — (Эа, 1) а ) т. а ) и аналогично р(За,о) — р(2а,о)) т.а; таким образом, !р(а,о)= р(О,о)+т а) т а, р(2а,о) Я р(За,о) — т.а(п — т а. Далее, при ОЯи~ За,о~1 имеем: ЗУ (и, о) = ~~ (и, 1) ) 0' таким образом, р(и,о) растят монотонно вместе с и.
По- этому при а(и~2а, о'=1: 0(т а(р(а,о)( р(и, о) Яэ(2а,о)(п — т.а, и, следовательно, з!ор(и,о)) з!п(т а)=М, где М)0 и не зависит от и,о. Вследствие этого величина двойного интеграла ~ з!яр(и,о)!упала, распрбстранбнного на прямоугольник с вершинами (а, 1), (2а, 1), (2а, 'ь'), (а, )г), (1') 1), больше М а(1' — 1), и при надлежащем выборе (г может быть сделана больше и, С другой стороны, из дифференциального уравнения (3) получается, что га у г )дггд а 1 =(р(2а, $') — р(а, (г)) — (р(2з, 1) — !р(а, 1))(п, так как з!(2з, (г) — р(а, ~')(р(2, (г) (и и р(2а, 1) — р(а, 1)) О.
Мы пришли, таким образом, к противоречию и потому мы вынуждены отвергнуть принятое нами вначале предположение, т. е. мы убеждаемся в том, что не сугцествует аналитической поверхности постоянной отрицательной кривизны, не имеющей нигде особенностей и повсюду регулярной. Поэтому, в частности, на поставленный в начале статьи вопрос о том, можно ли по способу Бель трам и осуществить в евклидовом' пространстве на некоторой регулярной аналитической поверхности всю плоскость Лобачевского, надо ответить отрицательно.
О поверхностях постоянной положительно» кривизны з) В начале этого исследования мы исходили из вопроса о поверхности постоянной отрицательной кривизны, которая в конечном повсюду была бы регулярно аналитической, и пришли к выводу, что подобной поверхности не существует. Мы хотим теперь с помощью соответствующего метода исследовать аналогичный вопрос для замкнутбй, не имеющей особенностей поверхности постоянной положительной кривизны, Очевидно, сфера есть замкнутая поверхность постоянной положительной кривизны и без особенностей.
Согласно доказательству, проведйнному, по моему предло- *) Вопрос о том, можно лн осуществить эллиптическую неевклидову геометрию с помощью точек повсюду непрерывно нскривлвнной поверхности, по моему предложению исследован В. Бой: %. Во у, <!)еЬег гйе Сшча1ша !з1ейга зяб гйе Торо!оуйе йезсшоззепег Р!асйеп>, !яззйзгз!б!ззег1а1!оя,ббц!зяеп, !90! н Мв1Ь. Апп., т. 57, !903. В. Вой построил в этой работе'топологнчески очейь интересную, целиком лежащую в конечном, одностороннюю замкяутую поверхность, которая, если отвлечься от одной замкнутой двойной кривой с тройной особой точкой, в которой пересекаются полости поверхности, не имеет никаких других особенностей н обладает связностью неевклидовой эллиптической плоскости. 312 о повегхноотях постоянной глзссовой кгивизны 313 ДОБАВЛЕНИЕ Ч жению, Х.
Либм а ни омь), ие существует никакой другой замкнутой поверхности, обладающей этим свойством. Это положение мы хотим получить как следствие из теоремы, которая справедлива для любого, не имеющего особенностей куска поверхности постоянной положительной кривизны ее); она состоит в следующем: Пусть на поверхности с постоякной положительной кривизной + 1 выделена одно- или многосвязная огриниченная область без особых точек; представим себе, что в каждой точке этой области, а также на ей границах построены главные радиусы кривизны поверхности; е тиком случае бдльгиий из главных радиусов кривизны не достигает своего максимума и, следовательно, меньший — своего минимуми ни в одной внутренней точке области, если только ниша поверхность не представляет собою сферы с ридиусом, равным 1.
Для доказательства вспомним сначала, что, в силу нашего предположения, произведение обоих главных радиусов кривизны повсюду=-1, а потому ббльший из главных радиусов кривизны должен быть '= 1, Отсюда непосредственно следует, что максимум большего из главных радиусов кривизны=1 только в том случае, когда оба радиуса кривизны в каждой точке рассматриваемого, нами куска поверхности= 1. В этом особом случае каждая точка этого куска поверхности есть омбилическая точка, и отсюда можно, как известно, заключить, что рассматриваемый кусок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
