Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

Произведем некоторый поворот вокруг точки М, при котором точки К„ К„ К„ К4 перейдут в точки К;, К', К', К', Напомним, что поворот, по определению, является непрерывным н однозначно обратимым преобразованием, переводящим точки, лех<ащне внутри ФФ, в точки, лежащие внутри йй, н точки, лежащие вне йй,— в точки, лежащие вне йй. Поэтому пары точек Кп К, н К, К4 разделяются друг другом нли не разделяются, смотря по точу, разделяются ли друг другом илн не разделяются пары точек К„КВ н К, К4, в. е.

взаимное расположение пар во чек Кн К, и К„К4 остаетея неизменным при вращении вокруг точки М. Аналогичным образом выводятся и другие теоремы, которые соответствуют остальным общеизвестным фактам, касающнмся взаимного расположення пар точек обыкновенной числовой окружности. Теоремы эти суть: Если точка К„КВ рьзделкются точками Кгн К, то и точки К„К4 разделяются точками,К„К,.

Если точки Кн К разделяются точками К„К„а гпочки К„К разделяются точками К, К„, то точки К„К4 раэделтотся тачками К„К,. Благодаря этому мы приходим к следу1ощему выводу: Точки истинной окружности х расположены циклически, т. е. относительно взаимного разделения пар лючек они расположены так же„как и вочки обыкновенной числовой окружности. Зво расположение инвариантно по отношению к поворотам вокруг центра М истинной окружности х. $6.

Дзльнейшее важное свойство истинной окружности мы сформулируем так. ля любой па ы точек иетиннои окружности х еуа ей аа а точек этой же ществует другая разделяющая ей пара К какую-либо фиксированную точку Обозначим через к К истинной окружнос н ности х; имея трн лругне точки жностн х мы будем говорить, что од1 на из и К илн же не ннх, К„лежит между двумя другими,, и „и лежит между ними, мо смотря по тому, разделяется лн пара к К К парой К„К„или не разделяется ею.

точек „ , па г, с В противоположность высказанному в у выше тве ждению предположим, что существуют д ве точки К н К' истинной гой па ой ок жностн х, которые не разделяются никакой другой пара окружности х, к соглашення следует, что между точек; тогда нз нашего с этими точками не может быть нн одной точки истинной к жности х, Далее, мы можем принять, что существует точка Кн такая, что пара точек „ ра К, К„; действительно, в противоположном случае мы шнк дальнейших рассуждениях поменять могли бы в наших д жностн х К и А".

Далее, нз точек истинной окру роли и ь, сходящ юся вы рем бе бесконечную последовательность к ивой, и ок точке, н К соединнм точки К, н К' одной р , рей вн три йй, н другой кривой, проходящ ей вне И. ходяще вну пол чается замкнутая Путам соединения этих двух кривых п у жорданова кривая, К,К', отделяющая 1 ая К от К, а потому н от бесконечного чйсла точек последов е овательности схо.

дящейся к К. усть К, П К вЂ” одна нз таких точек последом К', вательнос н т Й„ Так как точка Кг лежит между лолжна но не может лежать между К н А", то точка Кг лежать между К н К. Соединив теперь, аналогично предылу- К с К' замкнутой жордановой криво ,К', 1 в й щему,, с ке последовамы пр найм точно так же к некоторой точ ж ИКит,д. Тательности А4, которая лежит между К, н кнч образом мы получим бесконечную, щу сходя юся к точке К,..., каждая К пэследовсипельность точек „„Кь,..., из коьпорых лежит между предыдущей точкой и точкой К. в ез льтате Сделаем теперь поворот вокруг точки, р которого точка К попздйт в одну из точек К, Кг~ Кгь, йбб ДОБАВЛЕНИЕ 3Ч Ов основаниях ГеОметРии например, в точку Кп Точка К' при этом повороте перейдет в точку К,. Так как, согласно нашему предположению, точки К и К' не были разделены никакой парой точек, то такое же утверждение справедливо и. для пары К о КГ.

Поэтому точка К; должна либо совпасть с точкой К, „либо совпасть с точкой К, „либо лежать между точками К,, и К,,; во всяком случае точка КГ лежит между К,, н К; т, а потому и каждая из точек бесконечной последовательности КГ Ка, Ка, КГ, Ка, К»,...

лежит между предшествующей точкой и точкой К. Мы хотим теперь показать, что точки К', К', К' схо- З Г» дятся к точке К. Действительно, если бы точки К' К', К',... з т» сходились к некоторой точке Ц, отличной от К, то мы выбрзли бы из них некоторую точку Кь Так как все точки К;+м, К;„з, К; „,... лежат между К,' и К, то существует замкнутая жорданова кривая К~К, отделяющая точку К > от точек К „ К', „ К,„,з, а следовательно, и от точки 1;), т. е. точка 1') должна лехсать между К' и К. В силу расположения точек К, относительно точек К от! сюда следует, что точка 4,) должна лежать между всеми точками К„Кы К„...

с одной стороны н точкой К— с другой. Таким образом, замкнутая жорданова кривая с)К должна отделять все точки К„К„КЕ,... от точки К; но в таком случае точки К„Кю К„... не могут сходиться к точке К, как зто им полагается. Рассмотрим теперь стремящиеся к К точки К К а~ Гг К»,... и точки Кз Кт К», ° ., кОторые, как это было только что доказано, также стремятся к К. Так как прн некотором повороте точка К переходит в К. и в то же время точка К' переходит в Кс, то, согласно зксиоме !И Ю должен существовать также и такой поворот, который переводил бы точки К и К' в общую предельную точку К. Это противоречит, однако, определению поворота, Таким образом, опровергнув предположение, сделанное в начале этого 9 6, мы полностью доказали указанную тео. рему, ф 7.

Принимая во внимание соглашения, приннтые нами в начале 9 б, мы будем трактовать истинную округкность х, из которой выключена точка Кмь как упорядоченное в смысле Ванглора точечное множество; а гланом случае эгло ланейнос множество имесгл порядковый глин лансаного нонглинуужа. Чтобы доказать зто, определим сначала счетное множество точек 5 истинной окружности х, точки сгущения которых составляют самую истинную окружность х.

Такое множество имеет, по Канторун), порядковый тип системы всех рзциональных чисел в их естественном порядке, т. е. точкам системы 5 можно привести в соответствие рациональные числа так, чтобы нз трех чисел а, Ь, с, соответствующих любым трем точкам А, В, С множества 5, из которых точка В лежит между А и С, число Ь по своей величине всегда было бы заключено между и и с. Пусть К вЂ” некоторая точка истинной окружности х, ие принадлежащая системе 5; в таком случае, если А, В— точки системы 5, то мы будем говорить, что А, В расположены по разные стороны или по ояиу сторону от К, смотря по тому, лежит ли точка Кмежду точками А и В или она между ними не лежит. !~сан мы это соглашение перенесвм из точек системы 5 на соответствующие им рациональные числа, то точка К произведет вполне определенное деде киндово сечение в системе рациональных чисел; точке К мы поставим в соответствие иррациональное число, определенное этим сечением.

На истинной окружности х не может быть двух рззличиых точек К и К', которым соответствовало бы одно н то х<е иррзциональиое число. Действительно, построим замкнутую жорданову кривую КК', и пусть Н вЂ” некоторая точка истинной окружности х, лежащая между К и К' и, следовзтельно, внутри кривой КК', Так как Н является точкой сгущения системы 5, то в системе 5 должна существовать также точка А, лежзщая внутри кривой КК и, следова- ") 6. Сап!от, <Ве))гйяе гщ Веягвпйнпе бег Ыапайпйеп Мепяеп1еиге>, Ма1)ь Апп. т.

46,ф 9; дальнейшие выводы текста ср. со сказаяиым в ф 11. ДОВАВЛЕннв Гк 269 ОВ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ тельно, между точками К и К'. Соответствующее точке А рационалюще число а обусловливает, таким образом, раз- личие сечений, получающихся благодаря точкам К и К'. Наконегг, мы хотим показать, что и обратно — каждому иррациональному числу а на истинной окружности х можно сопоставить Соответствующу1о ему точку К. С этой е ью о ьмям две последовательности: возрастающую последо- вательность а Ь Ь Ь ельность а„а„а„... и убывающую последовательнос ь т „Ьг, Ьг,..., каждан из которых сходится к а. Построим точки Ап Аг, А„...

и Вн „„..., соответствующие этим числам, и обозначим буквой К некоторую точку сгу- щения этих точек А Аг, А,..., В В В ..., Точка г г '' О г~ » К должна в таком случае соответствовать числу и, так как когда мы строим замкнутую жорданову кривую А«ВО довательно, и их точка сгущения должны лежать внутри А, н т.

е. между точками А, и Вс. Поэтому сечение, про- В, изводимое точкой К, есть не что иное как сечение, опре- деляющее число а, Рассмотрим точки, лежащие на обыкновенной числовой окружности радиуса 1, и сопоставим одной из этих точек знак +-со и точку К„, остальным точкам в непрерывной последовательности — все действительные числа, а этим последним — соответствующие точки истинной окружности х, Мы придем при этом к следующему выводу: точки истин- ной окружности х могут быть взаимно однозначно с сохранением их порядка отображены на точки, при- надлежащие обыкновенной числовой окружности радиуса 1. 9 8. Чтобы достичь цели, поставленной в 9 4, нам остабтся еще доказать непрерывность полученного отобра- жения, т.

Характеристики

Список файлов книги