Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 49

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 49)

Дл отсюда мы ' 8) заключаем, что отрезок ( О, — 1 больше всех отрезков (О, а), где а — полэжительнэе рациэнальнэе число, знаме- натель которого является степенью 2 н значение которого 1 меньше —. Прэдолжая дальше этот ход рассуждений, мы придйм к следующему выводу общего характера: Если а — положшпельное рациональное число, знаме- натель которого представляет собою некоторую степень ! 2 и значение которого меньше —, то отрезок (О а) 2 Э 1 1 всегда меньше отрезка (О, — ). 2м ф 33. Теперь мы можем доказать одну за другой сле- дующие леммы: 1 1 1 1 Точки, соответствующие чослам —, 2' !' 8'!б''''ф сходятся к точке О. ОВ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ Если допустить противное, то, так как квжд ый из от- Рчзхэе (О, — ), (О, 4), (О 8), (О, 16),, меньшепре- ИО- ыдущего, точки сгущения точек —, 4, --, —, падут на н к некоторую определенную истинную окружность х 1 1 1 — — —,...— после- с центрэм О. Пусть, например, — „, — „, — „,...— дэвательность точек, сходящихся к точке К на окруж- ности х; пусть точки 1 1 ! 2ь, +! 2ь1.1 1 2т+ имеют своей точкэй сгущения тэ у чк Кь.

Из теоремы $25 ле ет, что К" должно быть серединой отрезка ОК, следует, что казанного в кон- а это заключение, в силу полэжения, до же олжна це ф 27, противоречит тому, чтэ точка К также д лежать на окружности х. ф 34. П сть а, а„а,, ... — положительные рацио- нальные числа, знаменатели «отормх у с ть степени 2.

Если при етом бесконечная числовая яос я ледозательность сходится к точке О, то последоаатель- а, а„а„... схо итси к же ность точек, соо тветстзующих зтим числам, таь сходится к точке О, Для дэказательства выберем целые показатели л„ и„ и, ... так, чтобы ь — — —, .'.. также схэ- 1 1 1 ! чтобы последэвательнэсть — , — ,, — , .'.. к О, Согласно доказанной в 2 32 теореме, всякая лилась к точка а, лежит внутри окружности, описанной о около точ- ки 0 и прэхэдящей через точку †„; а в силу леммы, дэказаннэй в В , р В 33, окружности эписанные около точки 0 1 1 1 — — сходятся и проходящие через точки к 0; отсюда немедленно следует утверждение, пэдлежащее доказательству, довхвленнз !ч ов основаниях гьомьтеии $35. Наконец, имеет место следующая теорема: Пусть а„а„а„... — бесконечная поеледовагпелькость рациональных чисел, знаменатели которых суть степени 2, сходящаяся к некоторому действительному числу а; а таком случае соответствующие им точки ап аэ, а„...

также сходятся к некоторой и!очке. Для доказательства предположим противное. Пусть, например, Р' и )г" — две отличные друг от друга точки сгущения последовательности а„ а„ а, ..., именна, пусть точки ан, аж „аз,... сходятся к У', а точки а!., агю аг,...— к точке 1". Согласно замечанию, сделанному в ф 31, для каждой точки аь существует движение, состоящее из двух полуоборотов, которые переводят произвольную точку аа в точку а, — ае и одновременно точку аи в точку ат — а . Числа а! — ае и а! — ае при возрастании индексов подходят сколь угодно близко к О, а поточу, в силу теоремы ф 34, существуют движения, которые переводят точку, как угодно близкую к )", и одновременно точку.

как угодно близкую к Ь"', в любую близость точки О, А это невозможно в силу аксиомы П!, как легко показать с помощью уже не раз применявшихся рассуждений. $ 36. Если мы теперь точке, к которой сходятся точки а„ а„ а„ ..., отнесйм число а, то тем самым каждому действительному числу будет поставлена вполне определйнная точка нашей плоскости; систему всех этих точек мы будем называть истинной прямой; таким образом, под этой истинной прямой понимают ту систему точек, котория получаетея из точек О, Е, если последовательно брать середины, производить полуобороты и присоединять к этой системе точки сгущения всех полученных такил! образом точек. Все системы точек, полученные путем движения этой истинной прямой, также называются истинными прямыми.

Истинная прямая каждой своей точкой разбивается на дее полупрямьге. ф 37. Опираясь на лемму ф 25, мы легко убедимся, что прн полуобороте нашей истинной прямой около произвольной точки и точка х переходит в точку 2а — х; ии дв х полуоборотов — одного около точгого около точки а — точка х пе тео емы $ 35 легко показать, что и в На основании теоремы а а а а,, есть схо одящаяся к а том случае, когда в да последоваь чисел ппоизвольного и последовательность чис стремится тельность соответствуюгц „, ... т их точек а, а„а„...

т е а, т. е. истинная пр а к соответствующей точке непрерывная кривзя. ж ние что существуют $38. Рассмотрим предположение, что а и Ь которым на истинной прямой какие-то два числа а и, кото а+Ь а — , являясь соответствует очна и та же точка Р Точк ной от евка 1а, Ь), должна опять-таки совпасть ередины отрезков (а, —,) ( — ", !!, — и —. Продолжая, далее, брать середины отрезков, мы у е б ждаемся, что все то ки —" „"-, где А , В с ть два целых положительных числа, в 'сумме 2 . совпасть с Р; отсюда, в си у со;, л составляющие 2, .

со 2" должны со го в кз 37, следует, что воо ще в б се действитель. сказанного в з Ь должны соответствовать ные числа, л ежащие между а и, до й. Это противоречие по- ' одной и той же точк р ке Р и ямо . п ямая не имеет во д йных то- казывает, что истинная пр о истинная чек. . Точно так же мы убедимся в том, что и е поее н ться назад по себе самой. более дной общей $39. Дае п рямы е имеют не лее .

о точки. имели две общие точки А Действительно, если бы они им оответствовали и В и если бы на одной прямо й этим точкам с числа а, и, а на р , Ь, д угой прямой — числа а', ', то + — соответствующих отрезков также дины — и —, сон были бы совпасть. Продолжая дальнейшее расбыло сделано в $ 38 мы смотрен е р и се един, как это з ключению, что все точки, а од~ой из этих прямых и меж у об азам приходим к закл лежащие между а н Ь на одно из т! зо! зоо ДОВАВЛЕНИЕ Ш ОВ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ а' и Ь' на другой из них, совпадают; следовательно, совпадают и сами эти прямые.

й 40. Ниша истинная прямая пересекает каждую ОКРУжноеть, описаниув ОкоЛо каквй-Либо ев точки, например, около точки О. Действительно, если сделать противоположное предположение, то представляются возможными только два случая: либо существует вполне определенная окружность х с центром в точке О, которую прямая К ещ6 встречает, между тем как любая окружность, охватывающая х и имеющая своим центром точку О, с прямой я уже не встречается; либо существует вполне определенная окружность х, которую прямая К не встречает, между тем как все проходящие внутри х окружности и имеющие центром точку О, с прямою я встречаются. Так как прямая К, в силу своего построения, всегда может быть продолжена за любую свою точку и, как это было показано в О 38, не может иметь двойных точек, то в пе рвом случае внутри х необходимо должна существовать окружность с центром в точке О, которую прямая К встречает в двух точках А и В, лежащих на ней по одну сторону от О, причом точка В берется на продолжении прямой я за А и достаточно близко к А внутри х.

Если теперь сделать поворот около точки О так, чтобы точка А перешла в В, то наша прямая я перейдет в другую прямую, которая пересекается с прямой я не только в точке О, но и в точке В, что невозможно в силу теоремы, доказанной в з 39. Во втором случае обозначим буквой К точку окружности х, к которой истинная прямая К подходит сколь угодно близко. Опишем около точки К истинную окружность и", меньшую х и пересекающую прямую К в какой- нибудь точке М. Затем опишем около точки М окружность и, которая была бы больше и+ и меньше х. Эта окружность и, будучи больше и+, содержит внутри точку К, и так как она меньше х, то из нашего предположения, в силу ранее доказанного, следует, что прямая д, проходящая через точку М, непрерывно протекает внутри и и, будучи продолжена в ту или другую сторону, ы и через какую-либо точку и затем выходит за пределы и ч „ внутрь круга и не возвращается.

Так как, с другой сто- оны, и ямая д сколь уго годно близко подходит к точке К, щ у р, еобходимо должна содержать жащей внутри и, то она нео х К; ом и заключается противо- также и самую точку К; в этом речие с предположением, из котор ого мы исходили. Т вокупность всех окружностей, описанных ак как со около како -ни уд й- б ь точки покрывает всю плоскос ю его оставляя на ие пуст. й етых мест, то из предшеству щ ии следует, что лю ые ве б д точки нашей плоской геометри могут быть соединены истинной прямой.

ф 4!. Докажем, что аксиомы конгруентности в наше плоской геометрии выполняются. Выбе ем с этой целью какую-нибудь определбнную ы ерем с ем для е6 точек параметрн- истинную окружность х и введ6 д че ч скос представление с помощью у гла ы, согласно Э э !8: т значения от 0 до и, 2, в таком случае, когда ы принимает в оп еделбнном порядке.. ой ок жности, конгруент- истинная окружность пробегается р Благодаря этому для любой другой ру ной х, также устанавливается вполне определенное на- чится, если мы с помощью двух последовательн поворотов (как это было сделано н, ) в и 22) совместим центр с цент ом рассматриваемой окружности, вижения которое Так как, согласно определению понятия движ н, р было дано в начале это р этой работы, невозможно совместить с собою первоначальную окружность х, изменив самое с с о , то для каждой и этом направление обхода на обратное, т при это о но.вполне опреде- окру к ужности действительно существует одн лбнное направление обхода.

Характеристики

Список файлов книги