Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

схолились бы к точке А, лежащей внутри области О или на ей границе, и в то же время точки ВА„ В„, ВА„ схолились бы к точке В, лежащей на' кривой а. Но мы знаем, что точки 8„ 82, 8„ ... схолятся к точке 8; в таком случае, в силу аксиомы Ш, лолжен существовать поворот около точки М, переволящий одновременно и точку 0 в 8, и.точку А в В. Олнако это невозможно, так как при таком повороте точка А должна перейти в точку, лежащую внутри области Н или на ей' границе, а точка В лежит на кривой а, содержащей область Н целиком внутри. Таким образом; мы убелились, что система точек Еп Я Л ... должна целиком лежать внутри некоторой г г жордановой области Пусть ЛЯ служит точкой сгущения для точек Л„ хг, Е ...

Так как точки 8, 82, 8„ ... сходятся к точке 8, 22 и в г~ ° то, в силу аксиомы Ш, существует поворот около точки М, при котором точка О нерехолит в 8, а точка Т— . в л". Но так как прн повороте вокруг точки М, который точку 0 перемещает в 8, точка .Т лолжна перейти в х, то, в силу доказанной раньше однозначности функций и А; необхолимо, чтобы х.ь=х., т.

е. точки Е„22,Я„ ... сгущаются только в одной точке, а именно а точке Таким образом, локазано, что функции у и л относительно переменных х, у, в непрерывны. Полставим теперь в функции у и А вместо х, у коорлинаты некоторой точки Р нашей плоскости, лежащей внутри окружности х или вие ея. У полученных таким образом функций у(в), л(в) одной только переменной в общие периолы не могут быть сколь уголно малы. Действительно, так как функции г'(в), А(в) непрерывны, то при нарушении этого условия они сволились бы к постоянным, и в таком случае при .всех поворотах плоскости вокруг точки М точка Р оставалась бы иа месте,. что 287 ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ ДОБАВЛЕНИЕ Гя противоречит аксиоме 1!. Иаименыпий общий период этих двух функпий должен быть вида —, где и — некоторое 2Я и пелое положительное число.

Отсюда следует, что мы получим истинную окружность, проходящую через точку Р, если заставим переменную ю в формулах х=у'(ы), у=я(ы) 2в пробегать значения от 0 до — . Эта кривая замкнута и и не имеет двойных точек; она прелставляет собою истинную окружность с пентром в точке М. Если мы повернЕИ 2я теперь плоскость на угол †, то все точки этой истинной окружности, прохолящей через точку Р, останутся на месте и вместе с тем, согласно $ 19, все точки плоскости должны остаться неподвижными; но точки йстинной окружности х останутся при этом повороте иа месте только в том случае, когда п = 1, Тем самым мы доказали полностью все утверждения теоремы, формулированной в 220.

ф 22. Мы легко теперь убедимся в справедливости следующих положений: Если какие-либо две точки при движении плоскости остаются на месте, то и все точки плоскости остаются на месте, т. е. это движение представляет собою тождественное преобразование. Каждую точку плоскости можно всегда с помощью движения (а именно — двух вращений) перевести в любую другую точку плоскости. Первое положение есть непосредственное слелствие теоремы 4 20. Второе положение получится, если вокруг каждой из двух точек описать истинную окружность, проходящую через другую точку; при этом обе окружности обязательно должны пересечься.

ф 23. Важнейшей залачей является, далее, введение в нашу геометрию понятия истинной прямой и развитие свойств этого. понятия, необходимых для построения геометрии. Для этого установим сначала слелующую терминологию. Если А,В и А',В' — лве такие пары образов точек, что при некотором движении точка А переходит в А' и одновременно точка В переходит в В', то мы будем говорить, что (истинный) отрезок АВ конгруентен (обозначается это символом= :) (истинному) отрезку А'В'.

Далее, две истинные окружности мы будем называть конгруентными, если существует движение, которое переводит пентр олной из этих окружностей в пентр другой и ойновременно самую первую окружность во вторую. Под полуоборотом Н около точки М мы будем разуметь поворот на угол к, т. е. поворот, повторив который, мы получим тожлествеиное преобразование. Есле А, В, С суть три точки, облалающие тем свойством, что А при полуобороте около В переходит в С и одновременно при том же полуобороте С перехолит в А, то мы будем говорить, что точка В является серединой отрезка АС, Мы говорим, что отрезок АС меньше или больше отрезка АВ, смзтря по тому, лежит точка С внутри истинной окружности, описанной около точки А и прохолящей через точку В, или вне е6.

Для того чтобы аналогичным образом определить для любых отрезков и любых окружностей црнятия еменьше» и вбольше», выполняют движения, благодаря которым начальные точки отрезков или, соот'ветственно, пентры окружностей попалают в определЕнную точку. $ 24. Истинный отрезок АС имеет не более одной серелины; действительно, если бы отрезок АС имел две середины и мы обозначили бы полуобороты около этих серелин через Н, и Н„ то сложная полстановка Н,Нг прелставляла бы движение, оставляющее в покое кажлую из точек А и С, Отсюда, обозначая символически тожлественное преобразование через 1, мы, в силу сказанного в 2 22, получим, что Н,Н '= 1, т.

е. Н, =Н;! таким образом, обе серелины должны совпасть. В частности, отсюла вытекает следующее положение: если лва ДОВАВЛЕНИЕ Ш отрезка конгруентнн, то и половины этих конгруентнн. Рих отрезков ф . дальнейшем ходе рассуждений нам понадобит- $ 25. В ся следующая лемма: Пусть точки А„Аа, А„... сходятся к точке А точ М„Мн М„... — к точке М. Тогда, если при выполнении полуоборотов около точек М, точки А; пере-.

ходят в точки Во то точки В В В ... тож „... тоже сходятся и притом к той точке В, в которую . переходит точка А при полуобороте около точки М, П режде всего, всегда можно найти жорданову область, внутри которой лежат все точки В В, В ... В о а а .. этом мы можем убедиться с помощью такого же ра е рассуждения, какое было применено в ф 21 к системе точек Л„Ла, Л„...

Обозначим через В" точку сгущения точек „„„... В силу аксиомы 111, должно существовать такое движение, киВе,М которое переводит точки А, М, Ве соответственн' в ки,, А, т. е,точка В получается из А путвм полу- оборота около точки М. Так как, однако, и В полу- чается из А путвм полуоборота около точки М, то отсюда следует, что ВН=В, что и требовалось доказать, де . Мы покажем теперь, что если у иеколюро- % 26.

го отрезка АВ существует середина М, то у, любого меньшего его отрезка АС также существу уществует сереДля доказательства соединим точки А и М какой-либ ако -ли о непрерывной кривой Т и для любой точки М' эт й ' это кри- вой Т определим точку В' так чтобы М' служил диной отрезка АВ'; геометрическим местом точек В' слу- жит, как это можно заключить из доказанной в ф 26 леммы, непрерывная криная т'. Когда точка М' на кривой Т приходит в точку А, то и кривая 7' обязательно приходит в точку А. Действительно, рассмотрим бесконечную по- следовательность точек М М М ... крив й дящнхся к А, и бесконечную последовательность соответ- последовательность В, В В ... имела бн ния А», отли ния ", отличную от А, то мн заключили бн отсюда, что существует движение, которое определенные точки нахот~ю, ОВ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ дящиеся в любой близости к точке А, оставляет в любой близости этой точки А и вместе с тем переводит точку А в любую близость точки Ае.

В таком случае, в силу аксиомы В1, точка А должна была бн при некотором Определвнном движении и остаться на месте и в то же время перейти в точку А", что невозможно. Так как, в силу нашего предположения, АС меньше АВ, то истинная окружность, описанная около точки А и проходящая через точку С, должна пересечь непрерывную кривую Т', соединяющую точки А и В, в некоторой точке В'. Точка М', соответствующая этой точке иа кривой Т, и будет серединой истинного отрезка АВ', а так как АС= АВ', то с помощью соответствующего поворота около точки А можно получить из точки М' искомую середину И отрезка АС. Так как отрезок АС при полуобороте около своей середины И переходит в СА, то из ранее доказанной теоремы следует, что отрезок АС всегда конгруентен отрезку СА — в предположении, конечно, что этот отрезок АС меньше некоторого вполне определйнного отрезка АВ, положенного в основу наших рассуждений в начале й 26.

Одновременно мн убеждаемся в том, что если точки С„Са, С„ ... сходятся к точке А, то середины И„ И„ И„ ... 'отрезков АС„ АС,„ АС„ ... сходятся к той же точке А. ф 27. В йаших дальнейших рассуждениях нам понадобятся некоторые теоремы о соприкасающихся истинных окружностях, и прежде всего нам необходимо построить две конгруентиые окружности, касающиеск друг друга извне в одной и только одной точке.

Для этого Возьмвм настолько малую окружность х', чтобы внутри ев не мог помещаться ни один отрезок, конгруентннй вполне Определвнному отрезку АВ, положенному нами в основу в ф 26; теорема ф 1! показывает, что это заведомо возможно, так как иначе точки А и В могли бы быть передвинуты одновременно сколь угодно близко к точке М. Затем пусть х — окружность [черт. 99~, лежащая внутри х' и имеющая общий с х' центр, Возьмем две произвольные точки на окружности х и опишем около них 19 д.

гильаерт 290 ДОБАВЛЕНИЕ ЧЧ 29! ОВ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ две конгруентные друг другу столь малые окружности а и 1!, что никакая пара точек на х, лежащих внутри а, не может быть разделена — в смысле упорядочения точек на окружности — никакой парой точек окружности х', лежащих внутри р. Кроме того, эти окружности а и р должны быть столь мзлы, чтобы полностью умещаться внутри х. В а т ком уч возьмбм точку Р', лежзщую внутри а и вне х и 3 Черт.

Характеристики

Список файлов книги