Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 48
Текст из файла (страница 48)
99. точку Й', лежащую внутри р и внутри х, и опишем около этих точек конгруентные друг другу окружности и' и р', о ы лежало цели- которые должны быть столь малы чтобы и' ком в а и вне х, а р' — целиком внутр делаем теперь такой поворот около цент а ок жно и Ра и виутри Х. п и кото ом ок р р ружность и' перешла бы в окружность и", касающуюся окружности х извне. Пусть точки сопряносиовеу . Д е, сделаем такой поворот около центра ач м окружности р, при котором окружность р' перешла бы в окружность р, касающуюся х изнутри, Систему, которую будут образовывать эти точки соприкосновения, мы обозначим через Т.
Так как, в силу выбора окружностей а, р, ни одна пара точек системы 3 не может быть разделена точками системы Т, то завеломо возможно пут6м поворота плоскости около центра окружности х одну нз крайних точек системы 8, лежащую иа х, покрыть олиой из крайних точек системы Т, лежащей иа х, так, чтобы остальные точки системы 8 перешли в точки, ни одна из которых не совпадает с точками системы Т. При этом повороте Окружности и" приходит в соприкосновение с окружностью р таким образом, что точка С, в которой имеет место совпадение, оказывзется единственной точкой соприкосновения.
Обозначим окружность и" в е6 новом положении через п, а центры окружностей и и р соответственно через Р нй. Мы хотим теперь поквзать, что точка соприкосновения С должна находиться посредине между обоими центрамн Р и !6. Действительно, в силу нашего выбора окружности х' Отрезок Ргс лолжен быть меньше вполне определвнного отрезка АВ и поэтому, в силу сказанного в $ 26, заведомо имеет серелину; пусть этой серелиной будет точка С". В таком случае окружности п, р при полуобороте около точки Сь переходят олиа в другую, а потому каждая точка одной окружности переходит в точку другой.
Так как точка С является общей точкой обеих окружностей и и р, то при таком полуобороте она лолжиа перейти также в общую точку обеих окружностей; оиа, следовательно, должна при этом полуобороте остаться на месте и тем самым совпасть с точкой С", вокруг которой был совершвн полуоборот. Из только что доказанной теоремы вытекает одновременно следующее: Оз окружности п при помощи полуоборота около точки.
С, лежащей на этой окружности, получается окружность р, касающаяся и извне в точке С; не существует другой, отличной от р, окружности, конгруентной окружно;ти и и касающейся ее извне в точке С и только в этой точке, !9" ДОВАВЛЕНИЕ СЧ 293 Ов ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ ф 28. Лалее справедлива теорема: Если некоторая окружность с заключена в окружпосяи и и солрикисается с этой окружностью, гло эяо касание имеет место только в одной точке.
Для локазательства предположим что у окружи й насте [ ер . 001 имеются две отличные друг от друга точки соприкосновения Сс и О', Выполним в таком случае полуоборэт Около точки Я'; благодаря этому полуоборэту окружность и перейдбт в и', касающуюся и в олнэй только точке с,с, а с перейдет в окружность с', лежащую внутри и', а потому, конечно, е целиком располэженную вне и н касающуюся как окружь ности и, так и окружности и' 77 в Олной только точке с',Р. Если мы теперь произвелйм тот поворот около центра окружности и, который перевэлнт точку О в (7, то из окружности с получится окружность с", 77 которая булет целиком леЧерт.
100. жать внутри и, а потому заведомо вне с', соприкасаясь с ней только в точке Я'. Таким образом, мы пэлучилн две экружности с и с", каждая из котэрых касается извне конгруентной им 'окружности с' в точке Я' и притом только в втой точке, что противоречит теореме 9 27. Факты, найленные нами в $ 27 и 9 28, остаются в силе и в том случае, когла вместо окружностей и и р берут меньшие окружности. ив 9. Пусть Р— центр окружности и, построенной и 2 нами в 9 27, Π— точка, лежащая на и, и, наконец, О— произвольная точна, В такач случае мн всегла мо гда можем, используя замечание в конце 9 26 и опираясь, как в 9 27, на теорему 9 20, задать точку Е, столь близкую к О, что внутри окружности с, описанной около серелины М отрезка ОЕ и проходящей через точки О и Е, не найлятся ни олного отрезка, конгруентного Р(с н что то же т то же, утвер- ждение будет справелливо для всякой точки Е' и соответствующей ей окружности с', если только Е' булет находиться ещй ближе к Е, чем О").
В таком случае справеллива теорема: Окружность с (или с'), описанная около середины М(М'.) отрезка ОЕ(ОЕ') и проходящая через тачку О, полностью охватывается окружностью с центром в елочке О, проходящей через точку Е(Е'); эта последняя имеет с окружностью с (с') соприкосновение в одиой только точке Е(Е'). Для локазательства опишем сначала около точки О такую окружность м [черт. 1011, ко- ем Е торая охватывает окружность с, соприкасаясь с ней, Эта окружность ю лолжна быть меньше окружности и, так как в противоположном случае окружность, описанная около точки Черт.
!01. О и конгруентная и, лолжна была бы заходить внутрь круга с, а тогда внутри окружности с должен был бн находиться отрезок, конгруентный РО., что невозможно, Согласно теореме, доказан' ной в 9 28, эта окружность ы может иметь с окружностью, только одну точку соприкосновения; пусть эта точка — Е,. Если точка Е, не совпадала бы с точкой Е, то можно было бы сделать около М такой поворот, в результате которого точка Е, достигла бн точки. О; прн этом повороте точка О перешла бн в некоторую точку Е, окружнэсти с, отличную от точки ЕГ Так как отрезок ОЕ, ь) Выбираем круг а с центром в О, в котором не лежит ни один отрезок, конгруентный РО.
Обозначнм через Е какую-нибудь граничную точку такого круга с центром в О, дла которого каждая нз внутренних нли граничных его точен образует вместе с точкой О отрезок, середина М которого лежит в а. Окружность с центром в точке М', проведенная через точку О, конгруентна окружности, описанной около точки О н проходящей через М'; она не содержит позтому нн одного отрезка, конгруентного РО, 293 ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕтрии ДОВАВЛЕНИЕ ПГ конгруентен отрезку ЕеО, а, слеловательно, и отрезку ОЕ„ то точка Ев также должна бы быть точкой окружности м, а это противоречит утвержленню, что точка Е, есть елинственная точка, общая окружностям м и 1; итак, окружность м проходит через точку Е, что и требовалось доказать.
ф 30. В основу последующих рассуждений мы положим построенный в 9 29 отрезок ОЕ и отнесбм точкам О и Е числа 0 и 1; затем построим середину отрезка ОБ и от- 1 несем ему число †, потом отнесем серединам отрезков 2 ' ( ) 1 3 О, т ) и ( — 1) числа — и — потом серединам отрезков (О, 4), (4, 2), (2, 4), (4, 1) числа 8 3 5 7 — — — и т.
д, Повернем теперь весь отрезок (0,1) на полуоборот вокруг точки О и отнесбм всякой точке, получившейся при этом из точки, которой было сопоставлено число а, число — а; затем сделаем полуоборот около точки 1, снабдим всякую точку, которой раныпе было сопоставлено число а, числом 2 — а и представим себе, что эти повороты, выполняемые попеременно то около точки О, то около точки Е, прололжаются дальше и что вновь возникающим числам относятся числа, пока, наконец, не окажется, что всякому рациональному числу а, знаменатель коего прелставляет собою некоторую степень 2, отнесена некоторая вполне определбниая точка.
$ 31. Посрелством этого соответствия мы легко можем убедиться в справедливости слелующего закона: В результате полуоборота около точки, которой соответствует число а, кажлая точка х перехолит в точку 2а — х. Таким образом, если мы сделаем полуоборот около точки О = О, а затем полуоборот около точки а, то каждая точка х преобразуется в точку х+ 2а, $ 32. Чтобы установить порядок среди точек, которым приписаны числа и чтобы можно было сравнивать ограничинаемые ими отрезки, мы используем установленную в 9 29 теорему о соприкасающихся окружностях следующим образом.
Окружность, описанная около точки 0 и прохолящая через точку — [черт, — [, 102], полностью охватывает окруж- 2 ность, описанную около точки 4 и проходящую через точку —,; так как эта 1 а последняя охватывает окружность, 2 ' описанную около точки 8 — и прохолящую через 2 ! точку — = †, и окруж- 8 4' ность описанную около 3 01!! точки — и проходящую 1тй 3 в 2.
4 1 через точку — = —,, а эти 8 2 ' последние охватывают окружности описанную 1 около — и проходящую 2 1 16 Черт. 102. через —.= —, описанную 1б 8' проходящую чер 3!б= 4 Описанную о 16 — и прохолящую через — = — „, описанную Ояоло — И Гб 8 ! Роход»п!Ую через!— — — — и т. л., то мы пр Од ихолим к вы- 16 2 воду, что Отрезок (О, — ) больше любого отрезка (О, а), гле а — положительное рациональное число, знаменатель ! которого есть степень 2, а значение которого меньше —, Далее, окружность с центром в точке О, проходящая через —, охватывает окружность с центром в точке —, 4 ' проходящую через — = †. Эта послел няя, со своей сто- 8 4 ' 1 роны охватывает Окружносчь, описанную около ты~ !б Э дОБАВление т 2 и проходящую через — и окружность, Описанную около 16' 3 4 Гб — и проходящую через —; эти же, в свою очередь Охва- 16' 3 ! тывают меньшие окружности, описанные около тэчек —,, 3 5 7 —, —,, —,,и т.
д.; отсюда мы заключаем, что отрезок ( ) ! т О, — ) больше всех отрезков (О, а), гле а — пэложитель- ' 4) ное рациональное число, знаменатель которого представ- ляет собою некоторую степень 2 и значение которого 1 меньше — . 4 ' Затем рассмотрим окружность с центром в точке 0 и ! проходящую через —; она Охватывает окружность, описан- 1 2 1 ную окопа — и проходящую через —, = —; зта последняя, 1б 16 8' в свою очередь, охватывает меньшую окружность, описан- 1 2 ную около -- и проходянгую через —,и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
