Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

После !7 д. гнльаере ов основлниях геометрии 258 довлаленнр пГ установления закона, определяющего это сопоставление (й 31), точки полученной таким образом точечной системы оказываются упорядоченными, и при этом выявляется значение предыдущих теорем о соприкасающихся окружностях. Теперь удаатся доказать, что точки, соответствующие ! ! ! числам —, 4, —,..., сходятся к точке 0 5 33).

Эта теорема шаг за шагом обобщается, пока мы, наконец, ие убеждаемся в том, что каждая последовательность точек нашей системы сходится, как только сходится соответствующая ей числовая последовательность ($ 34 — 8 35). После этой подготовительной работы удаатся определить истинную прямую как систему точек, которая получается из двух положенных в ей основу точек, если последовательно находить середины, совершать полуобороты, и добавить к этому точки сгущения всех получающихся таким образом точек ($36), Затем можно показать, что истинная прямая является непрерывной кривой ($37), не имеет двойных точек ($38) и с любой другой истинной прямой имеет не более одной общей точки ($39), Далее оказывается, что истинная прямая пересекает каждую окружность, описанную около любой ей точки, а отсюда следует, что любые две точки плоскости можно соединить истинной прямой (Я 40).

Мы убеждаемся также в том, что в нашей геометрии имеют место теоремы о конгруентности; однако при этом два треугольника оказываются конгруентиыми только в том случае, если оин имеют также и одинаковое направление обхода (8 41). Что же касается взаимного расположения истинных прямых, взятых в совокупности, то следует различать два случая, в зависимости от того, имеет ли место аксиома о параллельных или же для любой заданной прямой и для каждой точки вне ей существуют две прямые, которые отделяют прямые, пересекающие данную, от прямых, ей не' пересекающих.

В первом случае мы приходим к евклидовой геометрии, во втором — к геометрии Больяи-Лобачевского (ч 42). ф 1. Пусть М вЂ” некоторая точка в нашей геометрии ии и вместе с тем ей образ в числовой плоскости х, у, Нашей ближайшей задачей является — построить вокруг М некоторые точечные образы, которые окажутся затем истиннымн окружностями, описанными около точки М. Окру!хин точку М в числовой плоскости «числовым кругом», т. е. кругом Й в смысле обычного мер»определения, столь малых размеров, что все точки на этом круге Й н внутри его также являются образами точек н что существуют образы точек также н вне круга Й. Тогда внутри круга Й наверное иайдйтся круг 1, концентрический с Й, такой, что' образы всех точек, лежащих внутри круга 1, при любом повороте вокруг М остаются внутри круга Й.

Чтобы доказать это, рассмотрим в числовой плоскости бесконечную последовательность концентрических кругов 1 1, 1,... радиусы которых, убывая, стремятся к нулю, и предположим, вопреки утверждению, что в каждом из г х кругов существует образ точки, выходящий при пепе елы котором определйнном повороте вокруг М за пред круга Й или переходящий при этом иа его границу; пусть о ый Аг--такой образ точки, лежащий в круге 1и которы прн повороте Ь! занимает место вне круга Й или на его границе.

Представим себе в таком случае, что нз точки М в каждую точку А! проведйн радиус г, соответствующего числового кРУга 1н и РассмотРим кРивУю То в котзРУю радиус г! переходит прн повороте д!. Так как кривая Т,. из точки М идет в некоторую определанную точку, лежащую за кругом Й нли на его границе, то онз, по необходимости, должна пересечь границу круга Й; пусть В, н будет точкой пересечения, о которой идат речь; пусть В будет точкой сгущения+) точек пересечения „„Вю... Далее, пусть С, будет вообще той точкой, лежащей на радиусе г„которая при вращении Ь! переходит в В, Так как точки С С, С,...

сходятся к точке М, то, согласно г г ° ° ° аксиоме В!, существует поворот вокруг точки М, прн котороч точка В, лежащая на границе круга Й, переходит ') Пол точкой сгущсння в этом приложении следует понимать то, что теперь называют обычно предельной точкой. !7' 261 260 ДОБАВЛЕНИЕ «У ов основаниях геомвтгии в точку М, что противоречит ранее ланному определению понятия «движениеь.

й 2. Обозначим, как и в 9 1, через 6 числовой круг, лежащий внутри круга Й и удовлетворяющий условиям доказанной в этом параграфе теоремы; таким образом, все образы точек, лежащие внутри круга 1, при вращениях вокруг точки М аста«отся внутри круга Й; пусть, далее, й — числовой круг, лежзщий внутри 6, и притом такой, что все его точки при любом повороте вокруг точки М остаются внутри 1. В таком случзе точки числовой плоскости, которые при каком-нибудь повороте вокруг точки М получаются из точек, лежащих внутри круга й или на его границе, мы кратко будем именовать покрыл«ыз«п точками.

Из аксиомы !!! немедленно следует,что покрытые точки образуют замкнутое множество. Пусть, далее, А — некоторая определбнная точка, лежащая вне Й и служащая образом некоторой точки в нашей геометрии. Если непокрытую точку А' можно соединить с точкой А жордановой кривой, состоящей исключительно из непокрытых точек, то мы будем говорить, что точка А' лежит ане И. В частности, все точки, лежащие вне числового круга 1, наверное, лежат вне И. О покрытой точке, в любой окрестности которой находятся точки, лежащие вне И, мы будем говорить, что она лежит на йй. Точки, лежащие на И, образуют замкнутое множество, Про точки У, которые. не лежат ни вне И, ни на И, мы будем говорить, что они лежат внутри И. В частности, все покрытые точки, не обладающие тем свойством, что в любой их близости находятся непокрытые точки, как например, точка М и точки внутри круга и, лежат, наверное, внутри И.

ф 3. Вспомнив, что, в силу определения круга 1, точка А при вращениях вокруг точки М никогда не может попасть внутрь круга 1, мы убедимся, что прн любом вращении вокруг точки М точки, лежащие вне И, переходят снова в точки, лежащие вне И, точки, лежзщне на И,— в точки, лежащие на И, и точки, лежащие внутри И,— в точки, лея«ашие внутри И. Каждая точка на И, в силу нашего соглашения, есть покрытая точка, а так как мы знаем, что точки, лежащие внутри круга а й ле«кат также внутри И, то мы отсюда заключаем следующее: Каждой точке К, лежащей на И !черт.

981, наверное соответствует поворот Ь вокруг точки М, благодзря которому точка К', лежащая на границе круга и, попадает в точку К Радиус МК'числового круга * после вращения й й вокруг точки М переходит в жордано- нк ву кривую, соединяющую точку М Н с точкой К, лежащей на И и проходящей М й всецело внутри И.

Вместе с тем, мы видим, что по край- Н ней мере одна из точек границы числового круга Н, а именно точка К', лежит на И. Соединим, кроче Черт. 98. того, точку А, лежа- й М ю И п оизвольной жордановой кривой с точкой ' щую вне, про чк кото ая и обозначим теперь буквой К ту е6 точку, р лежит на И и обладает тем свойством, что все точки, лежащие на этой жорлановой кривой между точками и А, лежат вне И. После этого рассмотрим систему всех точек, обрззующнхся из точки К пут6м всевозможных поворотов около точки М, т. е.

рассмотрим истинную окружность х, описанную около М и проходящую через у точки этой' истинной окружности лежзт на тнаИ, Соглзсио аксиоме !1, истиннан окружность х содержит бесконечное количество точек. Если К' явля сгущения точек, лежащих на истинной окру к жности х, то эта точка, в силу аксиомы Ш, также лежит на жит на истинной окружности х, Обознзчим через К, некоторую точкУ на истинной окруй«ности х и произведем поворот вокруг точки 263 ОБ Основаниях геометрии довьвленне гт М, переводящий точку К" в точку К; тог а что точка К также тогда окажется, Таким об же является точкой сгущения окру Т , разом, мы приходим к теореме: я окружности х. Истинная окружность Х есть множе " множество зимк"утое 4. Важнейше е в се е, т, е.

множество совершенное. ф . ' ей целью последующих рассуждений яв- ляется доказательство того, о, что истинная ок ужность даново кривой, В лежащими на к длновой кривой, все точки которой, ь как жори к торой, кроме концов, все- цело проходят внутри И, так и жордхн к г„ро, кроме концов, всецело ггроходят вне И. с предыдущим изложеДействительно, в соответствии с и нием проведем жордановы кривые МК, н МК„кото ые, р з . асть РКг первой жордановой кривой р у з искочых линий, соединяющих точки К Рассмот им, с д няющих точки Кг и Ке. при которых точка К переходит в точк К точки А и Л Лг, которые при этом получаются из т лежат, согласно ф 3, вне И я из точки А, , вне н поэтому могут быть соедине- ны с точкой А кривыми, лежащими вне И. Из этих со рдановых кривых, которые при этих вращениях образуются из построенной в ~~ 3 жо ри ой АК легко мох< б связывающую точки К и К и <но о разовать жо дэнов к ф б.

Док , и, и целиком лежащую вне И. . Доказанная нами только что те о возможность определенны б то теооема дает н нам истинной окружности х, ым о разом по ядочит у р ь точки Пусть К у Кг, Кг, К„К» — некоторые отличные др г от и друга точки истинной окружности . С К, с одной стороны жордановой кривой, кото ( К К м, н г) лежит внутри И, а сдругой— кривой, всецело лежащей вне И. Так как эти соединяющие кривые, включая их концы К, и К„непрерывны, го они образуют вместе замкнутую жбрданову кривую. Одну из кривых, получагощихся таким образом, исходя из точек К, и Кг, мы всегда будем Обозначать через К,К. Вся числовая плоскость, из которой выключена кривая К,К„ распадается, согласно известной теореме Жордана, на две области, одна из которых лежит внутри, а другая — вне кривой КгК». Что же касается положении точек К, н К, то здесь возможны два случая: во-первых, точки К и К, не отделены друг от друга кривой К,К„т.

е. они обе либо лежат вместе внутри, либо вне этой кривой; во-вторых, точки К, н К» отделяются кривой К»КЕ друг от друга, т. е. Кь лежит внутри кривой К,К„а К вЂ” вне ее, или наоборот. Если точки К„К, соединить какими-либо другими двумя кривыми, одна из которых проходит внутри И, а другая-— вне. И, то легко убедиться, что относительно вновь полученной замкнутой жордановой кривой К,К, точки К„ К» будут расположены точно так же, как и относительно предыдущей. Действительно, пусть справедливо первое предположение и пусть точки К, и К, обе лежат внутри кривой К,К,; построим внутри И путь гй; соединяющий точки Кь и К . Если этот путь выходит за пределы области, лежащей внутри замкнутой кривой К,К„ то он должен в конце концов вновь вернуться внутрь этой области; поэтому можно часть этого пути В; проходящую вне кривой К,К„ заменить путем, проходящим вблизи соответствующего куска кривой К,К, и притом всецело проходящим как внутри И, так и внутри К,КЕ, таким образом, получается путь гь"", который соединяет точки К, н К» и точно так же целиком проходит внутри И и внутри К,К,.

Из части кривой К,КЕ, лежащей внутри И, и из части кривой К,КЕ, лежащей вне И, образуем новую замкнутую жорданову кривую К,КЕ. Путь гьв, соединяющий точки К, и К», пройдет, очевидно, внутри этой новой кривой 264 ДОБАВЛЕНИЕ 1Ч ов основаниях геометгни К,К„не пересекая ее, т. е. точки Кь И К4 не будут отделены друг от друга кривой К,К,. Отсюда, после соответствующего построения, произведенного вне йй, будет следовать, что точки К, и Кь не отделяются друг от друга также и кривой К,К,, Поэтому мы можем сказать кратко: в первом случае пара точек К„К, не разделяется парой точек К„К,. Отсюда следует, что во втором случае мы также имеем право сказать кратко: пара точек К, К, разделяется парой точек Кп К,.

Характеристики

Список файлов книги