Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пусть АВС вЂ” некоторая определбннаи тройка точек в нашей геометрии; теми же буквами мы будем обозначать образы этбй тройки в числовой плоскости. Окружим точки А, В, Сна числовой плоскости окрестностями и обозначим эти окрестности соответственно буквами а, р, у. Если точка А«попадет в окрестность а и в то же время «) Выражение «истинная окружность» должно означать, что определенный таким путем образ окажется в процессе исследования изоморфным числовой окружности. Аналогичный же смысл имеют выражения «нстинйая прямая» (стр. 257), «истинный отрезок» (стр. 287), 255 ДОВАВЛЕНИЕ ГК Он ООНОВАННЯХ ГЕОМЕТРИИ точка Ве попадйт в окрестность р, а точка Се — в ок- рестность т, то мы будем говорить, что тройка точек АНВеСН лежит в окрестности а~у тройки АВС.
Пусть утверждение, что эта окрестность ару сколь угодно мала, означает что а есть сколь угодно малая окрестность точки А и в то же время р есть сколь угодно малая окрестность точки В, а т . — сколь угодно малая окрестность точки С. Когда мы похьзовались словами «пара точек» и «тройка точек», мы отнюдь не прелполагали, что точки этой пары или тройки не могут совпадать. Аксиома 1!1, Если существуют движения, посред- ством которых можно переводить тройки точен, на- ходящиеся сколь угодно близко и тройне АВС, е тройки, сколь угодно близкие и А'В'С, то существует а такое движение, которое переводит тройку точен АВС точно е аройну А'В'С'е). Содержание этой аксиомы мы кратко будем формулиро- вать так: Аксиома !!1.
Движения образуют замкнутую систему. Если в аксиоме 1П мы допустим, что некоторые точки тройки (точек) могут совпасть, то легко получатся неко- торые частные случаи этой аксиомы; отметим их особо, Если существуют повороты вокруг точки М, при кото- рых пары точек, лежащие в любой близости пары АВ можно перевести в пары точек, лежащие в любой близости пары А'В', то существует также и такой поворот вокруг точки М, ко~орый точно переводит пару точек АВ в пару точек А'В', Если существуют движения, при которых пары точек, лежащие в любой близости пары точек АВ, можно пере- вести в любую близость пары точек А'В', то существует также и движение, переводящее пару АВ точно в пару А'В', Если существуют повороты вокруг точки М, при кото- рых точки, лежащие в любой близости точки А, могут *) Достаточно допустить, что аксиома !П выполняется для достаточно'малых окрестностей, подобно тому, как это пронсхо- дит у Лн; ход моего доказательетеа можно.Изменить так, чтобы в ИЕИ понадобилось только это более слабое допущение.
быть переведены в любую близость точки А', то существует также и такой поворот вокруг точки М, при котором точка А точно переходит в точку А'. Этот последний частный случай аксиомы Ш я в последующем ходе доказательства часто буду применять, обозначая при этом вращаемую точку буквой М (а не А) е). Я докажу сейчас следующее утверх«дение: Геометрия плосиосаи, в ноаорой выполняются аксиомы ! — 1!1, является либо еенлидоеой геометрией, либо геометрией Больяи-Лобачевсного. Если мы хотим получить только геометрию Евклида, то надо только аксиому ! дополнить требованием, чтобы группа движения обладала иивариантной подгруппой. Это дополнение заменяет аксиому о параллельных.
Мне хотелось бы прелварительно схематически набросать ход дальнейших рассуждений. В окрестности некоторой точки М с поиощью особого способа ($ ! — Ь 2) строится некоторый определйниый точечный образ йн и на нйм определйнная точка К, а затем подвергается исследованию истинная окружность, описанная около точки М и проходящая через точку К (2 3). Получается, что истинная окружность х является плотным в себе, т. е. совершенным, точечным множеством. Ближайшая цель дальнейших рассуждений состоит в том, чтобы показать, что истинная окружность х является *! В своЕм устном докладе нэ торжественном заседании по поводу юбилея Геттингенского научного общества в !90!г. я выставил в качестве отдельной аксиомы следующее требование (сейчас являющееся у нас одним нз следствий): «Никогда не может случиться, что какяе-нибудь дее точки в результате движения подошли бы друг к другу как угодно близко».
Следовало бы исследовать, в какой ' степени, т. е. е соехененян с какими другимя требованиями, это требование может заменить аксиому П! ДОБАВЛЕНие ъч 257 ОБ ОснОВАниях геометрии замкнутой жордановой кривой "), Доказать это уда6тся бла- годаря тому, что мы убеждаемся сначала в возможности упорядочения точек истинной окружности х (й 4 — 9 5), затем заключаем отсюда о возможнос ти взаимно однознач- ного отображения точек окружности х на точки обыкн ки о ыкновенной ру ти (8 — 6 7) и, наконец, показываем, что это отображение должно быть непрерывным (й' 8).
П и этом получается также е, что первоначально построенный точечный ым ' . ри этом образ И идентичен истинной окружности (2 9). Далее следует теорема о том, что всякая истинная Окружность, лежащая внутри круга х, также является замкнутой жор- дановой кривой (Л 10 — 6 12). Мы переходим теперь к исследованию группы преобра- зований, которые при вращении плоскости вокруг точки М таг и переводят истинную окружность х в само6 с б (6 13.
Э группа обладает следующими свойствами; 1. Всякий поворот вокруг точки М, оставляющий на щи на месте хотя бы о д н у точку истинной окружности х, оставляет на месте все точки этой окружности (Л 14), 2. Всегда существует один поворот около точки М, который про ы произвольно задан- ную точку окружности х переводит в любую другую точку этой же окружности (8 15), 3. Группа вращений около точки М непрерывна (9 16), Этн свойства полностью опре. делают построение группы преобразований, и, соответствующей амо се е; именно, вращениям истинной окружности х в самой себ; мы устанавливаем следующую теорему: группа всех преоб- разований истинной окружности х в себ в се я самой, которые являются вращениями около М, голоэдри ск - .
группе обыкновенных вращений обыкновенной окружности по самой себе (9 17 — 6 18). Исследуем теперь группу преобразований в с е х точек нашей плоское~и при вращении е6 около М. П около точки М. При этом имеет место теорема, утверждающая, , что кроме тож+) С а ) р внн вто со ставящей себе аналогичную цель инте ес- ной заметкой А. Шенфлнса: А.
ЗсЛОН11!ев, «()еЬег е!пен йгнпд!Ейепе(еп 8а!г е(ег Ана!уа!в 8цнае, СО!!! Ы , в также дальнейшие наложения н литературные указания; ВепсЛ!с е(ег Вен!Есйеп Ма!Леща!!Кег-Чете!н!йнн, Доб к т. 11 (1908), стр. 158 н 178. дественного преобразования не существует ни одного вращения плоскости около точки М, которое оставило бы все точки некоторой истинной окружности )е на месте, Далее, мы убеждаемся в том, что каждая истинная окружность является замкнутой жордановой кривой, м получаем формулы для преобразований гр) ппы всех вращений около точки М (8 20 — 6 21).
Отсюда, наконец, легко получаются следующие теоремы: если при некотором движении плоскости две е6 точки остаются на месте, то все осталь. ные е6 точки тоже остаются на месте, т, е. такое движение представляет собою тождественное преобразование. Любую точку плоскости можно перевести в любую другую е6 точку с помощью соответствующего движения (9 22). В дальней!нем нашей важнейшей целью является-определение в нашей геометрии понятия истинной прямой и развбртывание свойств этого понятия, необходимых для построения геометрии, Сначала определяются понятия полуоборота и середины отрезка (9 23). Отрезок имеет не более одной середины, и если относительно некоторого отрезка известно, что он имеет середину, то отсюда следует, что также и всякий меньший отрезок имеет середину (ф 25 — й 26).
Чтобы судить о положении середины отрезка, нам нужны некоторые теоремы о соприкасающихся истинных окружностях; дело, прежде всего, сводится к построению двух конгруентных вежду собой окружностей, касающихся друг друга извне в одной и только в одной точке (9 27). Далее мы выводим одну общую теорему о касающихся изнутри окружностях (9 28) и затем теорему; относящуюся к тому частному случаю, когда окружность, касающаяся другой изнутри, проходит через центр этой последней (9 29). Теперь в основу дальнейших рассуждений кладйтся в качестве единичного отрезка некоторый вполне определбнный достаточно малый отрезок; путбм деления пополам и полуоборотов строится система точек такого рода, что каждой точке этой системы оказывается сопоставленным вполне определбнное число и, рациональное и имеющее в качестве знаменателя некоторую степень 2 (6 30).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
