Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

е. й (й (2.'-а), р(а)) = '(!:+ ). лля л )то р есть непрерывная функция, а потому отсюда вооб юбых двух параметров т и а слелует равенствсс ще й(р(т), э(а)) =р(т+а). Тем самым показано, что если в формуле г'=а(Ь, в), дающей преобразование, вместо параметров Ь, Ь', е ввести с помощью некоторой, вполне определенной взаимно одно- значной функции э параметры т, тл, а, лля которых С=у(т), р=р(т'), е=-в(а), то поворот й в этих новых параметрах выразится равенством т =т+а.

Эта теорема показывает, что утверждение, сделанное нами в $17, справедливо. Заменим теперь параметр а параметром ы=2па и назовем этот параметр углом нлн длиной дуги, заключенной между точками 0(О=О) и 8(т, е. а), отсчитываемой по истинной окружности Х; поворот, при котором точка 0(О=О) переходит в точку 8(т. е. О), мы будем называть вращением иди поворовгом а(м1 Истинной окружности к в самой себе на уйол ы.

9 19. Этим доказательством теоремы $17 мы закончим исследование вращения истинной окружности х в самой себе. Из сказанного в $ 11 и $12 мы заключаем, что все рассужления, примененные к истинной окружности к, н все показанные относительно нее положении справедливы также относительно всех истинных окружностей с общим центром в точке М, лежащих внутри окружности х. Обратимся теперь к той группе преобразований всех точек, которые получаются при вращениях плоскости вокруг фиксированной точки М, н покажем последовательно слелующне теоремы: Пусть дано, что некоторая истинная окружность )г с центром в точке М является жордановой кривой, внутри которой лежат точка М; в такам случае не существует ни одного вращения плоскосаа вокруг лючка М, кроме, конечно, тождественного преобразования, которое оставило бы на месте каждую аз точек окружности р.

Для доказательства обозначим вращение около М, оставляющее на месте каждую точку на р., через лг1 н прелположнм, во-первых, что, вопреки высказанному утвержлению, на р. существует некоторая точка А, в любой близости которой лежат точки, меняющие сво6 поло. жение прн каком-то вращении л)е. Опишем около А, что в силу сказанного в $ 12 заведомо возможно, истинную 283 ОВ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ ДОВАВЛЕНИЕ ГЧ окружность а, которая прохолила бы через точку, меняющуюся при вращении М, и была бы настолько мала, что, в'силу слеланного выше замечания, теорема 2 14 имела бы для нее место. Пусть  — точка пересечения этой окружности с )г; в таком случае движение М можно характеризовать как вращение окружности а по самой себе, при котором точка В остадтся на месте, Однако при таком вращении, в силу сказанного в 2 14, все точки на а остаются на месте, что противоречит нашему предположению; таким образом, наше первое предположение оказывается недопустимым.

Построим теперь около М систему замкнутых жордановых кривых, обладающих следующими свойствами: истинная окружйость )г принадлежит этой системе; каждая из этих кривых либо целиком содержит другую кривую, либо целиком содержится в этой кривой; через каждую точку числовой плоскости прохолит одна и только олна кривая этой системы. Предположим в таком случае, ео-вторых, что, вопреки предшествующему утверждению, в этой системе существует некоторая кривая > находящаяся внутри или вне й, такая, что все точки в кольцеобразной области, лежащей между )ь и 1, при всяком вращении М остаются на месте и в то же время в любой близости кривой ). существуют такие точки, которые остаются на месте не при всяком вращении М. Пусть А — точка на 1, в любой близости которой находятся точки, смещающиеся при вращениях М.

Опишем около А истинную окружность а, проходящую, через одну из этих перемещающихся точек и настолько малую что к ней применимо сказанное в $ 14, Так как эта окружность, будучи достаточно мала, ВСЕ же проходит через кольцеобразную область, которая при движениях М остайтся на месте, то движение М можно также характеризовать как вращение круга а в себе самом, причйм бесконечное число точек окружности а остается на месте, Поэтому, в силу сказанного в $14, при вращениях М все точки окружности а должны оставаться на месте, что противоречит нашему предположению.

Таким образом, доказано что при вращениях М все точки плоскости остаются на месте. й 20. Мы слелаем теперь следующее важное утверждение Каждая истинная окружность есть замкнутая жорданова кривая; система всех истинных окружностей. описанных около точки М, заполняет без пробелое нашу плоскость так, что всякая истинная окружность, описанная около точки М, либо охватывает любую другую такую окружность, либо содержится е ней. Все вращения Ь(ы1 нашей плоскости около точки М выражаются с помощью преобразований вида: х' = T (х, у; м), у' = д (х, у; ы), где х, у и х', у' означают координаты точек числовой плоскости, а У, я — однозначные непрерывные функции трех переменных х, у, ы. Далее, е каждой точке х, у число 2п является наименьшим общим периодом функций У, я относительно аргумента ы, т.

е, мы проходим через каждую точку (х, у) истинной окружности один и то.гько один раз, когда ы пробегает есе значения от О до 2п, Наконец, при последовательном выполнении двух поворотов на углы ы и м' имеет место формула Ь(м|й(ы'1= а(ы + м'~. $21. Для локазательства сделанного утверждения Возьмдм опять истинную окружность х с центром в точке >>1, которая является замкнутой жордановой кривой, и рассмотрим вращения этой истинной окружности к по самой себе.

В соответствии со сказанным в 5 18, вводим угол м так, что заданием некоторого значейия ы, лежащего между О и 2И, олнозначно определяется некоторое движение истинной окружности к по себе самой. Когда все точКи на к остаются на месте, то, согласно сказанному в 4 19, все вообще точки плоскости также не перемещаются; следовательно, каждому вращению истинной окружности к по себе самой соответствует о д и н вполне определвнный поворот плоскости около точки >14.

Отсюда следует, что функции у и я, входящие в установленные в 5 20 формулы для вращения плоскости около точки М являются однозначными функцнямл для всех значений х, ДОВАВЛЕНИЕ 17 ов основаниях гвометеии у, в, периодическими относительно в, с периолом, равным 2л, Покажем теперь, что функции у и л непрерывны относительно х, у, в. Положим для этого, что Π— некоторая точка на х; в„ вг, в„ ... — бесконечная послеловательность значений, сходящаяся к некоторому значению в, и что Т„ Тг, Т„ ...

— бесконечная послеловательность точек нашей плоскости, схолящаяся к некоторой точке Т, Точки, получающиеся из 0 путям поворота на углы в„ в„ в„ ..., мы обозначим соответственно через 8„ 8,, 8„ ..., а точки, которые получаются из точек Тгп Т„ Т„ ... путям поворота соответственно на углы в„ в„ в„ ..., — черезЛ„ Лг, Л„ ... Наконец, точки, которые получаются из' 0 н Т путям поворота на угол в, мы обозначим соответственно через 8 и Е. Таким образом, вопрос сводится к доказательству того, что точки х„ Лг, Е„ ... схолятся к точке Е.

Так как точки Т„ Тг, Т„ ... скопятся к точке Т, то можно определить жорданову область О, внутри которой находились бы все точки М, Т, Т„ Т,„ Тг, , Применим к этой жорлановой области вращение вокруг точки М, перемещающее точку 0 в 8. Жорланову область, получающуюся в результате этого поворота из области О, мы обозначим через Н; эта область завеломо содержит точки М и х, Наконец, построим замкнутую жорланову кривую а, солержащую область Н целиком внутри, т, е. охватывающую эту область так, что ни одна из ей точек не лежит внутри Н или на ея границе. Покажем теперь, что из точек Л„Е~, Е„... вне кривой а может лежать только конечное число, Действительно, если бы бесконечное число таких точек Е1, Ег ги Ег, лежало вне а, можно было бы себе прелставить, что точки М и Т, соелинены некоторой жорлановой кривой ТА, прохолящей внутри области О, и лалее применить к кривой ТА поворот на угол вг„.

Получившаяся таким образом кривая соелиняет'точку М с точкой Егь, а потому лолжна пересечь кривую а в какой-либо точке, например, в точке ВА, 'пусть А„ — та точка кривой ТА, которую поворот на угол вв переволит в точку В„, Так как точ- 1~ 21 21 и А А А ... все лежат внутри области О, 'а точки В В В ... все лежат на кривой а, то должна суще- П 2~ г~ ствовать такая бесконечная послеловательность индексов й (г, Ь ..., при которой точки АА, А„, АА, ...

Характеристики

Список файлов книги