Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

е. отсутствие пробелов на' истинной окружности х. Для этого представим себе, что точки истинной окруж- ности х определяются координатами х, у на числовой плоскости, а точки числовой окружности радиуса 1 — че- рез дугу 1, имеющую начало в некоторой фиксированной точке; в таком случае надо доказать, что х и у суть не- прерывные функции 1. Пусть 1м 1„ 1„... — некоторая монотонная, строго возрастающая или строго убывающая числовая последова- тельность, сходящаяся к 1н, а Кн К„К»,... — точки истинной окружности х, соответствующие этим значениям параметра, и притом пусть значению 1н соответствует на х некоторая точка Кь. Пусть, далее, Я вЂ” точка сгущения точек Кн Кг, Км...

Если мы построим некоторую замкнутУю жоРдановУ кРивУю К,Кь, то точки Кс« н Кс+м Кс„„..., а следовательно, и их точка сгущения Я, должны лежать внутри КГКН, т. е, точка Я также лежит между точками Кс и К"; поэтому значение параметра 1, соответствующее точке «б также должно находиться всегда между 1с и ~н. Это последнее противоречие устраняется только в том случае, когда точки 1с и К' совпадают; итак, точки Кн К„ К„ ... сходятся к точке Кь, Тем самым непрерывность зависимости функций к, у от параметра 1 доказана, и отсюда следует теорема, которую мы в 9 4 указали как на первую важнейшую цель наших исследований; эта теорема утверждает следующее: Истинная окружность х в числовой плоскости является замкнутой жордаковой кривой. 9 9.

Мы знаем, что все точки истинной окружности х принадлежат к точкам, лежащим на кй; ниже будет показано, что эти последние точки также все лежат на истинной окружности х и что, таким образом, справедлива следующая более сильная теорема: Истинная окружность х идентична с точками, лежащими на йй; точки, лежащие внутри круга х, суть вместе с тем точки, лежащие внутри ПП, а точки, лежащие вне круга х, суть в то же время точки, ле. жащие вне йй. Чтобы доказать эту теорему, убелимся сначала, что точка М вЂ” «центр» истинной окружности х — может быть соединена с любой точкой / внутри х непрерывной кривой, не пересекающей ни в одной точке истинную окружность х. Действительно, проведзм через точку з обыкновенную прямую в числовой плоскости — так называемую «числовую прямую», и пусть К, и К, — две точки этой числовой примой, в которых она по обоим направлениям из точки У 270 ловхвланнв цг 27! ОБ основаниях геоматеии впервые встречает истинную окружность х.

Так как К, и К, видаются в то же время и точками, лежащими на йй, то каждую из них можно соединить с М жордановой кривой, п охолящей всецело внутри )сн и потому, конечно, не пересекающей истинную окружность х; обозначим эти жорлановы кривые соответственно через МК, и МКг.

Если одна из этих жордановых кривых пересекает прямолинейный отрезок К,Ка в некоторой точке В, то кусок кривой МВ и отрезок .И прямой образуют вместе искомую линию соединения. В противоположном случае куски кривых МК, и МК, составляют вместе с отрезком К,К, прямой замкнутую жорданову кривую т. Так как эта кривая 7 целиком лежит внутри числового круга 1 (ф 1), то точку А, лежащую вне числового круга Я, завеломо нельзя соединить ни с одной точкой, лежащей внутри 7, не пересекач при этом ни в одной точке кривую Т. Кривая т состоит только из точек внутри )г)г, из точек на йй и из точек внутри х. Так как, исходя из А, этих последних точек можно достичь, только пересекая истинную окружность к в некоторой точке, которая является в то же время и точкой, лежащей на йй, то вся область, лежащая в у должна лежать также и внутри П7г.

Поэтому если мы соединим точку М с 7 непрерывным, проходящим внутри Т путам, то этот путь никак не сможет пересечь истинную окружность к и, значит, будет обладать требуемым свойством. Отсюда мы, во-первых, заключаем, что точка М лежит внутри х, т, е, что денар истинного круга к лежит внутри него.

Далее, так как любая точка, лежащая на )гй, может быть соединена с точкой М жорлановой кривой, которая, исключая концы, целиком проходит внутри )гй и, таким образом, ие пересекает х, то каждая точка, лежащая на )г)г, должна либо лежать на истинной окружности х либо внут и утри истинного круга х. Если бы существовала точка Р, лежащая с одной стороны на пп, с другой стороны в внутри истинного круга х, то точку А, лежащую вне Й, нельзя было бы соединить с точками, находящимися сколь угодно близко к точке Р, не пересекая при этом истинной окруж- ности х; но все точки истинной окружности к являются покрытыми точками, а потому точка Р не может ле кать на й)г. Мы пришли, таким образом, к противоречию, Итак, все точки, лежащие на )г)г, должны также лежать на истинной окружности х, т.

е. сделанное ранее утверждение полностью доказано. ф 1О. Точечный образ )г)г был в ф 2 получен из числовой окружности й с помощью вполне определйнного построения. Так как по крайней мере одза точка числовой окружности й лежит, как это было показано в ф 3, на пп, а все остальные ей точки лежат либо на )гп, либо внутри пп, точки же, лежащие на )ггг, образуют, как это было показано в ф 9, не что иное как истинную окружность х, то указанное выше построение служит в то же время и средством получить из числовой окружности )г истинную окружность к, являющу!ося замкнутой жордановой кривой, окружающей числовую окружность )г и касающейся ей извне.

Здесь, как и в дальнейшем, мы будем говорить, что жорданова кривая, которая содержит другую жорланову кривую внутри и имеет с ней по крайней мере одну общую точку, касается этой второй извне или что вторал из этих жордановых кривых касается первой изнутри, С помощью небольшого изменения предыдущего хода доказательства, а именно с помощью перемены ролей, которые играли в этом доказательстве точки, лежащие внутри окружности к и вне ей. мы можем из числовой окружности й построить ещй и другу!о истинную окружность; будем теперь точки числовой плоскости, которые получаотся из точек, лежащих внеокружности и 'или на этой окружности, называть покрытыми точками; все остальные точки назовем непокрытыми. Если непокрытую точку можно соединить с точкой М жорлановой кривой, состоящей из одних только непокрытых точек, то мы будем говорить про эту точку, что ова лежит внутри )с)гн, О точках, предельных по отношению к этим точкам, мы будем говорить, что они лежат на )гй)г, а о всех остальных точках — что онн лежат вне пй)г.

Далее, мы покажем, подобно тому, как мы это сделали в Я 3 — 9, что аочни, лежзисие на )г)г)с, обризуюгп озолс М истинную окружность, пвлнюиьуюсп ДОБАВЛЕНИЕ >У замкнутой жорданоеой кривой, окружающей й р ящую внутри числовой окружности й и и ие сео центр том касающуюся ее' изнутри. н ти и приф !!. Вместо числовой окружности й м взять л>об ю и можно теперь к ив у замкнутую„проходящую внутри й р ую г, внутри которой лежит точка М, П жорданову та>еое же ка ка, рименяя , к к и раньше, построение, мы найдем и д р лне определенную, охватывающую ее' истинную окружность с центром е точке М, кото ая является замкнутой жордановой к ивой и извне а та е истинн кже вполне определенную, лежащ ж щую ен три истинную окружность с центром е точке М, кото- рая также является замкнутой жо даноеой к и касается г изнутри.

тинная окружность Заметим ещв, что всякая такая ист построенная исходя из жордановой й криво з, может быть б ать т порождена и числовой окружностью; сле л дует только вы- рать ту числовую окружность, которая проходит вн т и рассматриваемой истинной окруж о, у ности, касаясь ее нзнут и, илн же охватывает эту окружность, , касаясь ея извне; дейур ствительно, две истинные окружности кото ы замки ими жо тн, которые являются ут ордановыми кривыми и касаются той же числовой тся одной и вой Окружности, либо охватывая ее, либо проходя внутри, безусловно должны б следовательно, вообще совпадать, ы иметь о щую точк и, у ф 12,Т важное ф 2, еперь мы можем без особых затру й руднени доказать ОЕ ПОЛОЖЕНИЕ О тОМ, Чта ВСЯКаЯ истиппи Р с истинным центром в точке М д я о>ер ржность е, праха ящая через не- которую точку Р, лежащую внутри Х, является, так же как и построенные е 11 У той жо даноеой е ф истинные окружности, замкнуДля р кривой, содержащей внутри то М..

чку ние ок ности с Д доказательства выделим с одной ст стороны все истин- ются е окружности с центром в точке М которы замкнутыми жордановыии кривыми и не с р е явля- внутри точку Р— ми их р ми и не содержат у,— ми их будем называть истинными окруж- ностями пе лого о р р да; с другой стороны, выделим те нз этих окружностей, которые, будучи замкнутыми жордано- вими кривыми, захватывают точ Р,— ку , — их ми будем назы- вать истинными окружностями второго рода. ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ Предстазим себе сначала, что каждой числовой окружностью с центром в точке М порождена охватывающая ев истинная окружность, н рассмотрим затем те числовые окружности, которые порождают истинные окружности перво> о'.рода, Затем найдам лля числовых окружностей предельную окружность д, т.

е. наименьшую числовую окружность, которая охватывает все эти окружности, Все числовые окружности, меньшие д, дают в таком случае истинные окружности первого рода. Истинная окружность Т, произошедшая из числовой окружности д, не может содержать внутри точку Р; она может только проходить через эту точку. Действительно, если бы точка Р лежала внутри Т, то можно было би провести замкнутую жорданову кривую, иеликом лежащую внутри Т и зак>йочающую внутри себя точки М и Р, и из этой кривой получить охватывающую, ев истинную окружность. Так как эта истинная окружность недиком входит внутрь истинной окружности Т, то еа. можно было бы получить с помощью числовой окружности, меньшей, чем д; и в то же время она должна была .бь окружать' точку Р, что невозможно.

Так кзк, как было. уже упомянуто, все истинные окружности с центром в точке М, которые являются замкнутыми жордановыми кривыми, порождаются также из числовых окружностей с' центром в точке М, то очевидно, что истинная окру>к' ность, порождаемая окружностью д, является такой окружностью первого рода, которая охватывает все другие истинные окружности первого рода. С другой стороны, полагая; что из каждой числовой окружности с центром в точке М порождена та истинная окруж-' ность, которая солержится внутри этой числовой окружности, мы можем точно таким же способом установить.

Характеристики

Список файлов книги