Гильберт - Основания геометрии (947371), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

Также а такмсе осталь ные тео емы проект формулы геометрии чаются затем известные , и тем самым завершается построение этой геометрии с помощью ов основаниях гвометгии 249 ДОБАВЛЕНИЕ УУ ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ Я) ()4з Ма))геша))ясЬе Аппа!еп, т. 56, 1902,) Исследования Римана и Гельмгольца об основаниях геометрии побудили Л и приняться за проблему аксиоматической разработки геометрии, исходя из понятия группы, и привели этого проницательного математика к системе аксиом; с помощью теории групп преобразований ои доказал, что эти аксиомы достаточны для построения геометрии ""). При обосновании теории групп преобразований Л и всегда исходит из того, что функции, определяющие группу, дифференцнруемы; поэтому в исследованиях Л и остается нерассмотренным вопрос о том, является ли предлоложение о дифференцируемости в проблемзх аксиоматикн геометрии действительно неизбежным или же дифференцируемость соответствующих функций является не более как простым следствием понятия группы и остальных геометрических аксиом.

При своем способе наложения Л и был вынужден также особо выделить аксиому о том, что группа движения производится бесконечно малым преобразованием. Как эти требования, так и существенные составные части других аксиом Л и, относящихся к природе уравнения, которое определяет равноотстоящие точки, могут 'быть Я) Сравнительная характеристика излагаемого здесь метода обоснования геометрии с методом, приченяяшнмся в основной части этой книги, сделана в конке этой статьи (стр. 303). ") В)е — В и я е 1, «Т)»еог1е бег Тгэоэ)оппайопэйгоррсо», т.З, раздел 5.

выражены чисто геометрически только очень натянуто и сложно и, кроме того, кажутся обусловленными только аналитическим методом, которым пользовался Л и, а не самой проблемой, Поэтому в последующем я старался установить для геометрии на плоскости такую систему аксиом, которая, также опираясь на понятие группы, содержала бы только простые, геометрически обозримые требования и,' в частности, отнюдь не предполагала бы дифференцируемости функций, осуществляющих движение.

Аксиомы установленной мною системы содержатся как составная часть в аксиомах Ли или же, как я полагаю, могут быть из них сразу выведены. Мой метод доказательства полностью отличается от метода Л и: я оперирую, главным образом, с понятиями созданной Г.

К а н то р о м теории точечных множеств и использую теорему К. Ж о р д а н а о том, что каждая плоская, непрерывная замкнутая кривая без двойных точек делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области. В выставленной мною системе некоторые отдельные составные части вой же, наверное, излишни; однако я отказался от дальнейшего исследования этого обстоятельства из соображений простоты формулировок аксиом и, главным образом, потому, что я хотел избежать сложных и геометрически необозримых доказательств. Я исследую в дальнейшем аксиомы тольхо для,плоскости, но думаю, что и для пространства может быть установлена аналогичная система аксиом, которая делает возиом«ным построение пространственной геометрии аналогичным путем Я).

Предпошлйм нашему изложению некоторые определения, Определения. Под числовой плоскостью мы понимаем обычную плоскость с прямоугольной координатной системой х, у. *) Вместе с тем, в последующем исследовании для частного случая группы движений в плоскости даатся, как мне кажется, ответ иа тот общий вопрос, относящийся к теории групп, который был мною постаелен в мойм докладе «Математические проблемы».

См. Обрбпйег Хасппсп)еп, проблема 5, 1900. 251 250 ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ ДОВАВЛЕннв Ш Кривая этой числовой плоскости, не содержащая двойных точек н непрерывная во всех своих точках, включая концы, называется жордановой кривой. Если жорданова кривая замкнута, то часть числовой плоскости, лежащая внутри той области, которую ограничивает эта кривая, называется жордановой областью, Для облегчения изложения н для его большей доступности в этом исследовании я дам более узкое определение плоскости, чьи этого требовало бы дальнейшее изложение ь), ") О более широком определении понятия плоскости см.

мою статью об обосновании геометрии в Об!!!Ияег )ЯасЛГ)сЛ!еп, 1902. Я установил там следующее опредехеняе плоскости: Плоскость есть система вещей, называемых точками. Каждая точка А определяет некотовую часть системы точек, к которой эта точка сама лэинад южит и которая называется окрестностью точки А Точки окрестности всегда можно взаимно однозначным Образом отобразить ка точки олределзнной жордановой области числовой плоскости Такую жорданову область называют образом этой окрестности Каждан жордалова область, содержащаяся в образе и заключающая внутри себя точку А, опять-таки является обраэбм некоторой окрестности точки А Если имеютси различные Образы одной и той же оАРестности, тО лалучающееся отсюда взаимно однозначное преобразование рассматриваемых жордановых областей одной в другую должно быть непрерывным.

Если В есть какая-то точка некоторой окрестности точки А, то эта окрестность являетси в то же время окрестностью также и точки В. з!ля любых двух окрестностей точки А всегда существует третья окрестность этой же точки А, общая им обеим. Если А и В суть некоторые две точки нашей плоскости, то всегда существует такая окрестность точки А, «вторил содержит точьу В. Эти требования содержат, как мис кажется, строгое определение — для случая двух измерений — гого понятна, которое у Ри ма на н Ге л ь м гол ьца фигусирует пол именем «шейг!асЛ ацзяейеЛИ!с Мапп!я!а)!!Яйс!!» — «многократно протяженное многообразие», а у Ли — под яменем 2аЛ)епшапп!я!а)!!Яйе!!» — «числовое многообразие» и которое лежит в основе их обшнх исследований.

Эти понятия служат также основой для строгой аксноиатической обработки геометрии положения (Апа!уяэ з!!цз). Принимая вьипеуказанное более узкое определение плоскости, мы, очевидно, заранее исключаем эллиптическую геомет- именно, я предположу, что все точки нашей геометрии можно одновременно взаимно однозначным образом отобразить на лежащие в конечной области точки числовой плоскости нлн на некоторую нх часть, так что в результате каждая точка нашей геометрии характеризуется вполне определбнвой парой чисел х, у. Это понимание плоскости мы сформулируем так; Определение плоскости.

Плоскость есвь система вещей, называемых точками, которая допускает взаимно однозначное огпображение на совокупность точек числовой плоскости или на некоторую часть этой совокупности. Мы будем пользоваться и!очками числовой плоскости для обозначения соответствующих точек нашей плоскости. Для любой точки А нишей плоскости сущесввуев в числовой плоскости жорданова облхсаь, в которой лежит образ точки А и все точки которой также отображают точки нашей плоскости. Вти жордановы области называются окрестностями точки А.

Всякая, лежащая в Окрестности точки А, жорданова обласагч внутри которой лежит точка А (образ точки А), опять-так!! является окрестностью точки А. Если В есть некоторая точка, лежащая в окрестности точки А, то эва окрестность является в то же время и окрестностью точки В. Если А и В суть какив-ао точки нашей плоскости, то всегда существует окрестность точки А, содержа- и!ая также точку В. Определим движение как взаимно однозначное преобразование нашей плоскости самой в себя. Очевидно с самого начала, что можно различать двоякого рода взаимно однорию, так как гочки втой последней не могут быть отображены на точки, лежашие в конечной части числовой плоскости с помощью какого-либо способа, согласующегося с нашими аксиомами.

Нетрудно, однако, заметить те изменения, которые надо ввести в наш ход рассуждений, если в основу понятия плоскости положить ев более широкое определение. 253 довлвляния гя ов основаниях гяомятгии значные непрерывные преобразования числовой плоскости самой в себя. Именно, если мы возьмйм в числовой плоскости некоторую замкнутую жорданову кривую и предположим, что на этой кривой установлено некоторое направление обхода, то эта последняя при такого рода преооразовании переходит опять-таки в замкнутую жорданову кривую, имеющую некоторое определенное направление обхода.

В последующих исследованиях мы принимаем, что если к числовой плоскости применить преобразование, определяющее движение, то направление обхода в кривой, получающейся в результате преобразования, будет то же, что и у первоначальной кривой. Это предположение ь) обусловливает следующую формулировку понятия движения..

О пределе ние движения. Движение есть такое взаимно однозначное непрерывное преобразование точек образов на числовой плоскости в себя, при котором направление обхода замкнутой жордановой кривой остается неизменным. Преобразование, обратное преобразованию движения, есть снова движение, Движение, при котором одна точка М остается неизменной, называется вращением вокруг точки М )или поворотом около точки М), После введения понятий «плоскость» и «движение», мы устанавливаем следующие три аксиомы: А к си ам а 1: Если последовательно выполнены два движения. то получающееся в их результате преобразование снова является движением, Кратко мы это будем формулировать так: А к с и о м а 1. Движения образуют группу, «) У Ли зто предположение содержится в требовании, чтобы группа движений порождалась бесконечно малыми преобразованиями.

Противоположное предположение (т. е. предположение, что возможно изменить направленняобхода) существенно облегчило бы ведеяие доказательства, поскольку в этом случае «ястинная пряная» может быть непосредственно определена как место тех точек, которые все остаются в покое при преобразования, меняющем направление обхода н в то же время оставляющем неязменными язе точки. Аксиома П. Если А и М вЂ” две любые, отличные одна от другой точки плоскости, то точку А всегда можно перевести в бесчисленное множество различных положений путем вращения вокруг точки М.

Назовем совокупность точек, которые получаются из одной, отличной от М точки при помощи всевозможных вращений вокруг точки М, «истинной» ь) окружностью в нашей геометрии на плоскости; в таком случае содержание аксиомы !1 можно сформулировать так: Аксиома 1!.Всякая истинная окружность состоит нз бесчисленного множества точек. Последней из нужных нам аксиом мы предпошлем следующее опрелеление: Определение. Пусть А — некоторая определенная пара точек нашей геометрии; той же парой букв мы будем обозначать и образы этой пары точек на числовой плоскости, Окружим' каждую из точек А и В в числовой области окрестностью и обозначим эти окрестности соответственно буквами а и р. Если какая-нибудь точка А" попадет в окрестность а, а в то же время точка В+ попадет в окрестность р, то мы будем говорить, что пара точек А"В+ лежит в окрестности а(«пары АВ. Пусть утверждение, что эта окрестность и() сколь угодно мала, означает, что а есть сколь угодно малая окрестность точки А и в то же время р есть сколь угодно малая окрестность точки В.

Характеристики

Список файлов книги